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数　学　史　上　的　三　次　危　机

奇　妙　的　自　然　数

π　的　历　史?

虚数不虚

数　的　由　来　和　发　展

数系

自然数

整数

有理数

引起数学危机的无理数

分形----自然几何

数　学　史　上　的　三　次　危　机

无　理　数　的　发　现　──　第　一　次　数　学　危　机　　

　　大约公元前５世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论。

当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为"四艺"，在其中追求宇宙的和谐规律性。

他们认为：

宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形，如直角边长均为１的直角三角形就是如此。

这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时认识上的"危机"，从而产生了第一次数学危机。

　　到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。

他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第５卷中。

欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致。

今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微妙之处。

第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击。

这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了。

危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！

无　穷　小　是　零　吗　？

　──　第　二　次　数　学　危　机　　

　　18世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用，大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。

　　1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，矛头指向微积分的基础--无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。

他指出：

"牛顿在求xn的导数时，采取了先给x以增量０，应用二项式（x+0）n，从中减去xn以求得增量，并除以０以求出xn的增量与x的增量之比，然后又让０消逝，这样得出增量的最终比。

这里牛顿做了违反矛盾律的手续──先设x有增量，又令增量为零，也即假设x没有增量。

"他认为无穷小dx既等于零又不等于零，召之即来，挥之即去，这是荒谬，"dx为逝去量的灵魂"。

无穷小量究竟是不是零？

无穷小及其分析是否合理？

由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论。

导致了数学史上的第二次数学危机。

　　18世纪的数学思想的确是不严密的，直观的强调形式的计算而不管基础的可靠。

其中特别是：

没有清楚的无穷小概念，从而导数、微分、积分等概念也不清楚，无穷大概念不清楚，以及发散级数求和的任意性，符号的不严格使用，不考虑连续就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等。

　　直到19世纪20年代，一些数学家才比较关注于微积分的严格基础。

从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始，到威尔斯特拉斯、戴德金和康托的工作结束，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了严格的基础。

悖　论　的　产　生　---　第　三　次　数　学　危　机　　

　　数学史上的第三次危机，是由1897年的突然冲击而出现的，到现在，从整体来看，还没有解决到令人满意的程度。

这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论造成的。

由于集合概念已经渗透到众多的数学分支，并且实际上集合论成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。

　　1897年，福尔蒂揭示了集合论中的第一个悖论。

两年后，康托发现了很相似的悖论。

1902年，罗素又发现了一个悖论，它除了涉及集合概念本身外不涉及别的概念。

罗素悖论曾被以多种形式通俗化。

其中最着名的是罗素于1919年给出的，它涉及到某村理发师的困境。

理发师宣布了这样一条原则：

他给所有不给自己刮脸的人刮脸，并且，只给村里这样的人刮脸。

当人们试图回答下列疑问时，就认识到了这种情况的悖论性质：

"理发师是否自己给自己刮脸？

"如果他不给自己刮脸，那么他按原则就该为自己刮脸；如果他给自己刮脸，那么他就不符合他的原则。

　　罗素悖论使整个数学大厦动摇了。

无怪乎弗雷格在收到罗素的信之后，在他刚要出版的《算术的基本法则》第２卷末尾写道：

"一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了，当本书等待印出的时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地"。

于是终结了近12年的刻苦钻研。

　　承认无穷集合，承认无穷基数，就好像一切灾难都出来了，这就是第三次数学危机的实质。

尽管悖论可以消除，矛盾可以解决，然而数学的确定性却在一步一步地丧失。

现代公理集合论的大堆公理，简直难说孰真孰假，可是又不能把它们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的。

所以，第三次危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续着。

奇　妙　的　自　然　数

　　1,2,3,4,5,……这些简简单单的自然数，是我们从呀呀学语开始就认识的。

它们是那样自自然然，因而显得平淡无奇。

但我们如果认真研究一下这些数字，就会发现其中妙趣横生。

聪明的数学王子高斯在小学的时候就会巧算自然数列之和，这正是由于他对自然数有深刻的了解。

高斯小时候在德国的一所农村小学读书。

数学老师是位从城里来的先生。

他瞧不起穷人的孩子，从不认真教他们，甚至还打骂学生。

有一天，他情绪很坏，一上课就命令学生做加法，从1一直加到100，谁算不到就不准回家。

所有的孩子都急急忙忙地算起来，老师却在一边看小说，不一会儿，小高斯就算出了结果是5050。

老师大吃一惊，奇怪他怎么算得这么快。

原来，高斯并不是按1+2+3+4……的顺序计算的。

而是把1到100一串数，从两头向中间，一头一尾两两相加，每两个数的和都是101。

例如：

1+100、2+99、3+98……，直到50+51，和都是101。

这样，100个数正好是50对，因此，101×50就得出5050的总和了。

从此，老师再也不敢轻视穷孩子们了。

他还从城里买来书，送给高斯，热心帮助他学数学，高斯进步得更快了。

小高斯所用的方法，正是许多数学家经过长期努力才找到的等差数列求和的办法。

这个故事人人皆知，它说明努力发现和巧妙利用规律是多么重要。

现在让我们再看看自然数还有哪些有趣的性质。

　　我们前面提到过完全数和友好数，除了这两种有趣的数以外，自然数中还有一类数被称为"自守数"。

所谓自守数就是自已和自己相乘以后得到的数，尾数不变。

在自然数中凡末尾数是1、5和6的数，不论自乘多少次，尾数仍然是1、5、6。

例如：

21×21=421

21×21×21=9261

325×325=105625

6×6×6×6=1296

　　这样的结论是不是完全正确呢？

我们可以用代数方法加以证明。

让我们以末尾是6的数为例。

这样的数可以表示成

，这里a为任意自然数，那么：

　　由于a是自然数，得到的结果也必定是自然数，可见它的个位必定是6。

高次方情况下也如此，证明从略。

用同样方法可以证明1、5结尾的数也是自守数。

　　如果把尾数取到两位，还有没有自守的性质呢？

有。

比如末尾是25和76的数就是自守数。

　　如果尾数取到三位、四位或更高位数，还能找到自守数吗？

经过数学家的计算寻觅，发现尾数为376、9376、09376、109376、7109376……以及末尾是625、0625、90625、890625、2890625、……的数都是自守数。

　　让我们再来看看自然数中的奇数和偶数。

　　奇数数列是1,3,5,7,…n,…（n为项数）偶数数列是2,4,6,8,…2n,…（n为项数）人们研究奇数，发现如下的性质：

　　这个结论可以用数学归纳法来证明，不过相当麻烦。

其实我们只要画一张最简单的方格图，这个性质就一目了然了。

图中除左下角的"·"代表"1"以外，每条虚线分别代表一个奇数。

这张图清楚地说明了为什么自然数中奇数数列各项之和等于项数的平方。

　　自然数中偶数数列则有如下的性质：

2=1×22+4=6=2×3

2+4+6=12=3×4

2+4+6+8=20=4×5

……

2+4+6+8+…+n=n（n+1）

　　不论用数学归纳法还是用画图方法也都能证明这个结论。

此外，对所有的自然数，下面的规律也成立并且十分有趣：

　　自然数中还有一类数被称为回文数。

回文数就是一个数的两边对称，如11，121，1221，9339，30203等等。

回文数本身倒也没有什么奇特。

不过人们发现大多数的自然数，如果把它各位数字的顺序倒置，再与原数相加，将得数再按上述步骤进行，经过有限的步骤后必能得到一个回文数：

                        如：

　95+59=154

                       　　　154+451=605

　　　　                      605+506=1111

　　1111就是一个回文数。

又如：

　198+891=1089

　　　　　　1089+9801=10890

　　　　　　　10890+09801=20691

　　　　　　　20691+19602=40293

　　　　　　　40293+39204=79497

　　79497又是一个回文数。

　　是不是所有的自然数都有这个性质呢？

不是。

例如三位数中的196似乎用上述办法就得不到回文数。

有人用计算机对196用上述办法重复十万次，仍然没有得到回文数。

但至今还没有人能用数学证明办法对这个问题下结论，所有"196问题"也成了世界性数学难题之一。

经过计算，在前十万个自然数中有5996个数就像196一样很难得到回文数。

　　让我们再看一个有趣的数字现象：

　　随意取4个数，如8，3，12，5写在圆周的四面。

用两个相领数中的大数减小数，将得数写在第二圈圆周。

如此做下去不久，必会得到4个相同的数。

这个现象是意大利教授杜西在1930年发现的，所以叫作"杜西现象"。

　　在自然数中还有一些数，看起来貌不惊人，但却十分特别，令人百思不得其解。

6174就是其中之一。

　　把6174各位数字从大到小排列，再从小到大排列，然后用大数减小数，结果还得到6174。

7641-1467=6174

　　有趣的是，不仅6174本身，就是任意一个四位数字，只要4个数字不完全相同，用上述办法重复多次，最后终能得到6174这个数。

　　例如：

1234这个数，我们用下列步聚运算：

4321-1234=3087

8730-0378=8352

8532-2358=6174

　　再举一例，如2883，则有：

8832-2388=1998

9981-1899=7982

9872-2789=7083

7830-0387=7443

7443-3447=3996

9963-3699=6264

6642-2466=4176

7641-1467=6174

　　对三位数字，用这个办法最终将得到495。

例如867，运算如下：

876-678=198

981-189=792

972-279=693

963-369=594

954-459=495

　　你还可以用其它数字来验证一下，看看对不对。

　　五位以上的数字，这个规律就不明显了。

　　最后再让我们看两组有趣的数：

第一组为：

1,6,7,23,24,30,38,47,54,55

第二组为：

2,3,10,19,27,33,34,50,51,56

　　这两组数有什么奇特之处呢？

　　首先，这两组数都没有公因数，而且两组数各自的和都是285。

不过这算不上奇怪，拼拼凑凑，谁也弄得出来。

不要着急，我们再往下看。

如果计算一下它们的方幂之和，你就会大为惊奇。

　　因为数字太多，我们不能一一列下去，让我们把结果列出来．

方幂次数

每组数方幂和

0

1

2

3

4

5

6

7

8

　　从0次幂到8次幂，两组数的方幂和都相等，谁能不感到惊奇呢？

不过算到9次方幂，两组数的方幂和就不相等了，这又是为什么呢？

这两组有趣的数和它们有趣的性质吸引了不少人进行研究。

　　专门研究整数性质的数学分支叫作数论。

数论中有许多看似简单实则相当困难，甚至近乎神秘的问题等待人们去解决，哥德巴赫猜想就是其中之一。

π　的　历　史　　

　　圆的周长与直径之比是一个常数，人们称之为圆周率。

通常用希腊字母π来表示。

1706年，英国人琼斯首次创用π代表圆周率。

他的符号并未立刻被采用，以后，欧拉予以提倡，才渐渐推广开来。

现在π已成为圆周率的专用符号，π的研究，在一定程度上反映这个地区或时代的数学水平，它的历史是饶有趣味的。

　　在古代，实际上长期使用π＝３这个数值，巴比伦、印度、中国都是如此。

到公元前２世纪，中国的《周髀算经》里已有周三径一的记载。

东汉的数学家又将π值改为

（约为3.16）。

直正使圆周率计算建立在科学的基础上，首先应归功于阿基米德。

他专门写了一篇论文《圆的度量》，用几何方法证明了圆周率与圆直径之比小于22/7而大于223/71。

这是第一次在科学中创用上、下界来确定近似值。

第一次用正确方法计算π值的，是魏晋时期的刘徽，在公元263年，他首创了用圆的内接正多边形的面积来逼近圆面积的方法，算得π值为3.14。

我国称这种方法为割圆术。

直到1200年后，西方人才找到了类似的方法。

后人为纪念刘徽的贡献，将3.14称为徽率。

　　公元460年，南朝的祖冲之利用刘徽的割圆术，把π值算到小点后第七位3.1415926，这个具有七位小数的圆周率在当时是世界首次。

祖冲之还找到了两个分数：

22/7和355/113，用分数来代替π，极大地简化了计算，这种思想比西方也早一千多年。

　　之后，西方数学家计算π的工作，有了飞速的进展。

1948年1月，费格森与雷思奇合作，算出808位小数的π值。

电子计算机问世后，π的人工计算宣告结束。

20世纪50年代，人们借助计算机算得了10万位小数的π，70年代又突破这个记录，算到了150万位。

到90年代初，用新的计算方法，算到的π值已到4.8亿位。

π的计算经历了几千年的历史，它的每一次重大进步，都标志着技术和算法的革新。

虚　数　不　虚

　　在学习开方时，总是要再三强调，被开方数一定要是非负数，被开方数为负数时，开方没有意义，众所周知，人们对事物的认识总是螺旋式上升的。

现在，我们知道对负数进行开方可以用来表示一个虚数。

　　在很久以前，大多数学家都认为负数没有平方根。

到1545年，意大利数学家卡尔丹在所著《重要的艺术》的第37章中列出并解出把10分成两部分，使其乘积为40的问题，方程是ｘ（10－ｘ）＝40，他求得根为

，然后说，"不管会受到多大的良心责备"，把

相乘，得乘积为25－（－15）或即40，卡尔丹在解三次方程时，又一次运用了负数的平方根。

卡尔丹肯定了负数的平方根的用处，但当时，人们对它的认识也仅止于此。

　　"实数"、"虚数"这两个词是由法国数学家笛卡尔在1637年率先提出来的。

而用ｉ＝

表示虚数的单位是18世纪著名数学家欧拉的功绩。

后来的人在这两个成果的基础上，把实数和虚数结合起来，记成ａ＋ｂｉ形式，称为复数。

　　在虚数刚进入数的领域时，人们对它的用处一无所知，实际生活中也没有用复数来表示的量，因而，最初人们对虚数产生怀疑和有一种不接受的态度。

莱布尼兹称虚数是既存在又不存在的两栖物。

欧拉尽管用它，但也认为虚数是虚幻的。

　　测量学家维塞尔用ａ＋ｂｉ表示平面上的点。

后来，高斯的复平面的概念，使复数有了真正的立足之地，从此复数就开始表示向量（有方向的数量），在水力学、地图学、航空学中有着日益广泛的应用。

数　的　由　来　和　发　展

　　你是否看过杂技团演出中"小狗做算术"这个节目？

台下观众出一道10以内的加法题，比如"2+5"，由演员写到黑板上。

小狗看到后就会"汪汪汪……"叫7声。

台下观众会报以热烈的掌声，对这只狗中的"数学尖子"表示由衷的赞许，并常常惊叹和怀疑狗怎么会这么聪明？

因为在一般人看来狗是不会有数量概念的。

　　人类是动物进化的产物，最初也完全没有数量的概念。

但人类发达的大脑对客观世界的认识已经达到更加理性和抽象的地步。

这样，在漫长的生活实践中，由于记事和分配生活用品等方面的需要，才逐渐产生了数的概念。

比如捕获了一头野兽，就用1块石子代表。

捕获了3头，就放3块石子。

"结绳记事"也是地球上许多相隔很近的古代人类共同做过的事。

我国古书《易经》中有"结绳而治"的记载。

传说古代波斯王打仗时也常用绳子打结来计算天数。

用利器在树皮上或兽皮上刻痕，或用小棍摆在地上计数也都是古人常用的办法。

这些办法用得多了，就逐渐形成数的概念和记数的符号。

　　数的概念最初不论在哪个地区都是1、2、3、4……这样的自然数开始的，但是记数的符号却大小相同。

　　古罗马的数字相当进步，现在许多老式挂钟上还常常使用。

　　实际上，罗马数字的符号一共只有7个：

I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C代表100）、D（代表500）、M（代表1,000）。

这7个符号位置上不论怎样变化，它所代表的数字都是不变的。

它们按照下列规律组合起来，就能表示任何数：

　　1．重复次数：

一个罗马数字符号重复几次，就表示这个数的几倍。

如：

"III"表示"3"；"XXX"表示"30"。

　　2．右加左减：

一个代表大数字的符号右边附一个代表小数字的符号，就表示大数字加小数字，如"VI"表示"6"，"DC"表示"600"。

一个代表大数字的符号左边附一个代表小数字的符号，就表示大数字减去小数字的数目，如"IV"表示"4"，"XL"表示"40"，"VD"表示"495"。

　　3．上加横线：

在罗马数字上加一横线，表示这个数字的一千倍。

如：

"

"表示"15,000"，"

"表示"165,000"。

　　我国古代也很重视记数符号，最古老的甲骨文和钟鼎中都有记数的符号，不过难写难认，后人没有沿用。

到春秋战国时期，生产迅速发展，适应这一需要，我们的祖先创造了一种十分重要的计算方法--筹算。

筹算用的算筹是竹制的小棍，也有骨制的。

按规定的横竖长短顺序摆好，就可用来记数和进行运算。

随着筹算的普及，算筹的摆法也就成为记数的符号了。

算筹摆法有横纵两式，都能表示同样的数字。

　　从算筹数码中没有"10"这个数可以清楚地看出，筹算从一开始就严格遵循十位进制。

9位以上的数就要进一位。

同一个数字放在百位上就是几百，放在万位上就是几万。

这样的计算法在当时是很先进的。

因为在世界的其他地方真正使用十进位制时已到了公元6世纪末。

但筹算数码中开始没有"零"，遇到"零"就空位。

比如"6708"，就可以表示为"┴╥"。

数字中没有"零"，是很容易发生错误的。

所以后来有人把铜钱摆在空位上，以免弄错，这或许与"零"的出现有关。

不过多数人认为，"0"这一数学符号的发明应归功于公元6世纪的印度人。

他们最早用黑点（·）表示零，后来逐渐变成了"0"。

　　说起"0"的出现，应该指出，我国古代文字中，"零"字出现很早。

不过那时它不表示"空无所有"，而只表示"零碎"、"不多"的意思。

如"零头"、"零星"、"零丁"。

"一百零五"的意思是：

在一百之外，还有一个零头五。

随着阿拉数字的引进。

"105"恰恰读作"一百零五"，"零"字与"0"恰好对应，"零"也就具有了"0"的含义。

　　如果你细心观察的话，会发现罗马数字中没有"0"。

其实在公元5世纪时，"0"已经传入罗马。

但罗马教皇凶残而且守旧。

他不允许任何使用"0"。

有一位罗马学者在笔记中记载了关于使用"0"的一些好处和说明，就被教皇召去，施行了拶（zǎn）刑，使他再也不能握笔写字。

　　但"0"的出现，谁也阻挡不住。

现在，"0"已经成为含义最丰富的数字符号。

"0"可以表示没有，也可以表示有。

如：

气温

，并不是说没有气温；"0"是正负数之间唯一的中性数；任何数（0除外）的0次幂等于1；0！

=1（零的阶乘等于1）。

　　除了十进制以外，在数学萌芽的早期，还出现过五进制、二进制、三进制、七进制、八进制、十进制、十六进制、二十进制、六十进制等多种数字进制法。

在长期实际生活的应用中，十进制最终占了上风。

　　现在世界通用的数码1、2、3、4、5、6、7、8、9、0，人们称之为阿拉伯数字。

实际上它们是古代印度人最早使用的。

后来阿拉伯人把古希腊的数学融进了自己的数学中去，又把这一简便易写的十进制位值记数法传遍了欧洲，逐渐演变成今天的阿拉伯数字。

　　数的概念、数码的写法和十进制的形成都是人类长期实践活动的结果。

　　随着生产、生活的需要，人们发现，仅仅能表示自然数是远远不行的。

如果分配猎获物时，5个人分4件东西，每个人人该得多少呢？

于是分数就产生了。

中国对分数的研究比欧洲早1400多年！

自然数、分数和零，通称为算术数。

自然数也称为正整数。

　　随着社会的发展，人们又发现很多数量具有相反的意义，比如增加和减少、前进和后退、上升和下降、向东和向西。

为了表示这样的量，又产生了负数。

正整数、负整数和零，统称为整数。

如果再加上正分数和负分数，就统称为有理数。

有了这些数字表示法，人们计算起来感到方便多了。

　　但是，在数字的发展过程中，一件不愉快的事发生了。

让我们回到大经贸部2500年前的希腊，那里有一个毕达哥拉斯学派，是一个研究数学、科学和哲学的团体。

他们认为"数"是万物的本源，支配整个自然界和人类社会。

因此世间一切事物都可归结为数或数的比例，这是世界所以美好和谐的源泉。

他们所说的数是指整数。

分数的出现，使"数"不那样完整了。

但分数都可以写成两个整数之比，所以他们的信仰没有动摇。

但是学派中一个叫希帕索斯的学生在研究1与2的比例中项时，发现没有一个能用整数比例写成的数可以表示它。

如果设这个数为X，既然

，推导的结果即。

他画了一个边长为1的正方形，设对角线为x，根据勾股定理

，可见边长为1的正方形的对角线的长度即是所要找的那个数，这个数肯定是存在的。

可它是多少？

又该怎样表示它呢？

希帕索斯等人百思不得其解，最后认定这是一个从未见过的新数。

这个新数的出现使毕达哥拉斯学派感到震惊，动摇了他们哲学思想的核心。

为了保持支撑世界的数学大厦不要坍塌，他们规定对新数的发现要严守秘密。

而希帕索斯还是忍不住将这个秘密泄露了出去。

据说他后来被扔进大海喂了鲨鱼。

然而真理是藏不住的。

人们后来又发现了很多不能用两整数之比写出来的数，如圆周率就是最重要的一个。

人们把它们写成等形式，称它们为无理数。

　　有理数和无理数一起统称为实数。

在实数范围内对各种数的研究使数学理论达到了相当高深和丰富的程度。

这时人类的历史已进入19世纪。

许多人认为数学成就已经登峰造极，数字的形式也不会有什么新的发现了。

但在解方程的时候常常需要开平方如果被开方数负数，这道题还有解吗？

如果没有解，那数学运算就像走在死胡同中那样处处碰壁。

于是数学家们就规定用符号"ｉ"表示"-1"的平方根，即ｉ＝

，虚数就这样诞生了。

"ｉ"成了虚数的单位。

后人将实数和虚数结合起来，写成ａ＋ｂｉ的形式（a、b均为实数），