高中数学专题练习函数零点问题.docx

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高中数学专题练习函数零点问题

高中数学专题练习-函数零点问题

[题型分析·高考展望]　函数零点问题是高考常考题型，一般以选择题、填空题的形式考查，难度为中档.其考查点有两个方面：

一是函数零点所在区间、零点个数;二是由函数零点的个数或取值范围求解参数的取值范围.

常考题型精析

题型一　零点个数与零点区间问题

例1　

（1）（·湖北）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2－3x，则函数g（x）＝f（x）－x＋3的零点的集合为（　　）

A.{1,3}B.{－3，－1,1,3}

C.{2－

，1,3}D.{－2－

，1,3}

（2）（2015·北京）设函数f（x）＝

①若a＝1，则f（x）的最小值为________;

②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是________.

点评　确定函数零点的常用方法：

（1）若方程易求解时，用解方程判定法;

（2）数形结合法，在研究函数零点、方程的根及图象交点的问题时，当从正面求解难以入手时，可以转化为某一易入手的等价问题求解，如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解.

变式训练1　（·东营模拟）[x]表示不超过x的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5.已知f（x）＝x－[x]（x∈R），g（x）＝log4（x－1），则函数h（x）＝f（x）－g（x）的零点个数是（　　）

A.1B.2

C.3D.4

题型二　由函数零点求参数范围问题

例2　（·天津）已知函数f（x）＝

若函数y＝f（x）－a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为________.

点评　利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法：

（1）利用零点存在性定理构建不等式求解.

（2）分离参数后转化为求函数的值域（最值）问题求解.

（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.

变式训练2　（·北京东城区模拟）函数f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x＋2）＝f（x）.当x∈[0,1]时，f（x）＝2x.若在区间[－2,3]上方程ax＋2a－f（x）＝0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是______.

高考题型精练

1.已知x1，x2是函数f（x）＝e-x－|lnx|的两个零点，则（　　）

A.

C.1

2.（·天津）已知函数f（x）＝

函数g（x）＝b－f（2－x），其中b∈R，若函数y＝f（x）－g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（　　）

A.

B.

C.

D.

3.（·福州模拟）已知函数f（x）＝

则函数f（x）的零点为（　　）

A.

，0B.－2,0

C.

D.0

4.函数f（x）＝2sinπx－x＋1的零点个数为（　　）

A.4B.5

C.6D.7

5.设函数f（x）＝4sin（2x＋1）－x，则在下列区间中函数f（x）不存在零点的是（　　）

A.[－4，－2]B.[－2,0]

C.[0,2]D.[2,4]

6.（·课标全国Ⅰ）已知函数f（x）＝ax3－3x2＋1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是（　　）

A.（2，＋∞）B.（－∞，－2）

C.（1，＋∞）D.（－∞，－1）

7.定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）＝

则关于x的函数F（x）＝f（x）－a（0

A.1－2aB.2a－1

C.1－2－aD.2－a－1

8.（·北京朝阳区模拟）已知函数f（x）＝

若函数g（x）＝f（x）－k有两个不同的零点，则实数k的取值范围是__________.

9.已知函数f（x）＝logax＋x－b（a>0，且a≠1），当2

10.方程2－x＋x2＝3的实数解的个数为________.

11.（·江苏）已知函数f（x）＝|lnx|，g（x）＝

则方程|f（x）＋g（x）|＝1实根的个数为________.

12.已知f（x）是以2为周期的偶函数，当x∈[0,1]时，f（x）＝x，且在[－1,3]内，关于x的方程f（x）＝kx＋k＋1（k∈R，k≠－1）有四个根，则k的取值范围是__________.

答案精析

函数零点问题

常考题型精析

例1　

（1）D　

（2）①－1　②

∪[2，＋∞）

解析　

（1）令x<0，则－x>0，

所以f（－x）＝（－x）2＋3x＝x2＋3x.

因为f（x）是定义在R上的奇函数，

所以f（－x）＝－f（x）.

所以当x<0时，f（x）＝－x2－3x.

所以当x≥0时，g（x）＝x2－4x＋3.令g（x）＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3.当x<0时，g（x）＝－x2－4x＋3.令g（x）＝0，即x2＋4x－3＝0，解得x＝－2＋

>0（舍去）或x＝－2－

.所以函数g（x）有三个零点，故其集合为{－2－

，1,3}.

（2）①当a＝1时，f（x）＝

当x<1时，f（x）＝2x－1∈（－1,1），

当x≥1时，f（x）＝4（x2－3x＋2）

＝4

≥－1，

∴f（x）min＝－1.

②由于f（x）恰有2个零点，分两种情况讨论：

当f（x）＝2x－a，x<1没有零点时，a≥2或a≤0.

当a≥2时，f（x）＝4（x－a）（x－2a），x≥1时，有2个零点;

当a≤0时，f（x）＝4（x－a）（x－2a），x≥1时无零点.

因此a≥2满足题意.

当f（x）＝2x－a，x<1有一个零点时，0

f（x）＝4（x－a）（x－2a），x≥1有一个零点，此时a<1,2a≥1，因此

≤a<1.

综上知实数a的取值范围是

.

变式训练1　B[函数h（x）＝f（x）－g（x）的零点个数可转化为函数f（x）与g（x）图象的交点个数，作出函数f（x）＝x－[x]＝

与函数g（x）＝log4（x－1）的大致图象如图，由图可知两函数图象的交点个数为2，即函数h（x）＝f（x）－g（x）的零点个数是2.]

例2　1

解析　画出函数f（x）的图象如图所示.

函数y＝f（x）－a|x|有4个零点，即函数y1＝a|x|的图象与函数f（x）的图象有4个交点（根据图象知需a>0）.

当a＝2时，函数f（x）的图象与函数y1＝a|x|的图象有3个交点.故a<2.

当y＝a|x|（x≤0）与y＝|x2＋5x＋4|相切时，在整个定义域内，f（x）的图象与y1＝a|x|的图象有5个交点，

此时，由

得x2＋（5－a）x＋4＝0.

由Δ＝0得（5－a）2－16＝0，解得a＝1，或a＝9（舍去），

则当1

故实数a的取值范围是1

变式训练2　

解析　由f（x＋2）＝f（x）得函数的周期是2.

由ax＋2a－f（x）＝0得f（x）＝ax＋2a，

设y＝f（x），y＝ax＋2a，作出函数y＝f（x），y＝ax＋2a的图象，如图，

要使方程ax＋2a－f（x）＝0恰有四个不相等的实数根，

则直线y＝ax＋2a＝a（x＋2）的斜率满足kAH

由题意可知，G（1,2），H（3,2），A（－2,0），

所以kAH＝

，kAG＝

，

所以

.

高考题型精练

1.A[在同一坐标系中画出函数y＝e－x与y＝|lnx|的图象，结合图象不难看出，它们的两个交点中，其中一个交点的横坐标属于区间（0,1），另一个交点的横坐标属于区间（1，＋∞），即在x1，x2中，其中一个属于区间（0,1），另一个属于区间（1，＋∞）.不妨设x1∈（0,1），x2∈（1，＋∞），则有e－x1＝|lnx1|＝－lnx1∈（e－1,1），e－x2＝|lnx2|＝lnx2∈（0，e－1），e－x2－e－x1＝

lnx2＋lnx1＝lnx1x2∈（－1,0），于是有e－1

2.D[方法一　当x>2时，g（x）＝x＋b－4，f（x）＝（x－2）2;

当0≤x≤2时，g（x）＝b－x，f（x）＝2－x;

当x<0时，g（x）＝b－x2，f（x）＝2＋x.

由于函数y＝f（x）－g（x）恰有4个零点，

所以方程f（x）－g（x）＝0恰有4个根.

当b＝0时，当x>2时，方程f（x）－g（x）＝0可化为x2－5x＋8＝0，无解;

当0≤x≤2时，方程f（x）－g（x）＝0可化为2－x－（－x）＝0，无解;

当x<0时，方程f（x）－g（x）＝0可化为x2＋x＋2＝0，无解.

所以b≠0，排除答案B.

当b＝2时，当x>2时，方程f（x）－g（x）＝0可化为（x－2）2＝x－2，得x＝2（舍去）或x＝3，有1解;

当0≤x≤2时，方程f（x）－g（x）＝0可化为2－x＝2－x，有无数个解;

当x<0时，方程f（x）－g（x）＝0可化为2－x2＝x＋2，得x＝0（舍去）或x＝－1，有1解.

所以b≠2，排除答案A.

当b＝1时，当x>2时，方程f（x）－g（x）＝0可化为x2－5x＋7＝0，无解;

当0≤x≤2时，方程f（x）－g（x）＝0可化为1－x＝2－x，无解;

当x<0时，方程f（x）－g（x）＝0可化为x2＋x＋1＝0，无解.

所以b≠1，排除答案C.因此答案选D.

方法二　记h（x）＝－f（2－x）在同一坐标系中作出f（x）与h（x）的图象如图，直线AB：

y＝x－4，当直线l∥AB且与f（x）的图象相切时，由

解得b′＝－

，－

－（－4）＝

，

所以曲线h（x）向上平移

个单位后，所得图象与f（x）的图象有两个公共点，平移2个单位后，两图象有无数个公共点，因此，当

＜b＜2时，f（x）与g（x）的图象有4个不同的交点，即y＝f（x）－g（x）恰有4个零点.选D.]

3.D[当x≤1时，由f（x）＝2x－1＝0，解得x＝0;当x>1时，由f（x）＝1＋log2x＝0，解得x＝

，又因为x>1，所以此时方程无解.综上，函数f（x）的零点只有0.]

4.B[∵2sinπx－x＋1＝0，∴2sinπx＝x－1，图象如图所示，由图象看出y＝2sinπx与y＝x－1有5个交点，

∴f（x）＝2sinπx－x＋1的零点个数为5.]

5.A[f（0）＝4sin1>0，f

（2）＝4sin5－2，由于π<5<2π，

所以sin5<0，故f

（2）<0，则函数在[0,2]上存在零点;

由于f（－1）＝4sin（－1）＋1<0，故函数在[－1,0]上存在零点，也在[－2,0]上存在零点;

令x＝

∈[2,4]，

则f（

）＝4sin

－

＝4－

＝

>0，

而f

（2）<0，所以函数在[2,4]上存在零点.选A.]

6.B[f′（x）＝3ax2－6x，

当a＝3时，f′（x）＝9x2－6x＝3x（3x－2），

则当x∈（－∞，0）时，f′（x）>0;x∈（0，

）时，f′（x）<0;x∈（

，＋∞）时，f′（x）>0，注意f（0）＝1，f（

）＝

>0，则f（x）的大致图象如图1所示.

图1

不符合题意，排除A、C.

当a＝－

时，f′（x）＝－4x2－6x＝－2x（2x＋3），则当x∈（－∞，－

）时，f′（x）<0，当x∈（－

，0）时，f′（x）>0，当x∈（0，＋∞）时，f′（x）<0，注意f（0）＝1，f（－

）＝－

，则f（x）的大致图象如图2所示.

图2

不符合题意，排除D.]

7.A[当0≤x<1时，f（x）≤0.

由F（x）＝f（x）－a＝0，画出函数y＝f（x）与y＝a的图象如图.

函数F（x）＝f（x）－a有5个零点.

当－1

所以f（－x）＝log0.5（－x＋1）＝－log2（1－x），

即f（x）＝log2（1－x），－1

由f（x）＝log2（1－x）＝a，

解得x＝1－2a，

因为函数f（x）为奇函数，

所以函数F（x）＝f（x）－a（0

8.

解析　画出函数f（x）的图象如图.要使函数g（x）＝f（x）－k有两个不同零点，只需y＝f（x）与y＝k的图象有两个不同交点，则图易知k∈

.

9.2

解析　由于2

故f

（1）＝loga1＋1－b＝1－b<0，

而0

故f

（2）＝loga2＋2－b<0，

又loga3∈（1,2），3－b∈（－1,0），

故f（3）＝loga3＋3－b>0，

因此函数必在区间（2,3）内存在零点，故n＝2.

10.2

解析　方程变形为3－x2＝2－x＝（

）x，

令y1＝3－x2，y2＝（

）x.

如图所示，由图象可知有2个交点.

11.4

解析　令h（x）＝f（x）＋g（x），

则h（x）＝

当1＜x＜2时，h′（x）＝－2x＋

＝

＜0，故当1＜x＜2时h（x）单调递减，在同一坐标系中画出y＝|h（x）|和y＝1的图象如图所示.

由图象可知|f（x）＋g（x）|＝1的实根个数为4.

12.

解析　由题意作出f（x）在[－1,3]上的图象如图，记y＝k（x＋1）＋1，

∴函数y＝k（x＋1）＋1的图象过定点A（－1,1）.记B（2,0），由图象知，方程有四个根，

即函数y＝f（x）与y＝kx＋k＋1的图象有四个交点，

故kAB

＝－

，∴－