初中数学知识点梳理沪教市北综合版.docx
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初中数学知识点梳理沪教市北综合版
初中数学知识点梳理(沪教市北综合版)
导言
《初中数学知识点梳理沪教市北综合版》为编者依据沪教版《初中数学》和市北初级中学资优生培训教材《初中数学》的内容综合编撰而成,既吸取了沪教版《初中数学》侧重基础、知识全面的特点,也吸取了市北版《初中数学》拓展广度、延伸深度的特点,实现了两者内容的有机融合,保证了初中数学知识点梳理的基础性、系统性、全面性、拓展性和概括性,能为初中数学的学习提供较好的知识帮助。
文中带“(★)”部分为市北版的加深内容,练习带“(★)”部分也为市北版内容。
第一章数的整除
一、知识结构
二、重点和难点
重点:
会正确地分解素因数,并会求两个正整数的最大公因数和最小公倍数。
难点:
求两个正整数的最小公倍数。
第一节整数和整除
1.1整数和整除的意义
⑴正整数:
用来表示物体个数的数1,2,3,4,5…叫做正整数。
⑵负整数:
在正整数1,2,3,4,5…之前添上“-”,得到的数-1,-2,-3,-4,-5…叫做负整数。
◆零既不是正整数,也不是负整数。
⑶自然数:
零和正整数统称为自然数。
⑷整数:
正整数、零、负整数统称为整数。
正整数
自然数
整数零
负整数
⑸整除:
设a、b是两个整数,且b≠a,若存在整数q,使a=bq,则称b整除a,或a被b整除,记作b∣a。
(★)
或者说,如果整数a除以整数b(b≠0)所得的商是整数,那么叫做a被b整除,或b能整除a。
整数a除以整数b
整数a被整数b整除a÷b
整数b整除整数a
例1:
下列哪一个算式的被除数能被除数整除?
28÷710÷35÷4
解:
因为28÷7=4,
10÷3=3……1,
5÷4=1.25,
所以被除数能被除数整除的是28÷7。
◆注意整除的条件:
1除数、被除数都是整数;
②被除数除以除数,商是整数而且余数为零。
◆整除的主要性质:
(★)
1c∣b、b∣a,则c∣a;
2若m∣a、m∣b,则m∣(a+b);
3若m∣a、m∣b,则m∣(a-b);
4若m∣a,则m∣ab(b为自然-数);
5n个连续正整数的积能被n!
整除。
(n的阶乘:
n!
=1×2×3×…×n)(★)
例如:
a为整数时,
2∣a(a+1)
6∣a(a+1)(a+2)
24∣a(a+1)(a+2)(a+3)
……(★)
解:
由于4个连续的整数中必有1个数为4的倍数,还有另一个数为2的倍数,有1个是3的倍数,
因为a、a+1、a+2、a+3为4个连续的整数,
所以,a、a+1、a+2、a+3中必有一个数为4的倍数,另有一个数为2的倍数,有一个数为3的倍数,即为2×3×4=24的倍数。
4d_____________________________________________________________________________________________________________________________
◆整除与除尽的区别:
整除:
它只在整数氛围内讨论,被除数、除数、商都是整数,余数为零;
除尽:
未限制数域范围,只是除完后没有余数。
练习
⑴是否有最小的自然数?
⑵是否有最大的整数?
⑶把下列各数分别填入相应的括号中。
22
-60,12,3.14,0,1,-1,-0.618,—
7
正整数(),负整数(),自然数(),整数()。
⑷下列各式中,哪些式子表示整除?
12÷4=3()20÷0.5=40()35÷7=5()
45÷45=1()4.2÷1.4=3()78÷7.8=10()
⑸2.6÷1.3=2,能不能说2.6能被1.3整除?
⑹如果a表示一个自然数,且a≥2,写出:
1紧挨着它,在它后面的两个连续自然数_______________;
②紧挨着它,在它前面的两个连续自然数_______________。
⑺下列算式中,哪些是除尽?
哪些是整除?
42÷7=6()
3÷5=0.6()
4÷0.2=20()
5÷3=1……2()
8.1÷3=2.7()
2÷3=0.66666……()
1.2因数和倍数
⑴倍数和因素:
如果数a能被数b(b≠0)整除,a就叫做b的倍数(mutiple),b就叫做a的因数(factor)(或a的约数)。
倍数和因数是相互依存的。
⑵因素的特征:
一个数的因数的个数是有限的,其中最小的因数是1,最大的因数是它本身。
⑶倍数的特征:
一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身。
个数
最小
最大
因数
有限
1
它本身
倍数
无限
它本身
没有
⑷一个数的因素的求法:
①列乘法算式或直接用口诀找,即这个数是哪两个数的乘积,注意要找出所有的可能性;
②列除法算式找,即这个数所有能整除的整数。
例:
求18的因素。
①乘积是18的算式有:
1×18=18,2×9=18,3×6=18,所以,18的因素有1,2,3,6,9,18。
218能整除的算式有:
18÷1=18,18÷2=9,18÷3=6,所以,18的因素有1,2,3,6,9,18。
⑸一个数的倍数的求法:
这个数和任何非零自然数之积都是该数的倍数,所以,求一个数的倍数的方法可以列乘法算式找。
◆任何正整数都是1的倍数。
练习
填空:
⑴45÷5=9,()能被()整除,()能整除();()是()的因数,()是()的倍数。
⑵一个正整数a的因数的个数是(),其中最小的一个是(),最大的一个是();正整数a的倍数的个数是(),其中最小的一个是()。
⑶一个数的最小倍数是9,那么这个数的最大因数是(),最小因数是()。
⑷有一个数,它既是6的倍数,又是6的因数,这个数是()。
1.3数的整除性
常见数的倍数特征:
⑴2的倍数特征:
个位是偶数,即个位上是0、2、4、6、8的数,都能被2整除。
⑵3的倍数特征:
一个数的各个数位上的数字之和能被3整除,这个数就能被3整除。
⑶5的倍数特征:
个位上是0或5的数,都能被5整除。
⑷9的倍数特征:
一个数的各个数位上的数字之和能被9整除,这个数就能被9整除。
⑸11的倍数特征:
一个数的奇位上的数字之和与偶位上的数字之和的差相等或是11的倍数,这个数就能被11整除。
⑹7、11、13的倍数特征:
一个数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差是7、11、13的倍数,这个数就能被7、11、13整除。
⑺4或25的倍数特征:
一个数的末两位数能被4(或25)整除,这个数就能被4(或25)整除。
⑻8或125的倍数特征:
一个数的末三位数能被8(或125)整除,这个数就能被8(或125)整除。
例如:
1168、4600、5000、12344都能被8整除,1125、13375、5000都能被125整除。
⑼能同时被2,5整除的数的特征:
个位是0。
⑽能同时被2,3,5整除的数的特征:
个位是0,而且各个位上的数字的和能被3整除。
⑾能被3整除的数不一定能被9整除,但是能被9整除的数一定能被3整除。
例1:
一年级72名学生课间加餐共交□52.7□元,□处的数字辨认不清,问每个学生交了多少钱?
(★)
解:
由于72=8×9,
因此,□527□要都能被8、9整除,
□527□被8整除,即27□被8整除,
从而得出个位数字是2。
□527□被9整除,即:
□+5+2+7+2=□+7+9
被9整除,从而可得首位是2。
所以每人交了:
252.72÷72=3.51(元)。
答:
每人交了3.51元。
例2:
要使六位数15ABC6能被36整除,而且所得的商最小,求A、B、C。
(★)
解:
因为36=4×9,
所以C只可能是1,3,5,7,9。
要使商最小,首先A应尽可能小,
于是取A=0,又
1+5+6+A+B+C=9+3+B+C
能被9整除,即B+C+3是9的倍数,
C只能是1,3,5,7,9,而B应尽可能小,
因此B取1,C取5。
答:
A、B、C分别是0、1、5。
练习1.1(★)
1、有15位同学参加学校组织的夏令营活动,老师准备把他们平均分成若干小组,有几种分法?
有可能把他们平均分成4个小组吗?
为什么?
2、一班同学分成四个小组糊纸盒,每组糊的个数同样多,小马虎统计时说:
全班共糊纸盒342个。
小马虎统计错了吗?
为什么?
3、不超过100的正整数中,能被25整除的数有哪些?
不错过1000的正整数中,能被125整除的数有哪些?
1.4奇数与偶数(★)
⑴奇数与偶数:
能被2整除的数叫做偶数(evennumber);不能被2整除的数叫做奇数(oddnumber)。
◆0是偶数。
◆自然数按能否被2整除的特征可分为奇数和偶数。
◆设n是整数,则:
2n是偶数,2n-1或2n+1是奇数;设n是正整数,则:
2n是正偶数,2n-1是正奇数。
⑵奇数偶数的运算性质:
①奇数±奇数=偶数,奇数±偶数=奇数,
偶数±偶数=偶数;
②奇数×奇数=奇数,奇数×偶数=偶数,
偶数×偶数=偶数。
③奇数的正整数次幂是奇数,
偶数的正整数次幂是偶数。
④两个连续整数的和是奇数,积是偶数。
⑶推广结论:
①奇数个奇数之和是奇数,偶数个奇数之和是偶数,任意有限个偶数之和是偶数。
②若干个奇数的乘积是奇数,偶数与整数的乘积是偶数。
③如果若干个整数的乘积是奇数,那么其中每一个整数都是奇数;如果若干个整数的乘积是偶数,那么其中至少有一个整数是偶数。
④如果两个整数的和(或差)是偶数,那么这两个整数的奇偶性相同;如果两个整数的和(或差)是奇数,那么这两个整数一定是一奇一偶。
⑤两个整数的和与差的奇偶性相同。
例1:
在1,2,…,2008中每个数前面任意添加“+”、“-”号,最终的运算结果是奇数还是偶数?
请说明理由。
(★)
解:
因为a-b与a+b的奇偶性相同,
所以将算式中每一个数前的“-”号逐一改成“+”号,其结果的奇偶性不变,
故所求的结果与1+2+…+2008=1004×2009的奇偶性相同,
因此,所求算式的结果为偶数。
例2:
将1,2,…,99重新排列成a1,a2,…,a99,求证:
乘积(a1-1)(a2-1)…(a99-1)一定是偶数。
(★)
解:
1,2,…,99中有50个奇数,49个偶数,
a1,a2,…,a99中也有50个奇数,49个偶数,
所以a1,a3,a5,…,a99这50个数中必有一个是奇数,设其中ak是奇数,则:
ak-k是两个奇数之差,因而是偶数,
所以(a1-1)(a2-1)…(a99-1)一定是偶数。
练习1.2(★)
1、5个连续偶数的和是320,这五个连续偶数分别是几?
2、用15、16、17、18、19这五个数两两相乘,可以得到10个不同的乘积,问乘积中有多少个偶数?
3、一次舞会有七名男士和七名女士参加,一名男士和一名女士在一起跳为跳一次舞,会后统计出有8人各跳了6次,有5人各跳了3次,问余下的一人至少跳了几次?
4、13个不同的自然数之和等于100,其中偶数最多有几个?
偶数最少有几个?
第二节分解素因数
1.5素数、合数与分解素因数
⑴素数:
一个数,如果只有1和它本身两个因数,这样的数叫做素数(primenumber)(或质数)。
◆100以内的质数表:
100以内共有26个质数,具体为:
2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
熟记20以内的全部素数。
⑵合数:
一个数,如果除了1和它本身还有别的因数,这样的数叫做合数(compositenumber)。
◆重点注意:
①1既不是质数也不是合数;
②2是最小的质数,也是唯一的偶质数;
③4是最小的合数;
④正整数可以分成质数、合数和1。
因此,一个数是质数就一定不是合数,是合数就一定不是质数。
⑶素因数:
每个合数都可以写成几个素数相乘的形式,其中每个素数都是这个合数的因数,叫做这个合数的素因数(也叫质因数)。
例如15=3×5,3和5叫做15的素因数。
例1:
判断3333334111111是素数还是合数?
(★)
解:
3333334111111
=3333333000000+1111111
=1111111×3000000+1111111
=1111111(3000000+1)
=1111111×3000001
所以,3333334111111是合数。
例2:
桌子上有一堆石子共1001粒,第一步从中扔去一粒石子,并将余下的石子分成两堆。
以后的每一步,都从某个石子数目多于1的堆中扔去一粒,再把这堆分成两堆,试问:
能否在若干步以后,使桌上的每一堆中都刚好有3粒石子?
(★)
⑴小明:
我家的门牌号是最小的质数和最小的合数分别连续写两次。
小丽:
我家的门牌号是10以内的奇数从大到小排列。
你知道小明家和小丽家的门牌号分别是多少吗?
解:
假设结果可能,并设最后剩下n堆,每堆3粒,
则在此之前一共进行了(n-1)次操作,而每次操作都扔去一粒,
所以一共扔去(n-1)粒,
因此3n+(n-1)=1001,即4n=1002
因为4n是4的倍数,而1002不是4的倍数,这样就产生了矛盾,所以,假设不成立。
所以,不可能在若干步以后,使桌上的每一堆中都刚好有3粒石子。
⑷分解素因数:
把一个合数分解成若干个素因数相乘的形式,即求素因数的过程叫做分解素因数。
把一个合数分解素因数,通常可用“短除法”或“树枝分解法”。
◆用短除法分解素因数的步骤:
①先用一个能整除这个合数的素数(通常从最小的开始)去除;
2得出的商如果是合数,再按照上面的方法继续除下去,直到得出的商是素数为止;
3然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式。
例3:
把60分解质因数:
260
230
315
5
60=2×2×3×5。
◆树枝分解法:
例4:
把60分解质因数:
60
230
215
35
60=2×2×3×5。
◆一个数的因素个数的计算诀窍:
用分解素因数的方法将这个数分解成素因数的乘积,并将相同的素因数用幂次方的形式表示,则因素个数=各素因数的幂次方分别加1后相乘,如:
42000=24×3×53×7,则42000的因素有(4+1)×(1+1)×(3+1)×(1+1)=80个。
(★)
⑸素数与合数的性质:
①素数有无数多个。
②2是唯一的偶素数。
大于2的素数必为奇数。
如果两个素数的和或差是奇数,那么其中必有一个是2;如果两个素数的积是偶数,那么其中也必有一个是2。
③若素数p∣ab,则必有p∣a或p∣b。
(★)
④若正整数a、b的积是素数p,则必有a∣p或b∣p。
(★)
⑤唯一分解定理:
任何整数n(n>1)可以唯一地分解为:
n=p1a1p2a2…pkak,p1<p2<…<pk是素数;a1,a2,…ak是正整数。
(★)
例5:
已知四个质数满足p1<p2<p3<p4,且p12+p22+p32+p42=511,试求这四个质数。
(★)
解:
由于511是奇数,
所以这四个质数不都是奇数,其中必有偶质数2,即p1=2,代入得:
p22+p32+p42=507
因为507<529=232,
所以p4≤19,
⑴若p4=19,则p22+p32=146,
可知73<p32<146,p3=11,p2=5;
⑵若p4=17,则p22+p32=218,
可知109<p32<218,p3=11或13,
p3=11时,p22=97,p2无解;
p3=13时,p22=49,p2=7;
所以,这四个质数为2、5、11、19或2、7、13、17。
例6:
当x取1到10之间的质数时,四个整式:
x2+2、x2+4、x2+6、x2+8的值中,共有质数多少个?
(★)
解:
1到10之间的质数有2、3、5、7,
由于2是偶数,所以可用质数为3、5、7。
当x=3时,x2+2=11,x2+4=13,x2+6=15,x2+8=17,有11、13、17三个质数;
当x=5时,x2+2=27,x2+4=29,x2+6=31,x2+8=33,有29、31两个质数;
当x=7时,x2+2=51,x2+4=53,x2+6=55,x2+8=57,有53一个质数;
所以,共有6个质数。
例7:
三个质数的积等于它们的和的11倍,求这三个质数。
(★)
解:
设这三个质数分别为P、Q、R,则有:
PQR=11(P+Q+R)
可知,必有一质数为11,设R=11,
则:
PQ=P+Q+11,
PQ-P-Q=11,
P(Q-1)-(Q-1)=12,
(P-1)(Q-1)=12,设P≤Q,
所以P-1=1,Q-1=12,或P-1=2,Q-1=6,或P-1=3,Q-1=4,得:
P=2,Q=13,或P=3,Q=7,或P=4,Q=5(不符合质数的条件,舍去),
故所求的三个质数为2、11、13或3、7、11。
练习1.3
(1)(★)
1、在1到100这100个自然数中任取其中的n个,要使这n个数中至少有一个合数,则n至少是多少?
2、有三张卡片,在它们上面各写着一个数字2、3、4,从中抽出一张、二张、三张按任意顺序排列起来,可以得到不同的一位数、二位数、三位数,请你将其中的质数都写出来。
3、已知P,P+10,P+14都是质数,求所有这样的数P。
练习1.3
(2)(★)
1、分解素因数:
45,88,126。
2、农民用几只船分三次运送315袋化肥,已知每只船载的化肥袋数相等且至少载7袋,问每次应有多少只船,每只船载多少袋化肥?
(每只船至多载50袋化肥)
3、在乘积1000×999×998×……×3×2×1中,末尾连续有多少个0?
4、已知三个质数a、b、c,它们的积等于30,求适合条件的a、b、c的值。
5、证明:
存在2006个连续数,它们都是合数。
1.5公因数与最大公因数
⑴公因数:
几个数公有的因数,叫做这几个数的公因数;其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。
◆如果a1,a2,…,an和d都是正整数,且d∣a1,d∣a2,…,d∣an,那么d叫做a1,a2,…,an的公因数,公因数中最大的叫做最大公因数,记作(a1,a2,…,an)。
(★)
⑵互质数:
公因数只有1的两个数,叫做互质数,也叫互素。
◆成互质关系的两个数,有下列几种情况:
①1和任何自然数互质;
②相邻的两个自然数互质;
③两个不同的质数互质;
④相邻的两个奇数互质;
⑤当合数不是质数的倍数时,这个合数和这个质数互质;
⑥两个合数的公因数只有1时,这两个合数互质;
⑦如果几个数中任意两个都互质,就说这几个数两两互质。
◆两个数的最大公因数的特殊情况:
①如果较小数是较大数的因数,那么较小数就是这两个数的最大公因数;
②如果两个数是互质数,它们的最大公因数就是1。
⑶求几个数的最大公因数的方法:
①列举法:
分别列举出每个数的所有因素,然后从公因数中找出最大的一个公因数,就是这几个数的最大公因数。
②分解素因数法:
分别将每个数分解素因数,然后将所有公有的素因数连乘,所得的积就是它们的最大公因数。
③短除法:
用所求的几个数的公因数去除这几个数,除到所得的商没有公因数为止,然后将左边除数连乘,所得的积就是它们的最大公因数。
例1:
用短除法求12和42的最大公因数。
21242
3621
27
12和42的最大公因数是2×3=6。
例2:
用短除法求84、126和210的最大公因数。
284126210
34263105
7142135
235
84、126和210的最大公因数是2×3×7=42。
例3:
在3和9、4和9、3和7、7和14、14和15五对数中,哪几对数是互素的?
解:
根据互素的概念,如果两个整数只有公因数1,则这两个数互素。
所以,在这五对数中,4和9、3和7、14和15这三对只有公因数1,
所以这三对数互素。
例4:
植树节这天,老师带领24名女生和32名男生到植物园种树。
老师把这些学生分成人数相等的若干个小组,每个小组中男生人数相等。
请问,这56名同学最多能分成几组?
(★)
解:
分成的组数能整除24和32,也就是24和32的因数,题目实际上是求24和32的最大公因数。
(24,32)=8
答:
这56名同学最多能分成8个组。
练习
⑴求8,9和30的最大公因数。
⑵求18和30的最大公因数。
⑶用短除法求60和72的最大公因数。
⑷用短除法求48、72和120的最大公因数。
练习1.4(★)
1、2520的因数有多少个?
2、求24,44,60的最大公因数。
11111
3、分数————是不是最简分数?
15015
4、一块长方形木料,长72cm,宽60cm,高36cm,请你把它锯成同样大的正方形木块,且木块的体积要最大,木料又不能剩,算一算可以锯成几块?
5、有一级茶叶165克,二级茶叶198克,三级茶叶242克,三者价值相等,现将这三种茶叶分别装袋(均为整克数),每袋价值相等,价格最低,怎样分装?
1.6公倍数与最小公倍数
⑴公倍数和最小公倍数:
两个或多个数都有的倍数,叫做这几个数的公倍数;其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数。
◆如果a1,a2,…,an和m都是正整数,且a1∣m,a2∣m,…,an∣m,那么m叫做a1,a2,…,an的公倍数,公倍数中最小的叫做最小公倍数,记作[a1,a2,…,an]。
(★)
◆几个数的公因数的个数是有限的,而几个数的公倍数的个数是无限的。
◆两个数的最小公倍数的特殊情况:
①如果较大数是较小数的倍数,那么较大数就是这两个数的最小公倍数;
②如果两个数是互质数,那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。
⑵求几个数的最小公倍数的方法:
①枚举法:
分别列出每个数的倍数,然后找出它们的公倍数,其中最小的一个就是它们的最小公倍数。
②分解素因数法:
分别将每个数分解素因数,然后取它们所有公有的素因数,再取它们各自剩余的素因数,将这些素因数连乘,所得的积就是这两个数的最小公倍数。
③短除法:
a.两个数的最小公倍数:
用两个数的公因数去除这两个数,除到所有的商互素为止,然后将所有除数和最后得到的商连乘,所得的积就是这两个数的最小公倍数。
b.三个数的最小公倍数:
首先,用三个数的公因数去除每个数,除到三个数的商互素为止;其次,再用每两个数的公因数去除每个数,除到三个数的商成为两两互素(任意的两个商互素)为止;第三,把这些除数和最后的商相乘,所得的积就是这三个数的最小公倍数。
例1:
用短除法求12和42的最小公倍数。
21242
3621
27
12和42的最小公倍数是2×3×2×7=84。
例2:
用短除法求84、126和210的最大公因数。
284126144
3426372
71421