高等数学数二知识重点及复习计划.docx

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高等数学数二知识重点及复习计划

高等数学（数二）复习知识点及作业

按照同济大学高等数学第六版制定

第一章函数与极限（时间1周，每天2-3小时）

章节

复习知识点及作业

大纲要求

1.1

函数的概念，常见的函数（有界函数、奇函数与偶函数、单调函数、周期函数）、复合函数、反函数、初等函数具体概念和形式.注：

一、集合二、映射P17-20双曲函数（不用看）

习题1－1：

4，5，8，9，15，16

1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题的函数关系．

2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．

3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．

4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．

5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系．

6．掌握极限的性质及四则运算法则．

7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．

8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限．

9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．

10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．

1.2

数列极限的定义，数列极限的性质（唯一性、有界性、保号性）注：

用定义证明极限不用看

习题1－2：

1，4，5，6注：

记住4,5,6的结论，不用证明

1.3

函数极限的定义与基本性质（极限的保号性、极限的唯一性、函数极限的函数局部有界性,函数极限与数列极限的关系等）注：

用定义证明极限不用看?

习题1－3：

1，2，4

1.4

无穷小与无穷大的定义，它们之间的关系，以及与极限的关系?

习题1－4：

4，6，7

1.5

极限的运算法则（6个定理以及一些推论）

习题1－5：

1，2，3，4,5

1.6

重点

两个重要极限（要牢记在心，要注意极限成立的条件，不要混淆，应熟悉等价表达式）,函数极限的存在问题（夹逼定理、单调有界数列必有极限），利用函数极限求数列极限，利用夹逼准则求极限，求递归数列的极限.

习题1－6：

1，2，4

1.7

重点

无穷小阶的概念（同阶无穷小、等价无穷小、高阶无穷小、k阶无穷小），重要的等价无穷小（尤其重要，一定要烂熟于心）以及它们的重要性质和确定方法.习题1－7：

1，2，3，4

1.8

重点

函数的连续性，间断点的定义与分类（第一类间断点与第二类间断点），判断函数的连续性（连续性的四则运算法则，复合函数的连续性，反函数的连续性）和间断点的类型。

习题1－8：

2，3，4，5

1.9

连续函数的运算与初等函数的连续性（包括和,差,积,商的连续性,反函数与复合函数的连续性,初等函数的连续性）

习题1－9：

3，4，5，6

1.10

重点

理解闭区间上连续函数的性质:

有界性与最大值最小值定理,零点定理与介值定理（零点定理对于证明根的存在是非常重要的一种方法）.注：

P72一致连续性（不用看）

习题1－10：

1，2，5

总复习题一：

1，2，3,4,5，9，10，11，12

第二章导数与微分（时间1周，每天2-3小时）

2.1

导数的定义、几何意义、，单侧与双侧可导的关系，可导与连续之间的关系（非常重要，经常会出现在选择题中），函数的可导性，导函数,奇偶函数与周期函数的导数的性质，按照定义求导及其适用的情形，利用导数定义求极限.会求平面曲线的切线方程和法线方程.

习题2－1：

6，7，9，11，14，15，16，17，18,19,20

1．理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系．

2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．

3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．

4．会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数．

2.2

重点

复合函数求导法、求初等函数的导数和多层复合函数的导数，由复合函数求导法则导出的微分法则，（幂、指数函数求导法，反函数求导法），分段函数求导法.

习题2－2：

2，3，5，7，8，10，11，14

2.3

重点

高阶导数求法（归纳法，分解法，用莱布尼兹法则）

习题2－3：

2，3，10，11，12

2.4

重点

由参数方程确定的函数的求导法，隐函数的求导法，相关变化率

习题2－4：

2，4，7，8，9，10，11

2.5

函数微分的定义，微分的几何意义，微分运算法则?

注：

P119微分在近似计算中的应用（不用看）

习题2－5：

2，3，4

总复习题二：

1，2，3，5，6，7,8，9，10，11，12，13，14

第三章微分中值定理与导数的应用（时间1周，每天2-3小时）

3.1

重点

微分中值定理及其应用（费马定理及其几何意义，罗尔定理及其几何意义，拉格朗日定理及其几何意义、柯西定理及其几何意义）

习题3－1：

5－12

1．理解并会用罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定理，了解并会用柯西（Cauchy）中值定理．

2．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．

3．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用．

4．会用导数判断函数图形的凹凸性.

5.会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形．

6．了解曲率、曲率圆和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径．

3.2

重点

洛比达法则及其应用

习题3－2：

1－4

3.3

重点

泰勒中值定理，麦克劳林展开式

习题3－3：

1－7，10

3.4

重点

求函数的单调性、凹凸性区间、极值点、拐点、渐进线（选择题及大题常考）

习题3－4：

1，2，4，5，8，9，12，13，14，15

3.5

重点

函数的极值,（一个必要条件,两个充分条件）,最大最小值问题.函数性的最值和应用性的最值问题，与最值问题有关的综合题

习题3-5:

1,4,5,6,7

3.6

简单了解利用导数作函数图形（一般出选择题及判断图形题），对其中的渐进线和间断点要熟练掌握.

习题3－6：

2,4

3.7

弧微分，曲率的概念，曲率圆与曲率半径.

注：

P175曲率中心的计算公式渐屈线与渐伸线不用看

习题3-7：

1-5

总复习题三：

1,2,4,6,7,8,10,11,12,20

第四章不定积分（时间1周，每天2-3小时）

4.1

原函数与不定积分的概念与基本性质（它们各自的定义，之间的关系，求不定积分与求微分或导数的关系），基本的积分公式，原函数的存在性

习题4－1：

1，7

1．理解原函数的概念，理解不定积分的概念．

2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法与分部积分法．

3．会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分．

4.2

重点

换元积分法习题4－2全部

4.3

重点

分部积分法习题4－3全部

4.4

有理函数的积分习题4－4全部

4.5

积分表的使用（不用看）

总习题四：

全部

第五章定积分（时间1周，每天2-3小时）

5.1

定积分的概念与性质（可积存在定理）（定积分的7个性质）

注：

P228定积分的近似计算（不考）习题5－1：

4，10，13

1．理解定积分的概念．

2．掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法．

4．理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式．

5．了解反常积分的概念，会计算反常积分．

5.2

重点

微积分的基本公式积分上限函数及其导数牛顿－莱布尼兹公式习题5－2：

1－12

5.3

重点

定积分的换元法与分部积分法

习题5－3：

1，2，3，4，6，7

5.4

反常积分无界函数反常积分与无穷限反常积分

习题：

5－4：

1－3

5.5

反常积分的审敛法（不考）?

总复习题五：

1，3，4，5，6，7，10，13

第六章定积分的应用（时间1周，每天2-3小时）

6.1

定积分元素法

掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数的平均值．

6.2

重点

定积分的几何应用（求平面曲线的弧长，求平面图形的面积，求旋转体的体积，求平行截面为已知的立体体积，求旋转曲面的面积）

习题6－2：

1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,12,13,15,16,21,22

6.3

定积分在物理学上的应用（变力沿直线所做的功，水压力，引力）习题6-3:

1-12

总复习题六：

1－6

第七章微分方程（时间1周，每天2-3小时）

7.1

微分方程的基本概念（微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解）

习题7-1：

1，2，3，4，5

1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念．

2．掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法，会解齐次微分方程．

3．会用降阶法解可降阶的微分方程

4．理解二阶线性微分方程解的性质及解的结构定理．

5．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程．

6．会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程．

7．会用微分方程解决一些简单的应用问题．

7.2

重点

可分离变量的微分方程（可分离变量的微分方程的概念及其解法）习题7-2：

1，2

7.3

重点

齐次方程（一阶齐次微分方程的形式及其解法）

习题7－3：

1，2

7.4

重点

一阶线性微分方程，伯努利方程

习题7—4：

1，2?

注：

伯努利方程数学二不考

7.5

重点

可降阶的高阶微分方程

习题7-5:

1,2

7.6

重点

高阶线性微分方程（微分方程的特解、通解）

习题7-6：

1-4

7.7

重点

常系数齐次线性微分方程（特征方程，微分方程通解中对应项）

习题7-7：

1，2

7.8

重点

常系数非齐次线性微分方程（会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程）习题7-8：

1，2

总复习题七：

3，4，5，7

第八章空间解析几何与向量代数注：

本章数学二不考

第九章多元函数微分法及其应用（时间1周，每天2-3小时）

9.1

多元函数的基本概念（二元函数的极限、连续性、有界性与最大值最小值定理、介值定理）

习题9—1：

5，6，7，8

1．了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义．

2．了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质．

3．了解多元函数偏导数与全微分的概念，会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分，了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数．

4．了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题．

9.2

重点

偏导数（偏导数的概念，二阶偏导数的求解），

习题9—2：

1，2，3，4，6，7，8，9

9.3

重点

全微分（全微分的定义，可微分的必要条件和充分条件）.

习题9—3：

1，2，3，5

注：

全微分在近似计算中的应用

9.4

重点

多元复合函数的求导法则（多元复合函数求导，全微分形式的不变性）习题9—4：

1—12

9.5

重点

隐函数的求导公式（隐函数存在的3个定理）

习题9—5：

1—10

9.8

重点

多元函数的极值及其求法（多元函数极值与最值的概念，二元函数极值存在的必要条件和充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值）

习题9—8：

1—12

总复习题九：

1.3.4

注：

9.9与9.10不用看

第十章重积分（时间1周，每天2-3小时）

10.1

二重积分的概念与性质（二重积分的定义及6个性质），

习题10－1：

1，4，5

1.了解二重积分的概念与基本性质

2.掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）．

10.2

重点

二重积分的计算法（会利用直角坐标计算二重积分，会利用极坐标计算二重积分），

习题10－2：

1，2，4，6，7，8，11，12，13，14，15

总复习题十：

2.3.4.5.6.

第十一章曲线积分与曲面积分注：

本章数学二不考

第十二章无穷级数注：

本章数学二不考