求函数极限的方法和技巧.docx
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求函数极限的方法和技巧
求函数极限的方法和技巧
在数学剖析和微积分学中,极限的观点据有主要的地位并以各样形式出现而贯串所有内容,所以掌握好极限的求解方法是学习数学剖析和微积分的重点一环。
本
文就对于求函数极限的方法和技巧作一个比较全面的归纳、综合,力争在方法的正确灵巧运用方面,对读者有所助益。
一、求函数极限的方法
1、运用极限的定义：
例:
用极限制义证明：
lim
x2
3x
2
1
x
2
x
2
x2
3x2
x2
4x4
2
证:
由
1
x2
x
2
x
2
x
x2
2
0，取
，则当0
x
2
时,就有x2
3x
21
x2
由函数极限
定义有:
x2
3x
2
1。
lim
x
2
x
2
2、利用极限的四则运算性质：
若lim
f（x）
Alimg（x）
B
x
x0
x
x0
（I）lim
f（x）
g（x）
lim
f（x）
limg（x）
A
B
x
x0
x
x0
x
x0
lim
f
（
x
）
gx
）
lim
f
x
）
lim
g
x
）
A
B
（II）
xx0
x
x0
x
x0
f（x）
lim
f（x）
A
（III）
若B≠0
则：
lim
x
x0
g（x）
limg（x）
B
x
x0
x
x0
（IV）limc
f（x）
c
lim
f（x）cA
（c为常数）
x
x0
x
x0
上述性质对于
x
x
x
时也相同建立
例：
求
lim
x2
3x
5
x
2
x
4
解:
lim
x2
3x522
3255
x
4
=
2
4
2
x
2
3、约去零因式（此法合用于
x
x0时,0型）
x3
x2
0
例:
求lim
16x
20
x
2
x3
7x2
16x
12
解:
原式=lim
x3
3x2
10x
（2x2
6x
20）
x
2
x3
5x2
6x
（2x2
10x
12）
=
lim
（x
2）（x2
3x
10）
x
2
（x
2）（x2
5x
6）
=lim
（x2
3x
10）=lim
（x
5）（x
2）=limx
5
7
x
2（x2
5x6）
x
2（x2）（x3）
x
2x3
4、通分法（合用于
型）
例:
求lim（
4
4
2
1）
x
2
x2
x
解:
原式=lim
4
（2
x）
=lim
（2
x）
1
1
x）
（2
x）（2
=lim
4
x
2（2
x）x
2（2
x）x
22x
5、利用无量小量性质法（特别是利用无量小量和有界量之乘积仍为无量小量
的性质）
设函数f（x）
、g（x）
知足：
（I）lim
f（x）
0
（II）
g（x）
M（M为正整数）
xx0
则：
lim
（）
f
（
x
）
0
xx0
g
x
例:
求
limx
1
sin
x
0
x
解:
由
limx0而
x0
6、利用无量小量和无量大批的关系。
sin1
1
故
原式=limxsin1
0
x
x0
x
（I）若：
lim
f（x）
则
lim
1
0
f（x）
（II）
若:
lim
f（x）
0
且f（x）≠0
则
lim
1
f（x）
例:
求以下极限
①
lim
1
②lim
1
x
5
1
x
x1x
1
解:
由
lim（x
5）
故
lim
0
x
5
x
x
由
lim（x
1）
0
故
lim
1
=
x
1
x1
x
1
7、等价无量小代换法
设
',
'
都是同一极限过程中的无量小量，且有：
~
',~
'，
'
'
lim'
存在，则lim
也存在，且有lim
=lim
'
例:
求极限lim1
cosx2
x
0
x2sinx2
（x2）2
解:
sinx
2
~x
2
1cosx
2
（x2）2
1
cosx2
=
2
~
lim
2sinx2
2x2
2
x0x
x
注：
在利用等价无量小做代换时，一般只在以乘积形式出现时能够交换，若以和、差出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，常常改变了它的无量小量之比的“阶数”
8、利用两个重要的极限。
1
2
（A）limsinx
1
（B）lim（1
1）x
e
x0
x
x
x
但我们常常使用的是它们的变形：
（A'）lim
sin
（x）
1,（
（x）
0）
（B'）lim（1
1
）（x）
e,（
（x））
（x）
（x）
例：
求以下函数极限
、
ax
1
、
lncosax
（1）lim
x
（2）
lim
lncosbx
x0
x0
于是ax
解：
（1）令ax
1
u,则x
ln（1u）
1
ulna
lna
x
ln（1
u）
又当x
0时，u
0
故有：
limax
1
lim
ulna
lim
lna
lim
lna
x0
x
u0ln（1u）
u0
ln（1u）
u0
ln（1u）
u
1lna
u
（2）、原式lim
ln[（1
（cosax
1）]
x0
ln[1
（cosbx
1）]
limln[（1
（cosax
1）]cosbx
1
limcosbx
1
x0
cosax
1
cosax
1
x0cosax
1
ln[1
（cosbx
1）]
cosbx
1
2sin
lim
x0
2sin
2
2
sin2
ax
a
2
b
x
（
x）
2
（
x）
2
b2
2
2
2
b
lim
2
b
a
2
a
2
x
0
2
x
sin
x
（
2
x）
2
b2
（x）
9、利用函数的连续性（合用于求函数在连续点处的极限）。
（i）若f（x）在x
x0处连续，则lim
f（x）
f（x0）
x
x0
（ii）若f[
（x）]是复合函数，又
lim
（x）
a且
x
x0
f（u）在u
a处连续，则lim
f（
（x））
f[lim（x）]f（a）
xx0
xx0
例：
求以下函数的极限
、
excosx
5
（1）lim
x2
ln（1
x）
x01
解：
因为x
0属于初等函数f（x）
故由函数的连续性定义
有：
ex
cosx
5
f（0）6
lim
2
ln（1
x）
x01x
（2）、由ln（1
x）
1
ln（1
x）x
x
1
（2）
limln（1
x）
x0
x
excosx5
的定义域以内。
1x2
ln（1
x）
令
x
（1
x）x故有：
limln（1
x）
1
1
limln（1x）x
ln（lim（1x）x）lne1
x
0
x
x0
x0
10、变量替代法（合用于分子、分母的根指数不相同的极限种类）特别地有：
l
xk
1
ml
limn
nk
m
、n、k、l
为正整数。
x1
xm
1
例：
求以下函数极限
①lim1
nx（m
、n
N）
②lim（2x
3）x
1
x11
mx
x
2x
1
解:
①令t=mnx
则当x
1
时
t
1,于是
1
tm
lim
（1
t）（1
t
t2
tm1）
m
原式=lim
tn
（1
t）（1
t
t2
tn
1）
n
t11
t
1
②因为lim（
2x
3
）x
1=lim（1
2
）x
1
x
2x1
x
2x
1
令：
2x
11
则
x
1
1
1
2
t
t
2
1
1
lim（2x
3）x1=lim（1
2
）x
1=lim（1t）t
2
x
2x
1
x
2x
1
t
0
11
=
lim（1
t）t
lim（1
t）2
e1
e
t
0
t
0
11、
利用函数极限的存在性定理
定理:
设在x0
的某空心邻域内恒有
g（x）
≤f（x）
≤h（x）
，且
有:
limg（x）
limh（x）
A，则极限
lim
f（x）存在,
且有lim
f（x）
A
xx0
xx0
xx0
xx0
例:
求
lim
xn
（a>1,n>0）
a
x
x
解:
当x≥1时,存在独一的正整数
k,使
k
≤x≤k+1
于是当n>0
时有
:
xn
（k1）n
及
xn
kn
kn1
ax
ak
ax
ak1
ak
a
又
当x
时,k
有
lim
（k
1）n
lim
（k
1）n
a
0
a
0
a
k
a
k1
k
k
lim
kn
kn
1
0
1
0
lim
xn
及
k1
lim
k
x
=0
k
a
k
a
a
a
x
a
12、用左右极限和极限关系
（合用于分段函数求分段点处的极限，以及用定义
求极限等情况）。
定理：
函数极限lim
f（x）存在且等于A的充足必需条件是左极限
limf（x）及
x
x0
xx0
右极限lim
f（x）都存在且都等于
A。
即有：
x
x0
lim
f（x）
A
lim
f（x）=lim
f（x）=A
x
x0
x
x0
x
x0
1
2ex,x
0
例：
设f（x）=
x
x,0
x
1
求lim
f（x）及lim
f（x）
x
x
0
x1
x2,x1
解：
lim
f（x）
lim（1
2ex）
1
x
0
x
0
lim
f（x）
lim（x
x
x）
lim（x
1）
1
x
0
x
0
x
0
lim
（
）
lim
）
1
由
（
x
0
f
x
x0
f
x
limf（x）
1
x0
又Qlimf（x）
lim
x
x
lim（x
1）
0
x
x1
x
1
x
1
lim
f（x）
limx2
1
由f
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