高考数学同步测试 53.docx
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高考数学同步测试53
章末检测试卷（三）（A）
（时间：
120分钟 满分：
150分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．下列事件中，随机事件的个数是（ ）
①2020年8月18日，北京市不下雨；
②在标准大气压下，水在4℃时结冰；
③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，恰为1号签；
④若x∈R，则x2≥0.
A．1B．2C．3D．4
答案 B
解析 ①③为随机事件，②为不可能事件，④为必然事件．
2．老师为研究男女同学数学学习的差异情况，对某班50名同学（其中男同学30名，女同学20名）采取分层抽样的方法，抽取一个容量为10的样本进行研究，则女同学甲被抽到的概率为（ ）
A.B.C.D.
答案 C
解析 因为在分层抽样中，每位同学被抽到的机会是相等的，所以女同学甲被抽到的概率P＝＝.
3．某娱乐栏目中的“百宝箱”互动环节是一种竞猜游戏，游戏规则如下：
在20个商标中，有5个商标的背面注明了一定的奖金额，其余商标的背面是一张苦脸，若翻到带苦脸的商标就不获奖．参加这个游戏的观众有三次翻商标的机会．某观众前两次翻商标均获若干奖金，如果翻过的商标不能再翻，那么这位观众第三次翻商标获奖的概率是（ ）
A.B.C.D.
答案 B
解析 该观众翻两次商标后，还有18个商标，其中有3个含奖金，所以第三次翻商标获奖的概率P＝＝.
4．若干个人站成一排，其中为互斥事件的是（ ）
A．“甲站排头”与“乙站排头”
B．“甲站排头”与“乙不站排尾”
C．“甲站排头”与“乙站排尾”
D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”
答案 A
解析 由互斥事件的定义可得，“甲站排头”与“乙站排头”为互斥事件．
5．已知直线y＝x＋b在x轴上的截距在[－2,3]范围内，则直线在y轴上的截距b大于1的概率是（ ）
A.B.C.D.
答案 A
解析 由题意知b∈[－3,2]，所以P（截距b大于1）＝＝.
6．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）
A.B.C.D.
答案 C
解析 从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，有10种方法．能成为勾股数的只有3,4,5一组，∴P＝.
7．已知平面区域D＝{（x，y）|－1≤x≤1，－1≤y≤1}，在区域D内任取一点，则取到的点位于直线y＝kx（k∈R）下方的概率为（ ）
A.B.C.D.
答案 C
解析 由题设知，区域D是以原点为中心的正方形，根据图形的对称性知，直线y＝kx将其面积平分，如图，故所求概率为.
8．某算法的程序框图如图所示．如果从集合{x|－5≤x≤5，x∈Z}中任取一个数作为x值输入，则输出的y值大于或等于3的概率为（ ）
A.B.C.D.
答案 B
解析 由题意得y＝集合{x|－5≤x≤5，x∈Z}中有11个整数，其中x＝－5，－4，－3时，
输出y≥3，所以P＝.故选B.
9．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a，从{1,2,3}中随机选取一个数b，则关于x的方程x2＋2ax＋b2＝0有两个不相等的实根的概率是（ ）
A.B.
C.D.
答案 C
解析 方程有两个不相等的实根得到a与b的关系后求解，根据题意，a是从集合{1,2,3,4,5}中随机抽取的一个数，a有5种情况，b是从集合{1,2,3}中随机抽取的一个数，b有3种情况，则方程x2＋2ax＋b2＝0有3×5＝15（种）情况，若方程x2＋2ax＋b2＝0有两个不相等的实根，则Δ＝（2a）2－4b2>0，即a>b，其中总数有15种，a>b的情况有9种，概率为.
10．从一批苹果中随机抽取50个，其质量（单位：
克）的频数分布表如下：
质量
[80,85）
[85,90）
[90,95）
[95,100]
频数
5
10
20
15
用分层抽样的方法从质量在[80,85）和[95,100]内的苹果中抽取4个，再从抽取的4个苹果中任取2个，则恰有1个苹果的质量在[80,85）内的概率为（ ）
A.B.C.D.
答案 A
解析 设从质量在[80,85）内的苹果中抽取x个，则从质量在[95,100]内的苹果中抽取（4－x）个，因为频数分布表中[80,85），[95,100]两组的频数分别为5,15，所以5∶15＝x∶（4－x），解得x＝1，即抽取的4个苹果中质量在[80,85）内的有1个，记为a，质量在[95,100]内的有3个，记为b1，b2，b3，任取2个有ab1，ab2，ab3，b1b2，b1b3，b2b3，共6种情况，其中恰有1个苹果的质量在[80,85）内的有ab1，ab2，ab3，共3种情况，所以所求概率为＝，故选A.
11．如图，已知曲线C1：
y＝，曲线C2和C3是半径相等且圆心在x轴上的半圆．在曲线C1与x轴所围成的区域内任取一点，则所取的点来自于阴影部分的概率为（ ）
A.B.C.D.
答案 B
解析 曲线C1：
y＝是圆（x－1）2＋y2＝1在x轴上方的一半，面积为π.曲线C2，C3是以为半径的半圆，所以阴影部分的面积为π2＝，所以所取的点来自阴影部分的概率为P＝＝.故选B.
12．甲、乙两位同学各拿出6张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：
骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜得所有12张游戏牌，并结束游戏．比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是（ ）
A．甲得9张，乙得3张
B．甲得6张，乙得6张
C．甲得8张，乙得4张
D．甲得10张，乙得2张
答案 A
解析 由题意，得骰子朝上的面的点数为奇数的概率为，即甲、乙每局得分的概率相等，
所以甲获胜的概率是＋×＝，
乙获胜的概率是×＝.
所以甲得到的游戏牌为12×＝9（张），乙得到的游戏牌为12×＝3（张），故选A.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如表所示：
年降水量/mm
[100,150）
[150,200）
[200,250）
[250,300]
概率
0.21
0.16
0.13
0.12
则年降水量在[200,300]（mm）范围内的概率是________．
答案 0.25
解析 “年降水量在[200,300]（mm）范围内”由“年降水量在[200,250）（mm）范围内”和“年降水量在[250,300]（mm）范围内”两个互斥事件构成，因此概率为0.13＋0.12＝0.25.
14．已知△ABC的面积等于S，在△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积不小于的概率等于________．
答案
解析 设△ABC底边AB上的高为h，P1在△ABC的边AB上，且P1B＝，AP1＝.
则S△P1BC＝·P1B·h＝··h＝×·AB·h＝S，同理有S△P1AC＝S.因为△PBC的面积不小于，所以点P只能在线段AP1上．所以△PBC的面积不小于的概率等于.
15．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是________．
答案
解析 第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，所以总的基本事件的个数为15，密码正确只有一种，概率为.
16．在抛掷一颗骰子的试验中，事件A表示“不大于4的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点出现”，则事件A∪发生的概率为________．（表示B的对立事件）
答案
解析 事件A包含的基本事件为“出现2点”或“出现4点”；表示“大于等于5的点出现”，包含的基本事件为“出现5点”或“出现6点”．显然A与是互斥的，故P（A∪）＝P（A）＋P（）＝＋＝.
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（10分）一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1,2,3,4.现从盒子中随机抽取卡片．
（1）若一次抽取3张卡片，求3张卡片上的数字之和大于7的概率；
（2）若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，求至少有一次抽到数字3的概率．
解
（1）设A表示事件“抽取的3张卡片上的数字之和大于7”，任取3张卡片，3张卡片上的数字的全部可能结果是（1,2,3），（1,2,4），（1,3,4），（2,3,4），共4个．
其中数字之和大于7的是（1,3,4），（2,3,4），共2个，
故P（A）＝.
（2）设B表示事件“至少有一次抽到数字3”，
第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片的全部可能结果有（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），共16个．
至少有一次抽到数字3的结果有（1,3），（2,3），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（4,3），共7个．
故所求事件的概率为P（B）＝.
18．（12分）甲、乙两人相约于下午1：
00～2：
00之间到某车站乘公共汽车外出，他们到达车站的时间是随机的．设在下午1：
00～2：
00之间该车站有四班公共汽车开出，开车时间分别是1：
15,1：
30,1：
45,2：
00.求他们在下述情况下乘同一班车的概率：
（1）约定见车就乘；
（2）约定最多等一班车．
解 设甲、乙到站的时间分别是x，y，则1≤x≤2,1≤y≤2.试验区域D为点（x，y）所形成的正方形，以16个小方格表示，如图（a）所示．
（1）约定见车就乘的事件所表示的区域如图（b）中4个加阴影的小方格所示，于是所求的概率为＝.
（2）约定最多等一班车的事件所表示的区域如图（c）中10个加阴影的小方格所示，于是所求的概率为＝.
19．（12分）袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是.
（1）求n的值；
（2）从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.
①记事件A表示“a＋b＝2”，求事件A的概率；
②在区间[0,2]内任取2个实数x，y，求事件“x2＋y2＞（a－b）2恒成立”的概率．
解
（1）由题意可知：
＝，解得n＝2.
（2）①不放回地随机抽取2个小球的所有基本事件为：
（0,1），（0,21），（0,22），（1,0），（1,21），（1,22），（21,0），（21,1），（21,22），（22,0），（22,1），（22,21），共12个，
事件A包含的基本事件为：
（0,21），（0,22），（21,0），（22,0），共4个．
所以P（A）＝＝.
②记“x2＋y2＞（a－b）2恒成立”为事件B，则事件B等价于“x2＋y2＞4”，（x，y）可以看成平面中的点，则全部结果所构成的区域Ω＝{（x，y）|0≤x≤2,0≤y≤2，x，y∈R}，而事件B所构成的区域B＝{（x，y）|x2＋y2＞4，（x，y）∈Ω}，
所以P（B）＝＝＝1－.
20．（12分）“抢红包”的活动给节假日增添了一份趣味，某组织进行了一次关于“是否参与抢红包活动”的调查活动，在几个大型小区随机抽取50名居民进行问卷调查，对问卷结果进行了统计，并将调查结果统计如下表：
年龄/岁
[10,20）
[20,30）
[30,40）
[40,50）
[50,60）
[60,70]
调查人数
4
6
14
12
8
6
参与的人数
3
4
12
6
3
2
（1）补全如图所示有关调查人数的频率分布直方图，并根据频率分布直方图估计这50名居民年龄的中位数和平均数（结果精确到0.1）；
（2）在被调查的居民中，若从年龄在[10,20），[20,30）内的居民中各随机选取1人参加抽奖活动，求选中的2人中仅有1人没有参与抢红包活动的概率．
解
（1）补全频率分布直方图，如图所示：
这50名居民年龄的平均数约为（15×0.008＋25×0.012＋35×0.028＋45×0.024＋55×0.016＋65×0.012）×10＝41.4.
设中位数为x，则0.08＋0.12＋0.28＋0.024（x－40）＝0.5，解得x≈40.8，
所以这50名居民年龄的中位数约为40.8.
（2）记年龄在[10,20）内的居民为a1，A2，A3，A4（其中居民a1没有参与抢红包活动），年龄在[20,30）内的居民为b1，b2，B3，B4，B5，B6（其中居民b1，b2没有参与抢红包活动）．从年龄在[10,20），[20,30）内的居民中各选取1人的情形有（a1，b1），（a1，b2），（a1，B3），（a1，B4），（a1，B5），（a1，B6），（A2，b1），（A2，b2），（A2，B3），（A2，B4），（A2，B5），（A2，B6），（A3，b1），（A3，b2），（A3，B3），（A3，B4），（A3，B5），（A3，B6），（A4，b1），（A4，b2），（A4，B3），（A4，B4），（A4，B5），（A4，B6），共24种．
其中仅有1人没有参与抢红包活动的情形有10种，所以选中的2人中仅有1人没有参与抢红包活动的概率P＝＝.
21．（12分）M公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩（单位：
分）如茎叶图所示，公司规定：
成绩在180分以上者到“甲部门”工作；180分以下者到“乙部门”工作．
（1）求男生成绩的中位数及女生成绩的平均数；
（2）如果用分层抽样的方法从“甲部门”和“乙部门”中共选取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“甲部门”的概率是多少？
解
（1）男生共有14人，中间两个成绩是175和176，因此男生成绩的中位数是175.5.
女生成绩的平均数＝＝181.
（2）用分层抽样的方法从“甲部门”和“乙部门”20人中抽取5人，每个人被抽中的概率是＝.
根据茎叶图，“甲部门”有8人，“乙部门”有12人．
所以选中的“甲部门”的有8×＝2（人），“乙部门”的有12×＝3（人）．
记选中的“甲部门”的为A1，A2，选中的“乙部门”的为B，C，D.从这5人中选2人的所有可能情况为
（A1，A2），（A1，B），（A1，C），（A1，D），（A2，B），（A2，C），（A2，D），（B，C），（B，D），（C，D），共10种．
其中至少有一人是“甲部门”的结果有7种．
因此，至少有一人是“甲部门”的概率是.
22．（12分）交通指数是指交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，记交通指数为T，其范围为[0,10]，分别有五个级别：
T∈[0,2），畅通；T∈[2,4），基本畅通；T∈[4,6），轻度拥堵；T∈[6,8），中度拥堵；T∈[8,10]，严重拥堵．在晚高峰时段（T≥2），从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示．
（1）求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段的个数；
（2）用分层抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽取6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；
（3）从
（2）中抽取的6个路段中任取2个，求至少有1个路段为轻度拥堵的概率．
解
（1）由频率分布直方图得，这20个交通路段中，
轻度拥堵的路段有（0.1＋0.2）×1×20＝6（个），
中度拥堵的路段有（0.25＋0.2）×1×20＝9（个），
严重拥堵的路段有（0.1＋0.05）×1×20＝3（个）．
（2）由
（1）知，拥堵路段共有6＋9＋3＝18（个），按分层抽样，从18个路段抽取6个，则抽取的三个级别路段的个数分为×6＝2，×9＝3，×3＝1，即从交通指数在[4,6），[6,8），[8,10]的路段中分别抽取的个数为2,3,1.
（3）记抽取的2个轻度拥堵路段为A1，A2，抽取的3个中度拥堵路段为B1，B2，B3，抽取的1个严重拥堵路段为C1，则从这6个路段中抽取2个路段的所有可能情况为：
（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C1），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C1），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C1），（B2，B3），（B2，C1），（B3，C1），共15种，其中至少有1个路段为轻度拥堵的情况为：
（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C1），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C1），共9种．
所以所抽取的2个路段中至少有1个路段为轻度拥堵的概率为＝.
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