2-12如图2-6所示的电路,以电容电压Uc(t)为响应,试求其冲激响应和阶跃响应
由KVL与KCL得
us(O=wL(r)+ucCi)
,L(r)=2r(Z)+ic⑺各元件端电流和端电压的关系为
心(门=
uE(t)=R「rC)iu(r)=C寻uc(r)
联立以上各式解得
代入数值得/c(f)+3/c(7〉+2々(门=2ws(r)
当激励us(r)=£(z〉时9方程右端不含有冲激项-则
”c(0〒〉=0讥(0十)=0
方程的解为
代入初始值得
=CiQ—Ge_2r—1昇$0
仏(0十)=G+g+1=0
uc(0-)=—C}—2C2=0
解得Q=-2.G=1,则系统的阶跃响应为
g(r)=(r)=(—2e_-+e-2"+1)?
)
系统的冲激晌应为
2-16各函数波形如图2-8所示,图2-8(b)、(c)、(d)均为单位冲激函数,试求下列卷积,并画出波形图
(5)fi(t)*[2f4(t)f3(t3)
(1)fi(t)*f2(t)
(2)f1(t)*f3(t)(3)fi(t)*f4(t)
(4)fi(t)*f2(t)*f2(t)
(c)
人")
-2O
2
(b)
⑴
r
O
2
34
(1)
(d)
解由已知叫得
&⑺-±r(/-2)—r(f)+yr(r+2)(r(r)=te(t)为斜升函数)
/2(/)=5(^—2)+3(^+2)
人(『)=8(I—丨〕+5(/+1)
(/)=8(t—2)—8Ct—3)+<5(?
—4)
(1)力⑴K)
=/jtr)*[3(/-2)-3(r-2)J=/\(1-2)+/Jr-2)
=+心一4)-r(t+2)+r(Z)-r(r-2)-Hyr(r-4)
波形图如图2-9(a)所示。
(2)7\uy^7Jt)
=f!
(t)*两一i)+w+i)]-y1(z-i)+/i(z+n
=+3)r(?
+1)r(?
—1)H—r(t—3)
波形图如图2-9(b)所示
=/i(n*—3>+5(/-4)J
=/1(r-2)-/1(i-3)+y1(z-4)
=昇D-yr(r一1)一昇£_2)+r(?
-3)一昇r—4)-芬仃一5)+ub2Li匚u
■yr(z_6〉
波形图如图2-9(c)所示。
(4)f\⑺*f2Ct)*fz(7)
=/i(r)*—2)+(J(r+2)l*[5(?
-2)+5—/1(r)*[6(£+4)+25(t)+—4).
=/1(Z+4)-2/1(f)-/L(r-4)
133
=yr(/+6)-r(Z-4)+-^-r(f+2)-2r(?
)+^-r(f-2)-r(f-4)+
波形图如图2-9(d)所示。
(5)yjn
=了i(r)*—2)—2(5(t—3)—2S(t—4)—3Ct—?
)——4)_
=f、(z)*[<5(z—25—25(t—3)+3(r—4).
=f\(r—2)—2/j(t—3)+广(t-4)
=yr(Z)-r(f-1)-yr(f-2)-F2r(f-3)-yr(f-4)—厂(f—5)+
-^r(r-6)
-b■-
波形图如图2-9(e)所示。
图
2-20已知fi(t)
t(t),f2(t)
(t)(t2),求y(t)fi(t)*f2(t1)*
'(t2)
解
九O—
~2)=y2(f—3)
=p(r)'
-a(r-2)/
7(r-3)=SCt-
3)-迖t
-5)
>■(/)=/it?
)*九(r—2)法吉(r—2)
=f、(门桂/J(t—3)
=/i〔门祇[30-3)-5)]
=th—3〉一右&一5)
=(?
—3)[c=(r-3)e-3)—(t—Sd—S
2(tx)
2-22某LTI系统,其输入f(t)与输出y(t)的关系为y(t)tief(x2)dx
求该系统的冲激响应h(t)
解令/(/)=6⑺,则/(X—2)=6(更—2),由输入输岀的关系可得h⑴="—芾心%[文一(]一1)办(£一2)必
Jt~1j—=<=
=/"“匸工一仃一1)]=e-2c-2)e(-r+3>
T—2
则系统的冲激响应为
hit)=严-%(—r+3)
2-28
如图2-19所示的系统,试求输入f(t)(t)时,系统的零状态响应。
图279
解系统中含有两个积分器,则系统为二阶系统°设右端积分器输出为工(/)・则积分器
的输入分别『⑺上(讥由左端加法器町得
Z(?
)=y(r)-3y(r)-2jr(z)即f\t)=Z(z)-3/(r)+2jr(r)
由右端加法器町得
y(r)=2T(7)+
由上式町得
/(/)=2R〃⑺了+工"⑺
3y(z)=2[3/("了一3/⑺
2y(z)=2[2jr(?
)]x+2x(r)将以上三式相丿川得
yz(r)—3#(r)—2y(r)
=2[久"(『)+3xz(f)+2jt(£)了—W⑺—3«r'(r)+2x(?
)]考虑到式f『⑺一3九)+2),⑺=2/(z)+/(/)
选择新变量力("■使它满足方程
外⑺一3"1(门一2加⑺=f(t)
设其冲激响应为则儿⑴一}=OM:
(OJ=1•此方程的解为儿(『)=(e~r—
则系统的冲激响应为
A(f)=2h\(?
)+hi(f)=(3e_Zf—e_r)E(t>
系统在输人信号=e(n下的零状态响应为
y⑺=g⑺=A(jr>dz=|(3尹上一e_J)dj?
=(£一■严+「床⑺
2-29如图2-20所示的系统,它由几个子系统组合而成,各子系统的冲激响应分别为
ha(t)(t1)hb(t)(t)(t3)
求复合系统的冲激响应。
T人FH九")
图2-20
解设/Ct)=W利用系统的齐次性和口[加性以及系统级联的性质口「得出加法器的输出为
,](/)=5(/)+6(f)*/iB(/)+$(/)*As(/)*A£(/)
=&(r)十札(C+九(/)*九(D
则复合系统的冲激响应
yCt)=y{(?
)*力b("
=[Q(t)+Q(r—1)—SCt—2)_*〔£(/)—e(.t—3)]
—Hr)—eCt—1)—€(r—2)一e(t—3)—£(Z—4)—e(z—5)
即
A(/)—e(?
)-e(t—l)+w(r—2)—e(t—3)—eit—4)—e(7—5)