信号与线性系统分析吴大正第四版习题答案第二章.docx

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信号与线性系统分析吴大正第四版习题答案第二章

第二章

2-1已知描述系统的微分方程和初始状态如下，试求其零输入响应。

（1）y''（t）5y'（t）6y（t）f（t）,y（0）1,y'（0）1

（4）y''（t）y（t）f（t）,y（0）2,y'（0）0

解（l）已知方程的特征方程为

A2+5A+6=0其特征根为初=-2"?

=-36澈分方程的齐次解为央⑴=CL十C代7由于y（0_）=Kj/70_）=-1,且激励为零•故有

比（0十〉=y^（0-）=y（O-）=1必（0+）=yx（o_）=y（o_）=—i即

并d=G十G=1y\（O~）——2Ci—3G=—1由上式解得

C\=2,C=-l

则系统的零输入响应为

yz（n=2厂孫—色一常d$0

（4）已知方程的特征方程为

A2-H1=0其特征根为和=人兀=—人微分方程的齐次解为片（D=Cicos/+Cgsin/由于激励为零，故有

>7（0-r）=力（。

一）=y（0-）=2心（0十）==y（O-）=0即

划（0_）=Ci=2

3/上（0一）=C?

2=0

则系统的零输人响应为几（f）=2cosz^0

2-2已知描述系统的微分方程和初始状态如下，试求其0值y（0）和y'（0）

（2）y''（t）

6y'（t）8y（t）f''（t）,y（0）1,y'（0）1,f（t）（t）

（4）y''（t）

4y'（t）5y（t）f'（t）,y（0）1,y'（0）2,f（t）e2t（t）

解:

⑵y（7）+6『⑺一8了⑺=©"（/）设/（/>=力一处‘仃）+必（“+儿（门则有丿⑺=必‘（r〉+处（了）一兀（r）

•f

/!

（r）=a：

（r）+/0（r）d^

同理y（/）=u（5（z）—人（r）y2（r）=/as（r）+兀（r）dz

■—X整理得力"（C+（6u+6）y（r）+（8a+6〃+Cd（r）+

L8/2（r）+671（r）+70（r）]=『⑴

・J6a十Z>=0=>J）=—6

丨8q+6〃+c=0c=28

ro

・••有J（O-）-J（O-）=飞'（r）dr—6-Jo.J0_

=—6

・：

y（0-）=y（0_）—6=—5

（J（r）dr+

/i（r）dr

JO-

ro

yZ（0+）—y（0_）=8（t）dt—68（/）dz+

o_

0.

=28

■・・y'（0J=29

5（/）d/+

Jo.

YQ（t）dt

（4）/（/）+□>

£（f）+肮。

令『（门=aSU）-yM则有yU）=YZ=沟⑺

M"）+[儿（。

+4y：

（D+5/2（r）]=一2宀⑴一M

•\a—1

・；，（0+）—y（0亠〉—7i（f）dr—0

iQ_

；O'（0+）=1

y1（0+）—v7（O_）=d（t）dt+fy0（t）dt=1

Jo_j「

r*y（oq=3

2-4已知描述系统的微分方程和初始状态如下，试求其零输入响应、零状态响应和全响应。

（2）y''（t）4y'（t）4y（t）f'（t）3f（t）,y（0）1,y'（0）2,f（t）ef（t）

解：

（2）由零输入响应的性质町知•要求零输入响应即求解微分方程

$；（"+4）匚（门+4*&）=°

’（0十）=1$工（0十）=2

解此方程得

^（r）=Cie-2（+C2ze-2（

代入初始值得

》工（0_）=Ci=1

门（0_）=—2Cl+G=2

解以上两式得G=1・G=4•则系统的零输入响应为

比（r）=e"2/-r4re~2f"M0

由零状态响应性质可知•求零状态响应即求解微分方程

$"/（『）亠4）仃（门+4$/（f）=6（F）+2厂=（?

）

=J/Z（O-）=0方程右端含有冲激项•两端对0.到0+积分

•0CQp

+1|y,（f）df+4jy（f）cU

J0.•J0.J0_

*qr（j

=3⑺

J0一J。

一

考虑到力⑺的连续性得

_〉//（0+）—3，/（0）]+4[》y（0+）—y/（0-）_=1得y/（0+）=$/（0.）+1=1■力（0+）=yf（0_）=0当f>0时•微分方程可化为

y"f（r）+ij"7/

57（r）=Cie~2f+C2te~2t+2e"r』工0

代入初始值得

刃（0+）=G+2=0

门（0十）=-2G+G—2=1

髒以上两式得G=

=-2*C：

=-h则系统的零状态响应为

ye（/）=—2巳t—tsT2t+2e"$0

系统的全响应为

>■（/）=★（£）—卅（门=一—3佗〜一z鼻0

2-8如图2-4所示的电路，若以is（t）为输入，UR（t）为输出，试列出其微分方程，并求出冲激响应和阶跃响

应。

解由KCL得（（f）=*・（"+“（/）

又由各兀件端电流和端电压的关系可得

=Ki/?

（i）=lie（t）

Sc（"=C4~Mc（r）

dz

由以上三犬町解得c寻你⑺=zs（n代入数值得urR（i）+2uR（t）=2fs（r）

设系统单位冲激响应为A（r）.则从门满足

解方程得

代入初始值得

则系统的冲激响应为系统的阶狀响应为

g（r）=|

J—乂

//（r）+2h（t>=0

'HO.）=2

h⑷=鼻0

A（0-）=Cj=2

肛r）=2e一牡（r）

h（x^）dx=

2e一叫O&r=（1-e~2:

）e

2-12如图2-6所示的电路，以电容电压Uc（t）为响应，试求其冲激响应和阶跃响应

由KVL与KCL得

us（O=wL（r）+ucCi）

，L（r）=2r（Z）+ic⑺各元件端电流和端电压的关系为

心（门=

uE（t）=R「rC）iu（r）=C寻uc（r）

联立以上各式解得

代入数值得/c（f）+3/c（7〉+2々（门=2ws（r）

当激励us（r）=£（z〉时9方程右端不含有冲激项-则

”c（0〒〉=0讥（0十）=0

方程的解为

代入初始值得

=CiQ—Ge_2r—1昇$0

仏（0十）=G+g+1=0

uc（0-）=—C}—2C2=0

解得Q=-2.G=1,则系统的阶跃响应为

g（r）=（r）=（—2e_-+e-2"+1）?

系统的冲激晌应为

2-16各函数波形如图2-8所示，图2-8（b）、（c）、（d）均为单位冲激函数，试求下列卷积，并画出波形图

（5）fi（t）*[2f4（t）f3（t3）

（1）fi（t）*f2（t）

（2）f1（t）*f3（t）（3）fi（t）*f4（t）

（4）fi（t）*f2（t）*f2（t）

（c）

人"）

-2O

2

（b）

⑴

r

O

2

34

（1）

（d）

解由已知叫得

&⑺-±r（/-2）—r（f）+yr（r+2）（r（r）=te（t）为斜升函数）

/2（/）=5（^—2）+3（^+2）

人（『）=8（I—丨〕+5（/+1）

（/）=8（t—2）—8Ct—3）+<5（?

—4）

（1）力⑴K）

=/jtr）*[3（/-2）-3（r-2）J=/\（1-2）+/Jr-2）

=+心一4）-r（t+2）+r（Z）-r（r-2）-Hyr（r-4）

波形图如图2-9（a）所示。

（2）7\uy^7Jt）

=f!

（t）*两一i）+w+i）]-y1（z-i）+/i（z+n

=+3）r（?

+1）r（?

—1）H—r（t—3）

波形图如图2-9（b）所示

=/i（n*—3>+5（/-4）J

=/1（r-2）-/1（i-3）+y1（z-4）

=昇D-yr（r一1）一昇£_2）+r（?

-3）一昇r—4）-芬仃一5）+ub2Li匚u

■yr（z_6〉

波形图如图2-9（c）所示。

（4）f\⑺*f2Ct）*fz（7）

=/i（r）*—2）+（J（r+2）l*[5（?

-2）+5

—/1（r）*[6（£+4）+25（t）+—4）.

=/1（Z+4）-2/1（f）-/L（r-4）

133

=yr（/+6）-r（Z-4）+-^-r（f+2）-2r（?

）+^-r（f-2）-r（f-4）+

波形图如图2-9（d）所示。

（5）yjn

=了i（r）*—2）—2（5（t—3）—2S（t—4）—3Ct—?

）——4）_

=f、（z）*[<5（z—25—25（t—3）+3（r—4）.

=f\（r—2）—2/j（t—3）+广（t-4）

=yr（Z）-r（f-1）-yr（f-2）-F2r（f-3）-yr（f-4）—厂（f—5）+

-^r（r-6）

-b■-

波形图如图2-9（e）所示。

图

2-20已知fi（t）

t（t）,f2（t）

（t）（t2），求y（t）fi（t）*f2（t1）*

'（t2）

解

九O—

~2）=y2（f—3）

=p（r）'

-a（r-2）/

3）-迖t

-5）

>■（/）=/it?

）*九（r—2）法吉（r—2）

=f、（门桂/J（t—3）

=/i〔门祇[30-3）-5）]

=th—3〉一右&一5）

=（?

—3）[c

=（r-3）e

2（tx）

2-22某LTI系统，其输入f（t）与输出y（t）的关系为y（t）tief（x2）dx

求该系统的冲激响应h（t）

解令/（/）=6⑺,则/（X—2）=6（更—2），由输入输岀的关系可得h⑴="—芾心％［文一（］一1）办（£一2）必

Jt~1j—=<=

=/"“匸工一仃一1）］=e-2c-2）e（-r+3>

T—2

则系统的冲激响应为

hit）=严-％（—r+3）

2-28

如图2-19所示的系统，试求输入f（t）（t）时，系统的零状态响应。

图279

解系统中含有两个积分器，则系统为二阶系统°设右端积分器输出为工（/）・则积分器

的输入分别『⑺上（讥由左端加法器町得

Z（?

）=y（r）-3y（r）-2jr（z）即f\t）=Z（z）-3/（r）+2jr（r）

由右端加法器町得

y（r）=2T（7）+

由上式町得

/（/）=2R〃⑺了+工"⑺

3y（z）=2[3/（"了一3/⑺

2y（z）=2[2jr（?

）]x+2x（r）将以上三式相丿川得

yz（r）—3#（r）—2y（r）

=2[久"（『）+3xz（f）+2jt（£）了—W⑺—3«r'（r）+2x（?

）]考虑到式f

『⑺一3九）+2），⑺=2/（z）+/（/）

选择新变量力（"■使它满足方程

外⑺一3"1（门一2加⑺=f（t）

设其冲激响应为则儿⑴一｝=OM：

（OJ=1•此方程的解为儿（『）=（e~r—

则系统的冲激响应为

A（f）=2h\（?

）+hi（f）=（3e_Zf—e_r）E（t>

系统在输人信号=e（n下的零状态响应为

y⑺=g⑺=A（jr>dz=|（3尹上一e_J）dj?

=（£一■严+「床⑺

2-29如图2-20所示的系统，它由几个子系统组合而成，各子系统的冲激响应分别为

ha（t）（t1）hb（t）（t）（t3）

求复合系统的冲激响应。

T人FH九"）

图2-20

解设/Ct）=W利用系统的齐次性和口[加性以及系统级联的性质口「得出加法器的输出为

，]（/）=5（/）+6（f）*/iB（/）+$（/）*As（/）*A£（/）

=&（r）十札（C+九（/）*九（D

则复合系统的冲激响应

yCt）=y{（?

）*力b（"

=[Q（t）+Q（r—1）—SCt—2）_*〔£（/）—e（.t—3）]

—Hr）—eCt—1）—€（r—2）一e（t—3）—£（Z—4）—e（z—5）

即

A（/）—e（?

）-e（t—l）+w（r—2）—e（t—3）—eit—4）—e（7—5）