中考数学常考易错点61《统计》.docx

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中考数学常考易错点61《统计》

6.1统计

易错清单

1.对统计相关概念的理解不当导致出错.

【例1】　（2014·四川巴中）今年我市有4万名学生参加中考,为了了解这些考生的数学成绩,从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计分析.在这个问题中,下列说法:

①这4万名考生的数学中考成绩的全体是总体;

②每个考生是个体;

③2000名考生是总体的一个样本;

④样本容量是2000.

其中说法正确的有（　　）.

A.4个B.3个

C.2个D.1个

【解析】　总体是指考查的对象的全体,个体是总体中的每一个考查的对象,样本是总体中所抽取的一部分个体,而样本容量则是指样本中个体的数目.我们在区分总体、个体、样本、样本容量,这四个概念时,首先找出考查的对象.从而找出总体、个体.再根据被收集数据的这一部分对象找出样本,最后再根据样本确定出样本容量.

这4万名考生的数学中考成绩的全体是总体;每个考生的数学中考成绩是个体;2000名考生的中考数学成绩是总体的一个样本,样本容量是2000.故正确的是①④.

【答案】　C

【误区纠错】　从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本,而样本中个体的数目叫做样本容量.对“样本”与“样本容量”这两个概念的混淆,是较为常见的错误.

2.涉及有关统计量的计算问题,因计算方法不当导致出错.

【例2】　（2014·湖南怀化）某中学随机调查了15名学生,了解他们一周在校参加体育锻炼时间,列表如下:

锻炼时间（小时）

5

6

7

8

人数

2

6

5

2

　　则这15名同学一周在校参加体育锻炼时间的中位数和众数分别是（　　）

A.6,7B.7,7

C.7,6D.6,6

【解析】　此题考查了中位数和众数,中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后,最中间的那个数（最中间两个数的平均数）,叫做这组数据的中位数;众数是一组数据中出现次数最多的数.

∵　共有15个数,最中间的数是第8个数,

∴　这15名同学一周在校参加体育锻炼时间的中位数是6.

6出现的次数最多,出现了6次,则众数是6.

【答案】　D

【误区纠错】　求一组数据的中位数时,千万别忘了先将数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列.

3.求加权平均数失误.

【例3】　（2014·山东临沂）某中学随机抽查了50名学生,了解他们一周的课外阅读时间,结果如下表所示:

时间（小时）

4

5

6

7

人数

10

20

15

5

　　则这50名学生一周的平均课外阅读时间是　　　　小时. 

【解析】　平均数的计算方法是求出所有数据的和,然后除以数据的总个数.

该组数据的平均数为（4×10+5×20+6×15+7×5）÷50=265÷50=5.3（小时）.

【答案】　5.3

【误区纠错】　一般的,如果一组数据x1,x2…,xn的权分别为w1,w2…,wn,那么

为这n个数的加权平均数.本题易出现的错误是求4,5,6,7这四个数的平均数,对平均数的理解不正确.

4.统计图的综合使用时方法不当导致出错.

【例4】　（2014·山东枣庄）一个不透明的口袋装有若干个红、黄、蓝、绿四种颜色的小球,小球除颜色外完全相同,为估计该口袋中四种颜色的小球数量,每次从口袋中随机摸出一球记下颜色并放回,重复多次试验,汇总实验结果绘制如图不完整的条形统计图和扇形统计图.

根据以上信息解答下列问题:

（1）求实验总次数,并补全条形统计图;

（2）扇形统计图中,摸到黄色小球次数所在扇形的圆心角度数为多少度?

（3）已知该口袋中有10个红球,请你根据实验结果估计口袋中绿球的数量.

【解析】　

（1）用摸到红色球的次数除以占的百分比即是实验总次数,用总次数减去红、黄、绿球的次数和即为摸蓝球的次数,再补全条形统计图即可;

（2）用摸到黄色小球次数除以实验总次数,再乘以360°即可得摸到黄色小球次数所在扇形的圆心角度数;

（3）先得出摸到绿色小球次数所占的百分比,再用口袋中有10个红球除以红球所占的百分比得出口袋中小球的总数,最后乘以绿色小球所占的百分比即可.

【答案】　

（1）50÷25%=200（次）,

所以实验总次数为200次.

补全条形统计图如下:

故口袋中绿球有2个.

【误区纠错】　本题主要考查了条形统计图,用样本估计总体,弄清题意读懂图是解本题的关键.

名师点拨

　1.牢固掌握概念,并能掌握概念间的区别和联系,以及在实际问题中的应用.

2.统计是与数据打交道,解题时计算较繁琐,所以要有意识培养认真、耐心、细致的学习态度和学习习惯.

3.要关注统计知识与方程、不等式相结合的综合性试题,会读频数分布直方图,会分析图表.注重能力的培养,加大训练力度.

4.在统计中数据的集中趋势与离散程度是中考热点,应分清众数、中位数、平均数的区别,分清方差、极差、标准差的联系,例如众数一定存在于一组数据中,众数不唯一;中位数不一定存在一组数据中,中位数唯一;能用统计数据来解决生产生活中的问题.

提分策略

1.统计的方法.

（1）下面的情形常采用抽样调查:

①当受客观条件限制,无法对所有个体进行普查时,如考查某市中学生的视力.②当调查具有破坏性,不允许普查时,如考查某批灯泡的使用寿命是抽样调查.③当总体的容量较大,个体分布较广时,考查多受客观条件限制,宜用抽样调查.

（2）抽样调查的要求:

①抽查的样本要有代表性;②抽查样本的数目不能太少.

【例1】　为了了解某市120000名初中学生的视力情况,某校数学兴趣小组,并进行整理分析.

（1）小明在眼镜店调查了1000名初中学生的视力,小刚在邻居中调查了20名初中学生的视力,他们的抽样是否合理?

并说明理由;

（2）该校数学兴趣小组从该市七、八、九年级各随机抽取了1000名学生进行调查,整理他们的视力情况数据,得到如下的折线统计图.

某市七、八、九年级各抽取的

1000名学生视力不良率折线图

请你根据抽样调查的结果,估计该市120000名初中学生视力不良的人数是多少?

【解析】　

（1）根据学生全部在眼镜店抽取,不具有代表性;只抽取20名初中学生,样本的容量过小,样本不具有广泛性;

（2）用120000乘以初中学生视力不良的人数所占的百分比,即可得出答案.

【答案】　

（1）他们的抽样都不合理.

因为如果1000名初中学生全部在眼镜店抽取,那么该市每个学生被抽到的机会不相等,样本不具有代表性,

如果只抽取20名初中学生,那么样本的容量过小,样本不具有广泛性.

（2）根据题意,得

故该市120000名初中学生视力不良的人数约是72000名.

2.统计图的特点.

【例2】　（2014·湖南张家界）要反映台州市某一周每天的最高气温的变化趋势,宜采用（　　）

A.条形统计图

B.扇形统计图

C.折线统计图

D.频数分布统计图

【解析】　根据统计图的特点进行分析可得:

扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比,但一般不能直接从图中得到具体的数据;折线统计图表示的是事物的变化情况;条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目.

【答案】　据题意,得要求直观反映台州市一周内每天的最高气温的变化情况,结合统计图各自的特点,应选择折线统计图.故选C.

3.条形统计图、折线统计图、扇形统计图的应用.

【例3】　“中国梦”是中华民族每一个人的梦,也是每一个中小学生的梦,各中小学开展经典诵读活动,无疑是“中国梦”教育这一宏大乐章里的响亮音符,学校在经典诵读活动中,对全校学生用A,B,C,D四个等级进行评价,现从中抽取若干个学生进行调查,绘制出了两幅不完整的统计图,请你根据图中信息解答下列问题:

（1）共抽取了多少个学生进行调查?

（2）将图甲中的折线统计图补充完整;

（3）求出图乙中B等级所占圆心角的度数.

甲

乙

【解析】　

（1）用C等级的人数除以C等级所占的百分比即可得到抽取的总人数;

（2）先用总数分别减去A,C,D等级的人数得到B等级的人数,然后画出折线统计图;

（3）用360°乘以B等级所占的百分比即可得到B等级所占圆心角的度数.

【答案】　

（1）10÷20%=50,

所以抽取了50个学生进行调查.

（2）B等级的人数为50-15-10-5=20（人）,

补充折线统计图如图.

（3）图乙中B等级所占圆心角的度数为

4.方差与标准差的计算.

【例4】　我市射击队为了从甲、乙两名运动员中选出一名运动员参加省运动会比赛,组织了选拔测试,两人分别进行了五次射击,成绩（单位:

环）如下:

甲

10

9

8

9

9

乙

10

8

9

8

10

则应选择　　　　运动员参加省运动会比赛. 

【解析】　先分别计算出甲和乙的平均数,再利用方差公式求出甲和乙的方差,最后根据方差的大小进行判断即可.

甲的平均数是（10+9+8+9+9）=9,

乙的平均数是（10+8+9+8+10）=9,

甲的方差=

[（10-9）2+（9-9）2+（8-9）2+（9-9）2+（9-9）2]=0.4;

乙的方差=

[（9-9）2+（8-9）2+（9-9）2+（10-9）2+（9-9）2]=0.8.

∵

∴　甲的成绩稳定.

∴　应选择甲运动员参加省运动会比赛.

【答案】　甲

　　5.利用样本估计总体.

统计的核心思想是用样本去估计总体,本题的命题就体现了这一思想.对于一组数据来说,出现次数最多的那个数据就是这组数据的众数;按从小到大（或从大到小）的顺序排列后,处于最中间的一个数（共有奇数个数据）或中间两个数的平均数（共有偶数个数据）就是这组数据的中位数;极差是这组数据中最大数与最小数的差;平均数是所有数据的和除以数据个数.当然,本题求平均数的方法是利用加权平均数的计算公式进行计算的.

【例5】　为提高居民的节水意识,向阳小区开展了“建设节水型社区,保障用水安全”为主题的节水宣传活动,小莹同学积极参与小区的宣传活动,并对小区300户家庭用水情况进行了抽样调查,他在300户家庭中,随机调查了50户家庭5月份的用水量情况,结果如图所示.

（1）试估计该小区5月份用水量不高于12t的户数占小区总户数的百分比;

（2）把图中每组用水量的值用该组的中间值（如0~6的中间值为3）来替代,估计该小区5月份的用水量.

【解析】　

（1）用用水量不高于12t的户数除以抽查的总的户数即可求出该小区5月份用水量不高于12t的户数占小区总户数的百分比;

（2）用该组的中间值乘以户数,求出总的用水量,再除以抽查的户数求出每户的平均用水量,最后乘以该小区总的户数即可得出答案.

【答案】　

（1）根据题意,得

×100%=52%.

故该小区5月份用水量不高于12t的户数占小区总户数的百分比是52%.

（2）根据题意,得300×（3×6+9×20+15×12+21×7+27×5）÷50=3960（t）.

故估计该小区5月份的用水量是3960t.

专项训练

一、选择题

1.（2014·四川峨眉山二模）某班对全体同学上学的方式作一个调查,画出乘车、步行、骑车人数分布的条形统计图和扇形统计图（两图均不完整）,如图,则下列结论中错误的是（　　）.

（第1题）

A.该班总人数为50人

B.骑车人数占总人数的20%

C.乘车人数是骑车人数的2.5倍

D.步行人数为30人

2.（2014·湖北襄阳模拟）我区某校九年级开展“光盘行动”宣传活动,各班级参加该活动的人数统计结果如下表,对于这组统计数据,下列说法中正确的是（　　）.

班级

1班

2班

3班

4班

5班

6班

人数

52

60

62

54

58

62

A.平均数是60B.中位数是59

C.极差是40D.众数是58

3.（2014·江苏常州模拟）为了帮助本市一名患“白血病”的高中生,某班15名同学积极捐款,他们捐款数额如下表:

捐款的数额/元

5

10

20

50

100

人数/人

2

4

5

3

1

关于这15名学生所捐款的数额,下列说法正确的是（　　）.

A.众数是100B.平均数是30

C.极差是20D.中位数是20

4.（2014·江苏南通海安县模拟）一组数据按从小到大排列为2,4,8,x,10,14.若这组数据的中位数为9,则这组数据的众数为（　　）.

A.6B.8

C.9D.10

5.（2014·四川简阳模拟）某校九年级一、二班学生参加同一次数学测验,经统计计算后得到下表:

班级

参加人数

中位数

方差

平均数

一班

55

78

135

75

二班

55

81

126

75

小亮根据上表分析得出如下结论:

①一、二两班学生的平均水平相同;②二班的优秀人数多于一班的优秀人数（成绩≥80分为优秀）;③一班成绩波动情况比二班成绩波动大.上述结论正确的是（　　）.

A.①②③B.①②

C.①③D.②③

6.（2013·河南西华县王营中学一模）某中学数学兴趣小组12名成员的年龄情况如下:

年龄（岁）

12

13

14

15

16

人数

1

4

3

2

2

则这个小组成员年龄的平均数和中位数分别是（　　）.

A.15,16B.13,15

C.13,14D.14,14

7.（2013·浙江温州一模）在50,20,50,30,50,25,35这组数据中,众数和中位数分别是（　　）.

A.50,20B.50,30

C.50,35D.35,50

8.（2013·河北三模）以下四种说法:

①为检测酸奶的质量,应采用抽查的方式;

②甲、乙两人打靶比赛,平均各中5环,方差分别为0.15,0.17,所以甲稳定;

③等腰梯形既是中心对称图形,又是轴对称图形;

④举办校运会期间的每一天都是晴天是必然事件.

其中正确的个数是（　　）.

A.4B.3

C.2D.1

二、填空题

9.（2014·江苏常熟二模）九

（1）班同学为了解2012年某小区家庭月均用水情况,随机调查了该小区部分家庭,并将调查数据整理如下:

月均用水量x（t）

频数（户）

频率

0

6

0.12

5

0.24

10

16

0.32

15

10

0.20

20

4

25

2

0.04

（第9题）

若该小区有1000户家庭,根据调查数据估计,则该小区月均用水量超过20t的家庭大约有　　　　户. 

10.（2014·江苏句容一模）中国跳水队的奥运选拔赛中,甲、乙、丙、丁四名运动员的平均成绩与标准差S如下表,则要从中选一名参赛,应选择　　　　. 

甲

乙

丙

丁

8

9

9

8

S

1

1

1.2

1.3

11.（2014·上海长宁区二模）为了解某区高三学生的身体发育状况,抽查了该区100名年龄为17.5岁~18岁的男生体重（kg）,得到频率分布直方图,从图中可知,这100名学生中体重不小于55.5kg且小于65.5kg的学生人数是　　　　. 

（第11题）

12.（2013·山西模拟）某家电商场近来一个月卖出不同功率的空调总数见下表:

功率（匹）

1

1.5

2

3

销量（台）

80

78

90

25

那么这一个月卖出空调的众数是　　　　. 

13.（2013·浙江温州一模）在“感恩一日捐”捐赠活动中,某班40位同学捐款金额统计如下,则在这次活动中,该班同学捐款金额的平均数是　　　　元. 

金额（元）

20

30

36

50

100

学生数（人）

3

7

5

15

10

三、解答题

14.（2014·山东济南二模）某校为了开设武术、舞蹈、剪纸等三项活动课程以提升学生的体艺素养,随机抽取了部分学生对这三项活动的兴趣情况进行了调查（每人从中只能选一项）,并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图,请你结合图中信息解答问题.

　　　喜欢种类活动的

　　　学生人数条形图

（1）　女生中喜欢各类活动

的人数扇形统计图

（2）

（第14题）

（1）将条形统计图补充完整;

（2）本次抽样调查的样本容量是　　　　　; 

（3）已知该校有1200名学生,请你根据样本估计全校学生中喜欢剪纸的人数.

15.（2013·吉林模拟）小丽学完统计知识后,随机调查了她所在辖区若干名居民的年龄,将调查数据绘制成如下扇形和条形统计图:

（第15题）

请根据以上不完整的统计图提供的信息,解答下列问题:

（1）小丽同学共调查了　　　　名居民的年龄,扇形统计图中a=　　　　,b=　　　　; 

（2）补全条形统计图;

（3）若该辖区年龄在0~14岁的居民约有3500人,请估计年龄在15~59岁的居民的人数.

参考答案与解析

1.D　2.B　3.D　4.D　5.A　6.D　7.C　8.C

9.120　10.乙　11.35　12.2　13.55

14.

（1）∵　根据扇形统计图可得出女生喜欢武术的占20%,利用条形图中喜欢武术的女生有10人,

∴　女生总人数为10÷20%=50（人）,

∴　女生中喜欢舞蹈的人数为50-10-16=24（人）.

补充条形统计图,如图所示:

（第14题）

（2）100

（3）∵　样本中喜欢剪纸的人数为30人,样本容量为100,

∴　估计全校学生中喜欢剪纸的人数为

360（人）.

15.

（1）500　20%　12%

（2）41~59岁人数为500×22%=110（人）.

补全条形统计图如图所示.

（第15题）

（3）3500÷20%×（46%+22%）=11900（人）.

故年龄在15~59岁的居民约有11900人.