六年级数学下册抽屉原理.docx
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六年级数学下册抽屉原理
抽屉原理
小学教师:
宁德富
【教学目标】
1.经历“抽屉原理”的探究过程,初步了解“抽屉原理”,会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。
2.通过操作发展学生的类推能力,形成比较抽象的数学思维。
3.通过“抽屉原理”的灵活应用感受数学的魅力。
【教学重、难点】经历“抽屉原理”的探究过程,理解“抽屉原理”,并对一些简单实际问题加以“模型化”。
【教学过程】
一、问题引入。
师:
同学们,你们玩过抢椅子的游戏吗?
现在,老师这里准备了3把椅子,请4个同学上来,谁愿来?
1.游戏要求:
开始以后,请你们5个都坐在椅子上,每个人必须都坐下。
2.讨论:
“不管怎么坐,总有一把椅子上至少坐两个同学”这句话说得对吗?
游戏开始,让学生初步体验不管怎么坐,总有一把椅子上至少坐两个同学,使学生明确这是现实生活中存在着的一种现象。
引入:
不管怎么坐,总有一把椅子上至少坐两个同学?
你知道这是什么道理吗?
这其中蕴含着一个有趣的数学原理,这节课我们就一起来研究这个原理。
二、探究新知
(一)教学例1
1.出示题目:
有4枝铅笔,3个盒子,把4枝铅笔放进3个盒子里,怎么放?
有几种不同的放法?
师:
请同学们实际放放看,谁来展示一下你摆放的情况?
(指名摆)根据学生摆的情况,师出示各种情况。
板书:
(4,0,0)(3,1,0)(2,2,0)(2,1,1),
问题:
4个人坐在3把椅子上,不管怎么坐,总有一把椅子上至少坐两个同学。
4支笔放进3个盒子里呢?
引导学生得出:
不管怎么放,总有一个盒子里至少有2枝笔。
问题:
(1)“总有”是什么意思?
(一定有)
(2)“至少”有2枝什么意思?
(不少于两只,可能是2枝,也可能是多于2枝?
)
教师引导学生总结规律:
我们把4枝笔放进3个盒子里,不管怎么放,总有一个盒子里至少有2枝铅笔。
这是我们通过实际操作现了这个结论。
那么,你们能不能找到一种更为直接的方法得到这个结论呢?
学生思考并进行组内交流,教师选代表进行总结:
如果每个盒子里放1枝铅笔,最多放3枝,剩下的1枝不管放进哪一个盒子里,总有一个盒子里至少有2枝铅笔。
首先通过平均分,余下1枝,不管放在那个盒子里,一定会出现“总有一个盒子里一定至少有2枝”。
问题:
把6枝笔放进5个盒子里呢?
还用摆吗?
把7枝笔放进6个盒子里呢?
把8枝笔放进7个盒子里呢?
把9枝笔放进8个盒子里呢?
……你发现什么?
(笔的枝数比盒子数多1,不管怎么放,总有一个盒子里至少有2枝铅笔。
)
总结:
只要放的铅笔数盒数多1,总有一个盒里至少放进2支。
2.完成课下“做一做”,学习解决问题。
问题:
6只鸽子飞回5个鸽笼,至少有2只鸽子要飞进同一个鸽笼里,为什么?
(1)学生活动—独立思考自主探究
(2)交流、说理活动。
引导学生分析:
如果一个鸽笼里飞进一只鸽子,最多飞进4只鸽子,还剩一只,要飞进其中的一个鸽笼里。
不管怎么飞,至少有2只鸽子要飞进同一个鸽笼里。
所以,“至少有2只鸽子飞进同一个笼里”的结论是正确的。
总结:
用平均分的方法,就能说明存在“总有一个鸽笼至少有2只鸽子飞进一个个笼里”。
(二)教学例2
1.出示题目:
把5本书放进2个抽屉里,不管怎么放,总有一个抽屉里至少有几本书?
把7本书放进2个抽屉里,不管怎么放,总有一个抽屉里至少有几本书?
把9本书放进2个抽屉里,不管怎么放,总有一个抽屉里至少有几本书?
(留给学生思考的空间,师巡视了解各种情况)
2.学生汇报,教师给予表扬后并总结:
总结1:
把5本书放进2个抽屉里,如果每个抽屉里先放2本,还剩1本,这本书不管放到哪个抽屉里,总有一个抽屉里至少有3本书。
总结2:
“总有一个抽屉里的至少有2本”只要用“商+1”就可以得到。
问题:
如果把5本书放进3个抽屉里,不管怎么放,总有一个抽屉里至少有几本书?
用“商+2”可以吗?
(学生讨论)
引导学生思考:
到底是“商+1”还是“商+余数”呢?
谁的结论对呢?
(学生小组里进行研究、讨论。
)
总结:
用书的本数除以抽屉数,再用所得的商加1,就会发现“总有一个抽屉里至少有商加1本书”了。
师:
同学们的这一发现,称为“抽屉原理”,“抽屉原理”又称“鸽笼原理”,最先是由19世纪的德国数学家狄利克雷提出来的,所以又称“狄里克雷原理”,也称为“鸽巢原理”。
这一原理在解决实际问题中有着广泛的应用。
“抽屉原理”的应用是千变万化的,用它可以解决许多有趣的问题,并且常常能得到一些令人惊异的结果。
下面我们应用这一原理解决问题。
(三)学生自学例题3并进行自主交流,试着用手中的用具模拟演示场景。
三、解决问题
四、全课小结
典型例题
【例题1】木箱里装有红色球2个、黄色球3个、蓝色球5个,若蒙眼去摸,为保证取出的球中有两个球的颜色相同,则最少要取出多少个球?
分析:
这是一道典型的“抽屉原理”的题目,在解决问题时,关键是要注意球的颜色种类以及要取出几个相同颜色的球,也就是“抽屉”的数量是“3”个(颜色),以及至少一个“抽屉”有“2”个(同色的球),至于球的整体个数这里是不需要考虑的。
因此,答案就是3+1=4,最少要取出4个球才能保证取出的球中有两个球的颜色是相同的。
教学建议:
教师在讲解该题时,可以用相关问题加深学生对原理的理解:
1.各种颜色的球数量增加对题目有影响吗?
2.如果要求“保证取出的球中有三个球的颜色相同或者四个球的颜色相同”,则最少要取出几个球?
3.如果要求“保证取出的球中有三个黄色球”,则最少要取出几个球?
【例题2】一幅扑克牌有54张,去掉大小王牌之后最少要抽取几张牌,方能保证其中至少有3张牌有相同的花色?
分析:
这是一道典型的“抽屉原理”的题目,在解决问题时,关键是要注意牌的花色种类以及要取出几个相同花色的牌,也就是“抽屉”的数量是“4”个(颜色),以及至少一个“抽屉”有“3”个(同花色的牌),因此,答案就是4×(3-1)+1=9(张)或者4+4+1=9(张),最少要取出9张牌才能保证取出的牌中有三张花色是相同的。
习题精选
1.木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7个,若蒙眼去摸,为保证取出的球中有两个球的颜色相同,则最少要取出多少个球?
2.一幅扑克牌有54张,最少要抽取几张牌,方能保证其中至少有3张牌有相同的点数?
3.有11名学生到老师家借书,老师的书房中有A、B、C、D四类书,每名学生最多可借两本不同类的书,最少借一本。
试证明:
必有两个学生所借的书的类型相同
4.有50名运动员进行某个项目的单循环赛,如果没有平局,也没有全胜。
试证明:
一定有两个运动员积分相同。
5.体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球,某班50名同学来仓库拿球,规定每个人至少拿1个球,至多拿2个球,问至少有几名同学所拿的球种类是一致的?
6.某校有55个同学参加数学竞赛,已知将参赛人任意分成四组,则必有一组的女生多于2人,又知参赛者中任何10人中必有男生,则参赛男生的人数为多少人?
7.有黑色、白色、蓝色手套各5只(不分左右手),至少要拿出多少只(拿的时候不许看颜色),才能使拿出的手套中一定有两双是同颜色的。
8.一些苹果和梨混放在一个筐里,小明把这筐水果分成了若干堆,后来发现无论怎么分,总能从这若干堆里找到两堆,把这两堆水果合并在一起后,苹果和梨的个数是偶数,那么小明至少把这些水果分成了多少堆?
9.从1,3,5,……,99中,至少选出多少个数,其中必有两个数的和是100。
10.某旅游车上有47名乘客,每位乘客都只带有一种水果。
如果乘客中有人带梨,并且其中任何两位乘客中至少有一个人带苹果,那么乘客中有多少人带苹果。
11.某个年级有202人参加考试,满分为100分,且得分都为整数,总得分为10101分,则至少有多少人得分相同?
12.2006名营员去游览长城,颐和园,天坛。
规定每人最少去一处,最多去两处游览,至少有几个人游览的地方完全相同?
13.某校派出学生204人上山植树15301株,其中最少一人植树50株,最多一人植树100株,则至少有多少人植树的株数相同?
答案:
1.为保证取出的球中有两个球的颜色相同,则最少要取出4个球。
2.最少要抽取29张牌,方能保证其中至少有3张牌有相同的点数。
3.证明:
A、B、C、D四类书,根据题目条件,这些学生借书的组合可能有十种,分别是:
因为有11名学生到老师家借书,而只有10种借书情况,因此必有两个学生所借的书的类型相同。
4.证明,所谓单循环赛即每个运动员都与其它运动员进行一场比赛。
即每个人要参加49场比赛,这样如果假设没有运动员积分相同,因为没有全胜,则运动员的积分就有48胜、47胜……2胜、1胜、0胜共49个积分情况,而50名运动员需要有50个不同的积分结果,这里“49个积分情况”与“需要50个积分结果”出现了矛盾,所以假设“没有运动员积分相同”是错误的,因此一定有两个运动员积分相同。
5.至少有9名同学所拿的球种类是一致的。
6.则参赛男生46人。
7.至少要拿出10只才能使拿出的手套中一定有两双是同颜色的。
8.至少把这些水果分成了5堆。
分四种情况:
9.至少选出51个数,其中必有两个数的和是100。
10.46乘客带苹果。
11.提示:
分值从0~100,共101种可能的分值,10101÷(0+1+2+……+100)=2……1,则至少有3人得分相同。
12.至少有335个人游览的地方完全相同。
13.则至少有5人植树的株数相同。
单元测试
1.一天,颐和园知春亭中有6位游客.请证明:
他们之中必有三名互相认识或者互相不认识。
2.用红、黑两种颜色将一个2×9的长方形中的小方格随意染色,每个小方格染一种颜色,证明:
至少有3列小方格中染的颜色完全相同。
3.用红、白、黑三种颜色给一个3×n的长方形中的每一个小方格随意染上一种颜色.n至少为多少时,才能保证至少有两列染色方式完全一样?
4.口袋中放有足够多的红、白、蓝色的球,现有31个人轮流从中取球,每人取三个。
证明:
至少有4个人取出的球的颜色完全相同。
5.六个小朋友每人至少有1本书,一共有20本书,试证明:
至少有2个同学有相同数量的书。
答案:
1.分析:
这是一个典型的抽屉原理的问题,因为两个人只有“认识”和“不认识”两种情况,也就是说,6个人(A、B、C、D、E、F),每一个人和其他5个人出现的情况分别属于“认识”和“不认识”两类(用两种颜色的线表示),因此,就会有一个人(A)与3个人(B、C、E)都不认识或都认识,假设有A这个人与B、C、E这3个人都不认识,我们再看这3个人(B、C、E)的关系,其中任何两个人不认识都使证题成立,如B、E两个人不认识,那么A、B、E这三个人的关系使得证题成立,如果没有任何两个人认识,则B、C、E这三个人的关系也使得证题成立。
2.证明:
用红色和黑色给2×9的小方格染色,我们以列为单位,每列出现的染色情况有:
(红黑)、(红红)、(黑红)、(黑黑)4种情况,因为是9列小方格,根据9÷4=2……1,由“商+1=3”,可以知道至少有3列小方格中染的颜色完全相同。
3.分析:
用红、白、黑色给3×n的小方格染色,我们以列为单位,每列出现的染色情况有27种,因此至少应该有27+1=28列时,可以保证至少有两列染色方式完全一样。
即n=28。
4.证明:
由于口袋中有足够多的红、白、蓝球,因此取出三个球的情况可能有下面10种:
(红红红)、(白白白)、(蓝蓝蓝)、(红红白)、(红红蓝)、(白白红)、(白白蓝)(蓝蓝红)、(蓝蓝白)、(红白蓝)。
一共31个人。
由31÷10=3……1,根据“商+1=4”可以知道,至少有4个人取出的球的颜色完全相同。
5.这道题目可以采用反证法进行证明。
证明:
假设六个小朋友手中书的数量不相同,因为每人至少有1本书,则至少需要书的数量就是:
1+2+3+4+5+6=21(本)
而实际只有20本书,也就是说假设不成立,因此至少有2个同学有相同数量的书。
狄利克雷
狄利克雷(1805~1859)
Dirichlet,PeterGustavLejeune
德国数学家。
对数论、数学分析和数学物理有突出贡献,是解析数论的创始人之一。
1805年2月13日生于迪伦,1859年5月5日卒于格丁根。
中学时曾受教于物理学家G.S欧姆;1822~1826年在巴黎求学,深受J.-B.-J.傅里叶的影响。
回国后先后在布雷斯劳大学、柏林军事学院和柏林大学任教27年,对德国数学发展产生巨大影响。
1839年任柏林大学教授,1855年接任C.F.高斯在哥廷根大学的教授职位。
在分析学方面,他是最早倡导严格化方法的数学家之一。
1837年他提出函数是x与y之间的一种对应关系的现代观点。
在数论方面,他是高斯思想的传播者和拓广者。
1863年狄利克雷撰写了《数论讲义》,对高斯划时代的著作《算术研究》作了明晰的解释并有创见,使高斯的思想得以广泛传播。
1837年,他构造了狄利克雷级数。
1838~1839年,他得到确定二次型类数的公式。
1846年,使用抽屉原理。
阐明代数数域中单位数的阿贝尔群的结构。
在数学物理方面,他对椭球体产生的引力、球在不可压缩流体中的运动、由太阳系稳定性导出的一般稳定性等课题都有重要论著。
1850年发表了有关位势理论的文章,论及著名的第一边界值问题,现称狄利克雷问题。