安徽省马鞍山市届高三第二次教学质量监测数学(理)试卷Word版含答案.docx
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安徽省马鞍山市届高三第二次教学质量监测试题理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数z=A．1-2i
2i+i5的共轭复数为（1+i）
C.i-1D．1-i）
B．1+2i
2．等比数列{an}的前n项和为Sn=32n-1+r，则r的值为（A．
13
B．-
13
C.
19
D．-
19
ìx-y-1£0,ï3．若实数x,y满足约束条件í3x-y+1³0,则z=2x+y的最小值为（ïx+y-1³
0.î）
A．2
B．1
C.-4
D．不存在）
ìex-4,x³0ï
4.已知函数f（x）=í-xg（x）=x2，则函数y=f（x）×g（x）的大致图象是（e-4,x<0,ïî
A．
B．
C.
D．
5.从3名男生，2名女生中选3人参加某活动，则男生甲和女生乙不同时参加该活动，且既有男生又有女生参加活动的概率为（A．
310
a）D．
35
B．
25
C.
12
6．若òp（sinx+cosx）dx=
4
2，则a的值不可能为
（2）A．
13p12
B．
7p4
C.
29p12
D．
37p12
7.如图所示的一个算法的程序框图，则输出d的最大值为（）
A．2
B．2
C.1+2
D．1+22
1
8.如图，点E在正方体的棱CC1上，且CE=CC1，削去正方体过B,E,D1三点所在的平面下3
方部分，则剩下部分的左视图为（）
A．
B．
C.
D．1öæ
9.二项式ç3x+3÷的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x的指数为整xøè
n
数的顶的个数为（A．3B．5）
C.6D．7
pöpöpææ10．设w>0，函数y=2cosçwx+÷的图象向右平移个单位长度后与函数y=2sinçwx+÷55ø5èøè
图象重合，则w的最小值是（A．
12）
C.
52
B．
32
D．
72
11.已知M,N为椭圆
x2y2+=1（a>b>0）上关于长轴对称的两点，A,B分别为椭圆的左、右a2b2）
顶点，设k1,k2分别为直线MA,NB的斜率，则k1+4k2的最小值为（A．
2ba
B．
3ba
C.
4ba
D．
5ba
12.已知数列{an}满足对1£n£3时，an=n，且对"nÎN*，有an+3+an+1=an+2+an，则数列
{n×an}的前50项的和为（A．2448B．2525）
C.2533D．2652
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知向量a,b满足，a=1,3,b=1,a+b=3，则a,b的夹角为
14.点
F、A、B分别为双曲线C:
（
）
．
x2y2实轴端点、虚轴端点，且DFAB-=1（a>0,b>0）的焦点、a2b2
．
为直角三角形，则双曲线C的离心率为
15.已知四面体ABCD中，AB=1,BC=2,CD=AC=3，当四面体ABCD的体积最大时，其外接球的表面积为．
ì2x2-2,x³0,ï
16.已知函数f（x）=í4，函数g（x）=f（x）+1-x2+f（x）-1-x2-2ax+4a有三ï-x,x<
0.î3
个零点，则实数a的取值范围为
．
17.如图，DABC中A为钝角，过点A作AD^AC交BC于D，已知AB=23,AD=2.
（1）若B=30°，求ÐBAD的大小；
（2）若BC=3BD，求BD的长.
18.某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量y（g）与尺寸x（mm）之间近似满足关系式y=axb（a,b为大于0的常数）.现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：
对数据作了初步处理，相关统计位的值如下表:
（1）根据所给数据，求y关于x的回归方程；
æeeö
（2）按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间ç,÷内时为优等品.现从抽取的6è97ø
件合格产品中再任选3件，记x为取到优等品的件数，试求随机变量x的分布列和期望.附：
对于一组数据（v1,u1）,（v2,u2）,,（vn,un），其回归直线u=（a+b）v的斜率和截距的最小二
乘估计分别为b=
åvu
i=1ni=1
n
ii
-nv×u
2
åvi2-nv，a=u-bv.
19.如图，在五棱锥M-ABCDE中，四边形ABCD为等腰梯形，AD//BC,AD=2BC=4，AB=5，DMEA和DMED都是边长为22的正三角形.
（1）求证：
ME^面MBC；
（2）求二面角B-MC-D的大小.
20.直线y=kx+4与抛物线C:
x2=2py（p>0）交于
A、B两点，且OA×OB=0，其中O为原点.
（1）求此抛物线的方程；
（2）当k=0时，过A,B分别作C的切线相交于点D，点E是抛物线C上在A,B之间的任意一点，抛物线C在点E处的切线分别交直线AD和BD于点P,Q，求DABE与DPQD的面积比.
21.已知函数g（x）=xlnx,h（x）=
ax2-1（a>0）.2
（1）若g（x） 1öæ2öæ
（2）证明：
不等式ç1+2÷ç1+2÷ènøènønö3æ1+ 2.71828ç2÷ènø
为
自然对数的底数.
请考生在
22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：
坐标系与参数方程
ìïx=-6-2t在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：
í（t为参数）.在极坐标系（与ïîy=26+2t
平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为r=46cosq.
（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）设圆C与直线l交于点A,B，求AB的大小.
23.选修4-5：
不等式选讲已知f（x）=x+1+x+m，g（x）=x2+3x+2.
（1）若m>0且f（x）的最小值为1，求m的值；
（2）不等式f（x）£3的解集为A，不等式g（x）£0的解集为B，BÍA，求m的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-
5:
BBBAD6-
10:
BCADC
11、12：
CB二、填空题
13.
2p3
14.
5+12
15.6p
4öé4
16.ê-,-÷ë913ø
三、解答题
17.解：
（1）在DABD中，由正弦定理得解得sinÐADB=
232ABAD=，，=sinÐADBsin30°sinÐADBsinB
3，又ÐADB为钝角，则ÐADB=120°，故ÐBAD=30°.2
（另解：
在DABD中，由余弦定理解得BD=2，从而DABD是等腰三角形，得ÐBAD=30°）
（2）设BD=x，则DC=2x.∵AD^AC，∴cosÐADC=
211=，∴cosÐADB=-.2xxx
在DABD中由余弦定理得，cosÐADB=∴
x2+22-232×2×x
（
）
2
=
x2-8，4x
x2-81=-，解得x=2，故BD=2.4xx
18.解：
（1）对y=axb（a,b>0），两边取自然对数得lny=blnx+lna，令vi=lnxi,ui=lnyi，得u=bv+lna，由b=
åvu
i=1
n
ii2i
-nv×u-nv
2
åv
i=1
n
=
1，lna=1Þa=e，2
故所求回归方程为y=ex2.
1
1
yex2eæeeö
（2）由==1Îç,÷Þ49 x的可能取值是0，1，2,3，且
P（x=0）=
031C3×C3C3×C3219=Px=1==,（）33C620C620
P（x=2）=
1C32×C3C3×C091=,P（x=3）=333=.3C620C620
其分布列为∴E（x）=0´
19913+1´+2´+3´=.202020202
19.解：
（1）证明：
分别取AD和BC的中点O,F，连接OF,OM,MF.由平面几何知识易知E,O,F共线，且EF^BC.由AE=DE=22,AD=4得OE=2，从而DAOM@DEOM@DDOM，∴OM^AD，又AD//BC，∴OM^BC.∴BC^面MEF，∴BC^ME.在RtDEOM中，OM=ME2-OE2=2，∴MF=OF2+OE2=22，在等腰梯形ABCD中，OF=AB2-（OA-BF）=2,EF=4，2
∴EF2=ME2+MF2，∴ME^MF，又MFÇBC=F，MF,BCÌ面MBC，∴ME^面MBC.
（2）由
（1）知MO^面ABCDE且OA^OF，故建立空间直角坐标系如图所示.
则M（0,0,2）,E（0,-2,0）,C（-1,2,0）,D（-2,0,0），DC=（1,2,0）,DM=（2,0,2）.
由
（1）知面MBC的法向量为EM=（0,2,2）.设面MDC的法向量为n=（x,y,z），ìn×DC=0ìx+2y=0ï则由í，得í，î2x+2z=0ïîn×DM=0令x=2，得n=（2,-1,-2），∴cosn,EM=
n×EMn×EM=-63×22=-2.2
所以，二面角B-MC-D大小为135°.
20.解：
（1）设A（x1,y1）,B（x2,y2），将y=kx+4代入x2=2py，得x2-2pkx-8p=0.其中D>0，x1+x2=2px,x1x2=-8p.所以，OA×OB=x1x2+y1y2=x1x2+所以抛物线的方程x2=4y.
（2）当k=0时，A（-4,4）,B（4,4），易得抛物线C在A,B处的切线方程分别为y=-2x-4和
y=2x-4.从而得D（0,-4）.
x12x22=-8p+16.由已知，-8p+16=0,p=2.4p2
设E2a,a2（-2 y=2x-4联立解得交点Q（a+2,2a），（
）
（
）
所以SDPQD=
SDABE=
11DMxP-xQ=-a2-（-4）（a-2）-（a+2）=24-a2，22
11AByE-4=´8´a2-4=44-a2，22
所以DABE与DPQD的面积比为
2.
21.解：
（1）法一：
记f（x）=g（x）-h（x）=xlnx-则j（x）=f¢（x）=lnx+1-ax，j¢（x）=①当a³1时，∵xÎ（1,+¥），∴j¢（x）=
1-a<1-a£0，∴f¢（x）在（1,+¥）上单减，x1-a，xa21x+，22
又f¢
（1）=1-a£0，∴f¢（x）<0，即f（x）在（1,+¥）上单减，此时，f（x）（1）=-②当0 21æ1öæ1ö考虑xÎç1,÷时，j¢（x）=-a>a-a=0，∴f¢（x）在ç1,÷上单增，xèaøèaøæ1ö又f¢
（1）=1-a³0，∴f¢（x）>0，即f（x）在ç1,÷上单増，èaø
综上所述，aÎ[1,+¥）.法二：
当xÎ（1,+¥）时，g（x）
F¢（x）=2（x-1-xlnx）x3
2xlnx+1=F（x），x2，记m（x）=x-1-xlnx，则m¢（x）=-lnx<0，∴m（x）在（1,+¥）上单减，∴m（x）（1）=0，∴F¢（x）<0，即F（x）在（1,+¥）上单减，F（x）（1）=1，故aÎ[1,+¥）.
（2）由
（1）知：
取a=1，当xÎ（0,+¥）时，g（x） x2-1x2-1恒成立，即lnx<恒成立，22x
即ln（1+x）<
（x+1）-1x2+2x对于xÎ0,+¥恒成立，=（）2（x+1）2（x+1）
2
2
æköæköç2÷+2ç2÷1kknæöènø=æ+kö£1æk+kö，k=1,2,L,n，由此，lnç1+2÷<èøç÷ç÷2èn2n2+kø2èn2n2+1øæköènø2ç2÷+2ènø
éæ1öæ2öænöù1ö2önöæææ于是lnêç1+2÷ç1+2÷Lç1+2÷ú=lnç1+2÷+lnç1+2÷+L+lnç1+2÷ènøènøènøëènøènøènøû
1æ12n12nö<ç2+2+L+2+2++L+2÷2ènnnn+1n2+1n+1ø
1æn（n+1）n（n+1）ö12n3+2n2+n+11én3-2n2+2n-1ùêú=ç+=×=3-÷4èn2n2+1ø44ên（n2+1）n（n2+1）úëû
2n（n-1）+（n-1）ù31éú£，=ê3-4ê4n（n2+1）úëû
31öæ2öænöæ故ç1+2÷ç1+2÷Lç1+2÷ 22.解：
（1）由r=46cosq，得圆C的直角坐标方程为：
x-26
（
）
2
+y2=24.
（2）
（法一）由直线l的参数方程可得直线l的普通方程为：
x+y-6=0，代入圆C方程消去y可得x2-36x+3=0∴x1+x2=36,x1×x2=3∴AB=1+（-1）×
2
（x1+x2）
2
-4x1x2=221
（也可以用几何方法求解）（法二）将直线l的参数方程代入圆C的方程可得：
-36-2t整理得：
2t2+103t+27=0∴t1+t2=-53,t1×t2=
272
（
）+（2
2
6+2t
）
2
=24
根据参数方程的几何意义，由题可得：
AB=2×2t1-2t2=2
（t1+t2）
2
-4t1t2=221.
23.解：
（1）f（x）=x+1+x+m³（x+1）-（x+m）=1-m（当x=-1时，等号成立）∵f（x）的最小值为1，∴1-m=1，∴m=2或m=0，又m>0，∴m=2.
（2）由g（x）£0得，B=[-2,-1]，∵BÍA，∴"xÎB,f（x）£3，即-（x+1）+x+m£3Ûx+m£x+4Û-x-4£x+m£x+4
Ûx³-m+4m+4且m£4Û-£-2且m£4Û0£m£4.22
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