一组空气污染数据的主成分分析报告.docx
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一组空气污染数据的主成分分析报告
一组空气污染数据的主成分分析
【说明】下面的多元统计分析练习题摘自R.A.Johnson等编写的《应用多元统计分析（第五版）》，原书为：
RichardA.JohnsonandDeanW.Wichern.AppliedMultivariateStatisticalAnalysis（5thEd）.PearsonEducation,Inc.2003。
我看的是中国统计（ChinaStatisticsPress）2003年发行的影印本。
第一题为原书第1.6题，即第1章的第6题，第二题为原书第8.12题，即第8章的第12题。
第二题用的是第一题的数据。
1习题
1.6.ThedatainTable1.5are42measurementsonair-pollutionvariablesrecordedat12:
00noonintheLosAngelesareaondifferentdays.
（a）Plotthemarginaldotdiagramsforallthevariables.
（b）Constructthe
Sn,andRarrays,andinterprettheentriesinR.
TABLE1.5AIR-POLLUTIONDATA
Wind（x1）
Solarradiation（x2）
CO（x3）
NO（x4）
NO2（x5）
O3（x6）
HC（x7）
8
98
7
2
12
8
2
7
107
4
3
9
5
3
7
103
4
3
5
6
3
10
88
5
2
8
15
4
6
91
4
2
8
10
3
8
90
5
2
12
12
4
9
84
7
4
12
15
5
5
72
6
4
21
14
4
7
82
5
1
11
11
3
8
64
5
2
13
9
4
6
71
5
4
10
3
3
6
91
4
2
12
7
3
7
72
7
4
18
10
3
10
70
4
2
11
7
3
10
72
4
1
8
10
3
9
77
4
1
9
10
3
8
76
4
1
7
7
3
8
71
5
3
16
4
4
9
67
4
2
13
2
3
9
69
3
3
9
5
3
10
62
5
3
14
4
4
9
88
4
2
7
6
3
8
80
4
2
13
11
4
5
30
3
3
5
2
3
6
83
5
1
10
23
4
8
84
3
2
7
6
3
6
78
4
2
11
11
3
8
79
2
1
7
10
3
6
62
4
3
9
8
3
10
37
3
1
7
2
3
8
71
4
1
10
7
3
7
52
4
1
12
8
4
5
48
6
5
8
4
3
6
75
4
1
10
24
3
10
35
4
1
6
9
2
8
85
4
1
9
10
2
5
86
3
1
6
12
2
5
86
7
2
13
18
2
7
79
7
4
9
25
3
7
79
5
2
8
6
2
6
68
6
2
11
14
3
8
40
4
3
6
5
2
Source:
DatacourtesyofProfessorG.C.Tiao.
8.12.Considertheair-pollutiondatalistedinTable1.5.Yourjobistosummarizethesedatainfewerthanp=7dimensionsifpossible.ConductaprincipalcomponentanalysisofthedatausingboththecovariancematrixSandthecorrelationmatrixR.Whathaveyoulearned?
Doesitmakeanydifferencewhichmatrixischosenforanalysis?
Canthedatabesummarizedinthreeorfewerdimensions?
Canyouinterprettheprincipalcomponents?
2部分解答
2.1部分统计参数
利用Excel计算的平均值（
）和标准差
Wind
Solarradiation
CO
NO
NO2
O3
HC
Average
7.5
73.857143
4.547619
2.1904762
10.047619
9.4047619
3.0952381
Stdev
1.5811388
17.335388
1.2337209
1.0873574
3.3709837
5.5658345
0.6917466
Excel给出的协方差矩阵S
Wind
Solarradiation
CO
NO
NO2
O3
HC
Wind
2.4404762
Solarradiation
-2.714286
293.36054
CO
-0.369048
3.8163265
1.4858277
NO
-0.452381
-1.353741
0.6575964
1.154195
NO2
-0.571429
6.6020408
2.2596372
1.0623583
11.092971
O3
-2.178571
30.057823
2.7545351
-0.791383
3.0521542
30.24093
HC
0.1666667
0.6088435
0.138322
0.1723356
1.0192744
0.5804989
0.4671202
Excel给出相关系数矩阵R
Wind
Solarradiation
CO
NO
NO2
O3
HC
Wind
1
Solarradiation
-0.101442
1
CO
-0.193803
0.1827934
1
NO
-0.269543
-0.073569
0.5021525
1
NO2
-0.109825
0.115732
0.5565838
0.2968981
1
O3
-0.253593
0.3191237
0.4109288
-0.133952
0.1666422
1
HC
0.1560979
0.0520104
0.1660323
0.2347043
0.4477678
0.1544506
1
从相关系数矩阵可以看出，CO与NO、NO2相关性明显，O3与Solarradiation、CO相关性明显。
后面的主成分分析将CO与NO、NO2归并到一个主成分，将O3与Solarradiation归并到一个主成分，将HC、Wind归并到一个主成分。
HC与Wind的相关系数并不高，但从正相关的角度看，二者的数值倒是最高的。
方差极大正交旋转之后，HC与CO、NO、NO2归并到一个因子，因为HC与NO2的相关系数较高，与CO、NO的相关系数高于其他变量。
2.2主成分分析之一——数据未经标准化
下面是从相关矩阵R出发，SPSS给出的结果。
原始数据未经标准化。
所谓从R出发，就是在SPSS的FactorAnalysis:
Extraction—Analysis选项中选中CorrelationMatrix。
SPSS给出的相关系数矩阵（CorrelationMatrix），与Excel计算的结果一样。
公因子方差（Communalities）表如下。
公因子方差变化于0.544～0.795之间，相差不是很大。
但是，公因子方差值没有达到0.8以上的，可见每一个变量体现在三个主成分中的信息都不超过80%。
特征根与方差贡献（TotalVarianceExplained）如下表。
可见提取三个主成分可以解释原来7格变量的70.384%。
主成分载荷矩阵（ComponentMatrix）见下表。
将上表从SPSS中复制到Excel中，进行涂色分类，结果如下表所示。
Component
1
2
3
WIND
-0.36202
0.327809
0.706084
Solarradiation
0.31424
-0.61997
0.24631
CO
0.842417
-0.00803
-0.12466
NO
0.577243
0.511736
-0.44671
NO2
0.761294
0.235183
0.215682
O3
0.496126
-0.66749
0.175399
HC
0.488257
0.362466
0.593692
主成分分类如下：
⏹第一主成分的主要相关变量：
CO、NO、NO2。
⏹第二主成分的主要相关变量：
Solarradiation、O3。
⏹第三主成分的主要相关变量：
Wind、HC。
在主成分载荷图（ComponentPlot）中，三个变量分别落入三个不同的主成分代表的区域。
主成分得分表如下。
最后一栏对几个典型的样本给出了简单的解释。
注意解释的时候看清主成分载荷矩阵中载荷值的正负号。
Cases
f1
f2
f3
典型的说明
S1
0.61591
-0.8186
-0.38418
S2
0.03194
-0.36015
-0.26343
S3
-0.34752
-0.54481
-0.49701
S4
0.2425
-0.30293
1.80367
样本4代表的区域Wind、HC污染严重
S5
-0.12729
-0.91941
-0.4042
S6
0.72612
-0.19278
1.21954
S7
2.03686
0.89982
1.4607
样本7和8代表的区域与CO、NO、NO2污染有明显的关系
S8
2.57309
0.77732
-0.34124
S9
0.09802
-0.81736
0.30334
S10
0.50664
0.78803
0.88735
S11
0.3904
0.97744
-1.48345
S12
0.14485
-0.45848
-0.27016
S13
1.92477
0.88883
-0.66029
S14
-0.50662
0.63139
0.91242
S15
-0.89378
-0.17036
1.19632
S16
-0.66037
-0.39862
0.93758
S17
-0.87787
-0.3635
0.3701
S18
0.88733
1.5306
0.65731
S19
-0.42935
1.09253
0.48155
S20
-0.751
0.92424
0.11384
S21
0.42826
1.96133
1.18659
样本21代表的区域Solarradiation、O3污染较小
S22
-0.69373
-0.09747
0.51522
S23
0.41484
0.20681
1.21242
S24
-1.16263
1.39047
-2.12097
S25
0.86691
-1.70335
0.91799
S26
-0.91899
-0.13915
0.18106
S27
0.09994
-0.51948
-0.37202
S28
-1.32458
-0.6911
0.65186
S29
-0.10472
0.39184
-1.08681
S30
-1.8593
1.37933
0.6047
S31
-0.62672
-0.08347
0.47051
S32
-0.14264
0.64941
0.72066
S33
0.67421
1.56899
-2.63096
样本33代表的区域Wind、HC污染较小
S34
0.24874
-1.95681
0.22088
S35
-1.71429
0.39216
-0.08554
S36
-0.80238
-1.13269
-0.0517
S37
-1.00653
-1.92662
-1.17569
样本37和38代表的区域Solarradiation、O3污染严重
S38
1.29486
-1.77265
-1.32357
S39
1.68145
-1.04272
-0.66334
S40
-0.48079
-0.49683
-1.07633
S41
0.72122
-0.53042
-0.57934
S42
-1.17776
0.98919
-1.55538
2.3主成分分析之二——数据未经标准化
下面是从协方差矩阵S出发，SPSS给出的结果。
原始数据未经标准化。
所谓从S出发，就是在SPSS的FactorAnalysis:
Extraction—Analysis选项中选中CovarianceMatrix。
公因子方差（Communalities）表如下。
在未经处理的（Raw）公因子方差一栏，其Initial数值都是原始数据的方差。
不过与前面Excel给出的协方差矩阵有所不同，Excel给出的是总体方差，SPSS给出的是抽样方差。
例如以Wind的Initial值为例，2.4404762×42/41=2.5，或者2.5×41/42=2.4404762（对照前面的协方差矩阵）。
重标的（Rescaled）结果是Extraction值与Initial值之比。
公因子方差的合计结果如下：
Raw
Rescaled
Initial
Extraction
Initial
Extraction
WIND
2.5
0.0306651
1
0.012266
Solarradiation
300.51568
300.13367
1
0.9987288
CO
1.5220674
0.0601666
1
0.0395295
NO
1.1823461
0.0067502
1
0.0057091
NO2
11.363531
0.1790059
1
0.0157527
O3
30.978513
3.8459428
1
0.1241487
HC
0.4785134
0.0016671
1
0.0034839
合计
348.54065
304.25786
7
1.1996188
特征根与方差贡献（TotalVarianceExplained）如下表。
在Raw一栏中显示，提取一个主成分似乎可以解释原来7格变量的87.295%。
但重标之后显示的数值却是17.137%。
根据公因子方差表和合计结果，重标之前，全部的方差解释为
304.25786/348.54065*100=87.295%；
重标之后，全部的方差解释为
1.1996188/7*100＝17.137%。
主成分载荷矩阵（ComponentMatrix）见下表。
可以看来，由于变量Solarradiation的方差很大，它绝对地控制了第一主成分。
2.4主成分分析之三——数据经过标准化
下面是从协方差矩阵S出发，SPSS给出的结果。
原始数据经过标准化。
可以看到所有的结果重标前后一样，并且与从相关矩阵R出发计算的结果一样。
公因子方差（Communalities）表如下，重标前后的结果一样。
特征根与方差贡献（TotalVarianceExplained）如下表。
重标前后结果一样。
主成分载荷矩阵（ComponentMatrix）见下表，重标前后一样。
可以看到，第一主成分的相对重要性受到标准化的极大影响。
结论自然是：
如果在极其不同的围测量变量，或者测量单位的量纲不同，变量必须经过标准化。
否则，应该从相关系数矩阵出发开展主成分分析。
2.5因子分析——方差极大旋转
数据经过标准化，从任意矩阵出发，在因子分析中进行方差极大旋转（Varimax），载荷矩阵如下。
载荷矩阵和因子分类结果如下表。
Component
公因子方差
1
2
3
WIND
-0.028414
-0.173628
0.8403073
0.7370703
Solarradiation
0.0430199
0.7359707
-0.016746
0.543784
CO
0.7053995
0.27462
-0.390213
0.7252709
NO
0.6450475
-0.38278
-0.481689
0.7946307
NO2
0.8113864
0.1517776
0.0037967
0.6813987
O3
0.1660312
0.8196628
-0.151772
0.7224481
HC
0.7054698
0.0712504
0.4684894
0.7222466
方差贡献
2.0999347
1.4936962
1.3332183
可以看到，旋转之后三个因子的方差贡献差别缩小了。
2.6回答问题
⏹Whathaveyoulearned?
⏹Doesitmakeanydifferencewhichmatrixischosenforanalysis?
⏹Canthedatabesummarizedinthreeorfewerdimensions?
⏹Canyouinterprettheprincipalcomponents?
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