中考压轴题之一因动点问题产生的相似三角形问题.docx

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中考压轴题之一因动点问题产生的相似三角形问题

1.1因动点产生的相似三角形问题

例12012年苏州市中考第29题

如图1，已知抛物线（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B是左侧），与y轴的正半轴交于点C．

（1）点B的坐标为______，点C的坐标为__________（用含b的代数式表示）；

（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？

如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？

如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“12苏州29”，拖动点B在x轴的正半轴上运动，可以体验到，点P到两坐标轴的距离相等，存在四边形PCOB的面积等于2b的时刻．双击按钮“第（3）题”，拖动点B，可以体验到，存在∠OQA＝∠B的时刻，也存在∠OQ′A＝∠B的时刻．

思路点拨

1．第

（2）题中，等腰直角三角形PBC暗示了点P到两坐标轴的距离相等．

2．联结OP，把四边形PCOB重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b的式子表示．

3．第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q最大的可能在经过点A与x轴垂直的直线上．

满分解答

（1）B的坐标为（b,0），点C的坐标为（0,）．

（2）如图2，过点P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，那么△PDB≌△PEC．

因此PD＝PE．设点P的坐标为（x,x）．

如图3，联结OP．

所以S四边形PCOB＝S△PCO＋S△PBO＝＝2b．

解得．所以点P的坐标为（）．

图2图3

（3）由，得A（1,0），OA＝1．

①如图4，以OA、OC为邻边构造矩形OAQC，那么△OQC≌△QOA．

当，即时，△BQA∽△QOA．

所以．解得．所以符合题意的点Q为（）．

②如图5，以OC为直径的圆与直线x＝1交于点Q，那么∠OQC＝90°。

因此△OCQ∽△QOA．

当时，△BQA∽△QOA．此时∠OQB＝90°．

所以C、Q、B三点共线．因此，即．解得．此时Q（1,4）．

图4图5

考点伸展

第（3）题的思路是，A、C、O三点是确定的，B是x轴正半轴上待定的点，而∠QOA与∠QOC是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况．

这样，先根据△QOA与△QOC相似把点Q的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点B的位置．

如图中，圆与直线x＝1的另一个交点会不会是符合题意的点Q呢？

如果符合题意的话，那么点B的位置距离点A很近，这与OB＝4OC矛盾．

例22012年黄冈市中考模拟第25题

如图1，已知抛物线的方程C1：

（m＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．

（1）若抛物线C1过点M（2,2），求实数m的值；

（2）在

（1）的条件下，求△BCE的面积；

（3）在

（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H的坐标；

（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？

若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“12黄冈25”，拖动点C在x轴正半轴上运动，观察左图，可以体验到，EC与BF保持平行，但是∠BFC在无限远处也不等于45°．观察右图，可以体验到，∠CBF保持45°，存在∠BFC＝∠BCE的时刻．

思路点拨

1．第（3）题是典型的“牛喝水”问题，当H落在线段EC上时，BH＋EH最小．

2．第（4）题的解题策略是：

先分两种情况画直线BF，作∠CBF＝∠EBC＝45°，或者作BF//EC．再用含m的式子表示点F的坐标．然后根据夹角相等，两边对应成比例列关于m的方程．

满分解答

（1）将M（2,2）代入，得．解得m＝4．

（2）当m＝4时，．所以C（4,0），E（0,2）．

所以S△BCE＝．

（3）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1，当H落在线段EC上时，BH＋EH最小．

设对称轴与x轴的交点为P，那么．

因此．解得．所以点H的坐标为．

（4）①如图3，过点B作EC的平行线交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′．

由于∠BCE＝∠FBC，所以当，即时，△BCE∽△FBC．

设点F的坐标为，由，得．

解得x＝m＋2．所以F′（m＋2,0）．

由，得．所以．

由，得．

整理，得0＝16．此方程无解．

图2图3图4

②如图4，作∠CBF＝45°交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′，

由于∠EBC＝∠CBF，所以，即时，△BCE∽△BFC．

在Rt△BFF′中，由FF′＝BF′，得．

解得x＝2m．所以F′．所以BF′＝2m＋2，．

由，得．解得．

综合①、②，符合题意的m为．

考点伸展

第（4）题也可以这样求BF的长：

在求得点F′、F的坐标后，根据两点间的距离公式求BF的长．

例32011年上海市闸北区中考模拟第25题

直线分别交x轴、y轴于A、B两点，△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°后得到△COD，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A、C、D三点．

（1）写出点A、B、C、D的坐标；

（2）求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标；

（3）在直线BG上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与△COD相似？

若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“11闸北25”，拖动点Q在直线BG上运动，可以体验到，

△ABQ的两条直角边的比为1∶3共有四种情况，点B上、下各有两种．

思路点拨

1．图形在旋转过程中，对应线段相等，对应角相等，对应线段的夹角等于旋转角．

2．用待定系数法求抛物线的解析式，用配方法求顶点坐标．

3．第（3）题判断∠ABQ＝90°是解题的前提．

4．△ABQ与△COD相似，按照直角边的比分两种情况，每种情况又按照点Q与点B的位置关系分上下两种情形，点Q共有4个．

满分解答

（1）A（3，0），B（0，1），C（0，3），D（－1，0）．

（2）因为抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（3，0）、C（0，3）、D（－1，0）三点，所以解得

所以抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3＝－（x－1）2＋4，顶点G的坐标为（1，4）．

（3）如图2，直线BG的解析式为y＝3x＋1，直线CD的解析式为y＝3x＋3，因此CD//BG．

因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以AB⊥CD．因此AB⊥BG，即∠ABQ＝90°．

因为点Q在直线BG上，设点Q的坐标为（x，3x＋1），那么．

Rt△COD的两条直角边的比为1∶3，如果Rt△ABQ与Rt△COD相似，存在两种情况：

①当时，．解得．所以，．

②当时，．解得．所以，．

图2图3

考点伸展

第（3）题在解答过程中运用了两个高难度动作：

一是用旋转的性质说明AB⊥BG；二是．

我们换个思路解答第（3）题：

如图3，作GH⊥y轴，QN⊥y轴，垂足分别为H、N．

通过证明△AOB≌△BHG，根据全等三角形的对应角相等，可以证明∠ABG＝90°．

在Rt△BGH中，，．

①当时，．

在Rt△BQN中，，．

当Q在B上方时，；当Q在B下方时，．

②当时，．同理得到，．

例42011年上海市杨浦区中考模拟第24题

Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数在第一象限内的图象与BC边交于点D（4，m），与AB边交于点E（2，n），△BDE的面积为2．

（1）求m与n的数量关系；

（2）当tan∠A＝时，求反比例函数的解析式和直线AB的表达式；

（3）设直线AB与y轴交于点F，点P在射线FD上，在

（2）的条件下，如果△AEO与△EFP相似，求点P的坐标．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“11杨浦24”，拖动点A在x轴上运动，可以体验到，直线AB保持斜率不变，n始终等于m的2倍，双击按钮“面积BDE＝2”，可以看到，点E正好在BD的垂直平分线上，FD//x轴．拖动点P在射线FD上运动，可以体验到，△AEO与△EFP相似存在两种情况．

思路点拨

1．探求m与n的数量关系，用m表示点B、D、E的坐标，是解题的突破口．

2．第

（2）题留给第（3）题的隐含条件是FD//x轴．

3．如果△AEO与△EFP相似，因为夹角相等，根据对应边成比例，分两种情况．

满分解答

（1）如图1，因为点D（4，m）、E（2，n）在反比例函数的图象上，所以整理，得n＝2m．

（2）如图2，过点E作EH⊥BC，垂足为H．在Rt△BEH中，tan∠BEH＝tan∠A＝，EH＝2，所以BH＝1．因此D（4，m），E（2，2m），B（4，2m＋1）．

已知△BDE的面积为2，所以．解得m＝1．因此D（4，1），E（2，2），B（4，3）．

因为点D（4，1）在反比例函数的图象上，所以k＝4．因此反比例函数的解析式为．

设直线AB的解析式为y＝kx＋b，代入B（4，3）、E（2，2），得解得，．

因此直线AB的函数解析式为．

图2图3图4

（3）如图3，因为直线与y轴交于点F（0，1），点D的坐标为（4，1），所以FD//x轴，∠EFP＝∠EAO．因此△AEO与△EFP相似存在两种情况：

①如图3，当时，．解得FP＝1．此时点P的坐标为（1，1）．

②如图4，当时，．解得FP＝5．此时点P的坐标为（5，1）．

考点伸展

本题的题设部分有条件“Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图1所示”，如果没有这个条件限制，保持其他条件不变，那么还有如图5的情况：

第

（1）题的结论m与n的数量关系不变．第

（2）题反比例函数的解析式为，直线AB为．第（3）题FD不再与x轴平行，△AEO与△EFP也不可能相似．

图5

例52010年义乌市中考第24题

如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．

（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；

（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标；

（3）在图1中，设点D的坐标为（1，3），动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？

若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

图1图2

动感体验

请打开几何画板文件名“10义乌24”，拖动点I上下运动，观察图形和图象，可以体验到，x2－x1随S的增大而减小．双击按钮“第（3）题”，拖动点Q在DM上运动，可以体验到，如果∠GAF＝∠GQE，那么△GAF与△GQE相似．

思路点拨

1．第

（2）题用含S的代数式表示x2－x1，我们反其道而行之，用x1，x2表示S．再注意平移过程中梯形的高保持不变，即y2－y1＝3．通过代数变形就可以了．

2．第（3）题最大的障碍在于画示意图