求函数极限的方法和技巧.docx
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求函数极限的方法和技巧
求函数极限的方法和技巧
在数学剖析和微积分学中,极限的观点据有主要的地位并以各样形式出现而贯串所有内容,所以掌握好极限的求解方法是学习数学剖析和微积分的重点一环。
本
文就对于求函数极限的方法和技巧作一个比较全面的归纳、综合,力争在方法的正确灵巧运用方面,对读者有所助益。
一、求函数极限的方法
1、运用极限的定义:
例:
用极限制义证明:
lim
x2
3x
2
1
x
2
x
2
x2
3x2
x2
4x4
2
证:
由
1
x2
x
2
x
2
x
x2
2
0,取
,则当0
x
2
时,就有x2
3x
21
x2
由函数极限
定义有:
x2
3x
2
1。
lim
x
2
x
2
2、利用极限的四则运算性质:
若lim
f(x)
Alimg(x)
B
x
x0
x
x0
(I)lim
f(x)
g(x)
lim
f(x)
limg(x)
A
B
x
x0
x
x0
x
x0
lim
f
(
x
)
gx
)
lim
f
x
)
lim
g
x
)
A
B
(II)
xx0
x
x0
x
x0
f(x)
lim
f(x)
A
(III)
若B≠0
则:
lim
x
x0
g(x)
limg(x)
B
x
x0
x
x0
(IV)limc
f(x)
c
lim
f(x)cA
(c为常数)
x
x0
x
x0
上述性质对于
x
x
x
时也相同建立
例:
求
lim
x2
3x
5
x
2
x
4
解:
lim
x2
3x522
3255
x
4
=
2
4
2
x
2
3、约去零因式(此法合用于
x
x0时,0型)
x3
x2
0
例:
求lim
16x
20
x
2
x3
7x2
16x
12
解:
原式=lim
x3
3x2
10x
(2x2
6x
20)
x
2
x3
5x2
6x
(2x2
10x
12)
=
lim
(x
2)(x2
3x
10)
x
2
(x
2)(x2
5x
6)
=lim
(x2
3x
10)=lim
(x
5)(x
2)=limx
5
7
x
2(x2
5x6)
x
2(x2)(x3)
x
2x3
4、通分法(合用于
型)
例:
求lim(
4
4
2
1)
x
2
x2
x
解:
原式=lim
4
(2
x)
=lim
(2
x)
1
1
x)
(2
x)(2
=lim
4
x
2(2
x)x
2(2
x)x
22x
5、利用无量小量性质法(特别是利用无量小量和有界量之乘积仍为无量小量
的性质)
设函数f(x)
、g(x)
知足:
(I)lim
f(x)
0
(II)
g(x)
M(M为正整数)
xx0
则:
lim
()
f
(
x
)
0
xx0
g
x
例:
求
limx
1
sin
x
0
x
解:
由
limx0而
x0
6、利用无量小量和无量大批的关系。
sin1
1
故
原式=limxsin1
0
x
x0
x
(I)若:
lim
f(x)
则
lim
1
0
f(x)
(II)
若:
lim
f(x)
0
且f(x)≠0
则
lim
1
f(x)
例:
求以下极限
①
lim
1
②lim
1
x
5
1
x
x1x
1
解:
由
lim(x
5)
故
lim
0
x
5
x
x
由
lim(x
1)
0
故
lim
1
=
x
1
x1
x
1
7、等价无量小代换法
设
',
'
都是同一极限过程中的无量小量,且有:
~
',~
',
'
'
lim'
存在,则lim
也存在,且有lim
=lim
'
例:
求极限lim1
cosx2
x
0
x2sinx2
(x2)2
解:
sinx
2
~x
2
1cosx
2
(x2)2
1
cosx2
=
2
~
lim
2sinx2
2x2
2
x0x
x
注:
在利用等价无量小做代换时,一般只在以乘积形式出现时能够交换,若以和、差出现时,不要轻易代换,因为此时经过代换后,常常改变了它的无量小量之比的“阶数”
8、利用两个重要的极限。
1
2
(A)limsinx
1
(B)lim(1
1)x
e
x0
x
x
x
但我们常常使用的是它们的变形:
(A')lim
sin
(x)
1,(
(x)
0)
(B')lim(1
1
)(x)
e,(
(x))
(x)
(x)
例:
求以下函数极限
、
ax
1
、
lncosax
(1)lim
x
(2)
lim
lncosbx
x0
x0
于是ax
解:
(1)令ax
1
u,则x
ln(1u)
1
ulna
lna
x
ln(1
u)
又当x
0时,u
0
故有:
limax
1
lim
ulna
lim
lna
lim
lna
x0
x
u0ln(1u)
u0
ln(1u)
u0
ln(1u)
u
1lna
u
(2)、原式lim
ln[(1
(cosax
1)]
x0
ln[1
(cosbx
1)]
limln[(1
(cosax
1)]cosbx
1
limcosbx
1
x0
cosax
1
cosax
1
x0cosax
1
ln[1
(cosbx
1)]
cosbx
1
2sin
lim
x0
2sin
2
2
sin2
ax
a
2
b
x
(
x)
2
(
x)
2
b2
2
2
2
b
lim
2
b
a
2
a
2
x
0
2
x
sin
x
(
2
x)
2
b2
(x)
9、利用函数的连续性(合用于求函数在连续点处的极限)。
(i)若f(x)在x
x0处连续,则lim
f(x)
f(x0)
x
x0
(ii)若f[
(x)]是复合函数,又
lim
(x)
a且
x
x0
f(u)在u
a处连续,则lim
f(
(x))
f[lim(x)]f(a)
xx0
xx0
例:
求以下函数的极限
、
excosx
5
(1)lim
x2
ln(1
x)
x01
解:
因为x
0属于初等函数f(x)
故由函数的连续性定义
有:
ex
cosx
5
f(0)6
lim
2
ln(1
x)
x01x
(2)、由ln(1
x)
1
ln(1
x)x
x
1
(2)
limln(1
x)
x0
x
excosx5
的定义域以内。
1x2
ln(1
x)
令
x
(1
x)x故有:
limln(1
x)
1
1
limln(1x)x
ln(lim(1x)x)lne1
x
0
x
x0
x0
10、变量替代法(合用于分子、分母的根指数不相同的极限种类)特别地有:
l
xk
1
ml
limn
nk
m
、n、k、l
为正整数。
x1
xm
1
例:
求以下函数极限
①lim1
nx(m
、n
N)
②lim(2x
3)x
1
x11
mx
x
2x
1
解:
①令t=mnx
则当x
1
时
t
1,于是
1
tm
lim
(1
t)(1
t
t2
tm1)
m
原式=lim
tn
(1
t)(1
t
t2
tn
1)
n
t11
t
1
②因为lim(
2x
3
)x
1=lim(1
2
)x
1
x
2x1
x
2x
1
令:
2x
11
则
x
1
1
1
2
t
t
2
1
1
lim(2x
3)x1=lim(1
2
)x
1=lim(1t)t
2
x
2x
1
x
2x
1
t
0
11
=
lim(1
t)t
lim(1
t)2
e1
e
t
0
t
0
11、
利用函数极限的存在性定理
定理:
设在x0
的某空心邻域内恒有
g(x)
≤f(x)
≤h(x)
,且
有:
limg(x)
limh(x)
A,则极限
lim
f(x)存在,
且有lim
f(x)
A
xx0
xx0
xx0
xx0
例:
求
lim
xn
(a>1,n>0)
a
x
x
解:
当x≥1时,存在独一的正整数
k,使
k
≤x≤k+1
于是当n>0
时有
:
xn
(k1)n
及
xn
kn
kn1
ax
ak
ax
ak1
ak
a
又
当x
时,k
有
lim
(k
1)n
lim
(k
1)n
a
0
a
0
a
k
a
k1
k
k
lim
kn
kn
1
0
1
0
lim
xn
及
k1
lim
k
x
=0
k
a
k
a
a
a
x
a
12、用左右极限和极限关系
(合用于分段函数求分段点处的极限,以及用定义
求极限等情况)。
定理:
函数极限lim
f(x)存在且等于A的充足必需条件是左极限
limf(x)及
x
x0
xx0
右极限lim
f(x)都存在且都等于
A。
即有:
x
x0
lim
f(x)
A
lim
f(x)=lim
f(x)=A
x
x0
x
x0
x
x0
1
2ex,x
0
例:
设f(x)=
x
x,0
x
1
求lim
f(x)及lim
f(x)
x
x
0
x1
x2,x1
解:
lim
f(x)
lim(1
2ex)
1
x
0
x
0
lim
f(x)
lim(x
x
x)
lim(x
1)
1
x
0
x
0
x
0
lim
(
)
lim
)
1
由
(
x
0
f
x
x0
f
x
limf(x)
1
x0
又Qlimf(x)
lim
x
x
lim(x
1)
0
x
x1
x
1
x
1
lim
f(x)
limx2
1
由f