Q2W
dd
所以：
r；—r：
=—x即：
S=—x3
11
当S等于光波波长A的整数倍时,两列波在P点同相加强，岀现壳条纹卩
d
即kA=—x（k=0j±1>±2>±3j・・・）卩
1
贝I」x二k—A（k=0>±1>±2»±3,・・・）Vd
所以△x=xk<—xk=（k+1）—A—k—A=—入3
ddd
即Zkx二丄入（4）3
d
E有帮助•可双击去除!
当S等于光波半波长空的奇数倍时>两列波在P点反
2
相減弱，出现暗条纹：
3
nna
d
即（2kH）—二
—X（k=O>±l>±2>±3j—>
2
1
则x<2W1）—•—（k=0>±l>±2>±3>--）
d2
所以Ax=-
1A1
•xk=（2M3）—-—-（2kfl）—•d2d
A1—二—A<1
2d
即Ax二丄入
d
（5）3
根据（4）、（5）两式可知：
相邻两条明纹（或暗纹）间距离均为△x=1/dA，而I、d和入都为定值，所以屏上的干涉条纹是等间距的。
［应用］相I：
光经双缝产生「•涉现象，卅发生如下变化时，丁涉条纹如何变化？
（1）屏幕移近；
（2）缝距变小；（3）波长变长；
［分析］由公式△><=1/d入可知，相邻两条明纹（或暗纹）间距离△><与I、入成正比，与d成反比。
（1）若屏幕移近，则I变小，因此条纹间距Ax变小，条纹变得密集。
（2）若缝距d变小，则Ax变大，条纹变得稀疏。
（3）若波长入变长，则Ax变大。
因此若入射光为口光，则中央明纹（白色）的两侧,出现彩色条纹，且靠近中央明纹的是紫光。
另外在研究干涉现象时，…般不称呼明条纹和暗条纹它们的宽度是多少，这是囚为从光的能量角度讲，从明条纹到暗条纹衔接处，是连续变化的，没有分界线。
双缝干涉条纹间距公式的推导
do~7
~22
如图建立直角坐标系，其x轴上横坐标为-?
的点与[的点为两波源。
这两个波源的振动情况完全相同，则这两个波源发生干涉时的加强区为到两个波源的距离
22
/f\/»\
差为波长整数倍“几（零除外）的双曲线簇。
其中为所有双曲线的公共焦点。
这个双曲线簇的方程为：
[2{2
用直线y=/去截这簇双曲线，宜线与双曲线的交点为加强的点。
将y=/代入双曲线簇的方程，W：
解得：
I?
-
X=llAy|4H——:
L?
Vd2-n2^
上式中，d的数量级为10"4加，入为10-7/no故d2-n2Ar=d\X的表达式简化为:
I?
~
X=，a]l4+^
其中/的数量级为叽，d的数量级为吹几故存曲%的表达式简化为:
这说明:
/;
可见，交点横坐标成一等差数列，公差为了
（1）条纹是等间距的；
（2）相邻两条纹的间距为丫。
d
至此，证明了条纹间距公式：
心=4九
杨氏双缝干涉条纹间距到底是不是相等的?
海军航空工程学院李磊梁吉峰选自《物理教师》2008年第11期
在杨氏双缝干涉实验中，在现行的髙中物理教科书中得出相邻的明纹（或者暗纹）中心间距为：
Ax=LX/d,其中L为双缝与屏的间距，d为双缝间距，对单色光而言，其波长X为立值，所以我们得出的结论是干涉图样为等间距的一系列明暗相同的条纹，但是在现行的髙中物理教科书中所给的干涉条纹的照片却并非如此，如图1°我们可以看到只是在照片中央部分的干涉条件是等间距的，但是在其边缘部分的条纹的间距明显与中央部分的条纹间距不同。
问题到底岀在哪里呢？
图1
首先我们来看现行的教科书上对于杨氏双缝千涉的解释，如图2o
it光耒
设泄双缝S,、S：
的间距为d,双缝所在平而与光屏P平行。
双缝与屏之间的垂直距离为L,我们在屏上任取一点P"设立点匕与双缝S：
、S：
的距离分别为「和0为双缝S’、S=的中点，双缝S’、S：
的连线的中垂线与屏的交点为P。
，设P：
与P。
的距离为X,为了获得明显的干涉条纹，在通常情况下L〉〉d,在这种情况下由双缝S’、S2发出的光到达屏上R点的光程差Ar为
S:
M=rc—r^dsin（）,
（1）
其中o也是OP。
与OP：
所成的角。
因为d«L,0很小，所以
sin0^tan0=f
（2）
因此Ar^dsin05半
当△r~d|=±kX时，屏上表现为明条纹，其中k=0,1,2,……,（3）
当=±（k+|）X时，屏上表现为暗条纹，其中是k=0,1,2,……o（3'）
我们继续算得光屏上明条纹和暗条纹的中心位置。
当x=±k#X时，屏上表现为明条纹，其中k=0,1,2,…。
（4）
当x=±（k+|）入时，屏上表现为暗条纹，其中k=0,1,2,…。
（4‘）
我们还可以算出相邻明条纹（或者暗条纹）中心问的距离为
L
Ax=Xxii~Xk=-—（5）
d
至此我们得出结论：
杨氏双缝干涉条纹是等间距的°
问题就在于以上的推导过程中，我们用过两次近似，第1次是在运用公式Ar=r=~r^dsinO的时候，此式近似成立的条件是ZSPS：
很小，因此有S損丄S：
P：
StM
丄OP,,因此ZP°0P,=ZSSM,如果要保证ZStPtS3很小，只要满足d«L即可,因此Ar^dsinO是满足的。
第2次近似是因为d«L,0很小.所以sinO^tanOo下面我们通过表1来比较sin（）与tan0的数值。
表1
0
1°
2°
3°
4°
5°
6°
7°
sin
0
0.017452
0.031899
0.052359
0.069756
0.087155
0.104528
0.121869
tan
0
0.017455
0.034920
0.052407
0.069926
0.087488
0.105104
0.122784
0
S
9
10°
11°
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sin
0
0.139173
0.156434
0.173648
0.190808
tan
0
0.140540
0.158384
0.176326
0.194380
ten（）■■q[n（j
从表1中我们可以看出当0=6。
时，一—-—~0.6忍因此当（）26°时，相对误差就超过了0.6%,因此我们通常说sin（）=tan0成立的条件是005°,sin°
当0>5°时，sinO^tanO就不再成立。
而在杨氏双缝干涉实验中，0很小所对应的条件应该是x«L,这应该对应于光屏上靠近P。
的点，在此种情况下上述的推导过程是成立的，干涉条纹是等间距的。
而当x较大时，也就是光屏上离P。
较远的点所对应的0角也较大，当0>5°时，sinO^tanO就不再成立，上述推导过程也就不完全成立了，
（2）式就不能再用了。
X
此时sinO
所以，Ar^dsino=.=±kX,屏上表现为明条纹，其中k=0,1,2、…，
+x2
（]x1
Ar^dsinO=.'=±（k+-）X,屏上表现为暗条纹，其中k=0,1,2,…。
、//?
+，2
因此可以得到光屏上明纹或者暗纹的中心位置为x=±
Lk入
屏上表现为明条纹，其中k=0,
b2,
L（k+-）2
x=±t2屏上表现为暗条纹，其中k=0,b2,•
J，—伙+y才
则相邻的明条纹中心问距为
L（k+1）2
Ax明=x）c一用=
&/2_仗+1）2才
LkA,
邻暗条纹中心间距为
L（k+\+-）AL（k+丄）兄
△X席=X）c・「外一Xkr；=
2_2〃2一伙+1+1）222*/2_伙+*）2才
由上式可见相邻的明、暗条纹就不再是等间距的了，这也正如教科书上的照片所示的条纹分布。
下面我们通过一个实例来定量计算等间距条纹的条数。
例1：
用氮鋭激光器（频率为4.74X101，Hz）的红光照射间距为2mm的双缝时，试求我们能观察到的等间距的条纹的条数。
解：
因为A：
r=dsin0=k入，所以
~2・8o
dsinO_vdsin（）_4.74X10uX2X103Xsin5°k=X=~c=3.OX10s
考虑到光屏的两侧，我们最终能够在光屏上观察到的等间距的条纹大致为5条。
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