直线与圆韦达定理.docx

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直线与圆韦达定理

1•圆c・〃+（yZ一匸直线〃?

・x+3y丄A-讥过A（_im的动直线/与直线m相交于N,与圆C相交于P,Q两点，"是Pf＞中点.（I）/与用垂直时，求证:

/过圆心C；（ll）当IPQ-％时,求直线/的方程;（III）设/-4M-，试问f是否为定值

2・以原点为圆心的圆与直线x-辰相切.（|）求圆（？

的方程；（II）若直线

y=^丄乂与圆0交于上，£两点，在圆（？

上是否存在一点©,使得OQ=QA.若存在,求岀此时直线/的斜率；若不存在，说明理由.

3•圆C:

x2+（y2一=直线（：

血一）—1_”=“⑴求证：

对mcD，直线/与圆C总有两个不同的交点A、B；

（2）求弦AB的中点M的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线；（3）若定点P（1,1）满足两二2于，求直线/的方程。

4•圆C经过点A（-2,0）,B（0,2）,且圆心C在直线y=x上，又直线I:

y=kx+l与圆C相交于P、Q两点•

（1）求圆C的方程；

（2）若oPPQ-°,求实数k的值；

（3）过点（0,小作动直线炉交圆C于尸两点•试问：

在以EP为直径的所有圆中,是否存在这样的圆/\使得圆厂经过点

5.如图，圆C:

V-（\+a）x:

72小….（I）若圆C与，轴相切，求圆C的方程；（11）已知圆C与工轴相交于两点（点M在点N的左侧）•过点M

任作一条直线与圆O:

疋+；・2一〃相交于两点人只.问：

是否存在实数使得

6.（14分）已知方程Y2+y2-2x人:

一匕

（1）若此方程表示圆，求〃，的取值范围；

（2）若

（1）中的圆与直线x+—4相交于M,N两点，且OM丄ON（0为坐

标原点）求〃7的值；

（3）在

（2）的条件下，求以MN为直径的圆的方程.

7•圆C:

x2+y22-八小一匕直线/：

）,=“，直线/与圆C交于A、介两点,

3b已八°点M的坐标为（0,M,且满足加丄•⑴当bhi时，求R的值；⑵当'一时，求&的取值范围.

8•圆C：

（x-3）7e直线厶：

歹一"与圆C交于P、Q两个不同的点，M

为P、Q的中点•（I）已知若ApZe-n.求实数k的值；（II）求点M的轨迹方程；（III）若直线/.与（2：

兀+；丄|一"的交点为N,求证：

为定值・

9•圆0：

〒+；2-c,直线/：

＞,于“一\（!

）直线丨与圆（？

交于不同的两点

当乙40口一力时，求k；

（2）若k」.卩是直线丨上的动点，过卩作圆O的两条切/士

线P厂、PP,切点为C\Dt探究：

直线CP是否过定点；（3）若GF为圆O:

工+；・2-。

的两条相互垂直的弦，垂足为M（l/\求EGFu的面积的最大值.

10•已知圆（7:

/+尸一2力！

八/一八，直线/与圆C相交于Z,E两点.

（I）若直线/过点必（八叭且\AB\~^求直线/的方程；

（II）若直线/的斜率为1,且以弦AP为直径的圆经过原点，求直线/的方程.

11■已知圆M过坐标原点O且圆心在曲线'上.（I）若圆M分别与厂轴、y轴交于点上、E（不同于原点O）,求证：

的面积为定值；（II）设直线l：

y=^与圆M交于不同的两点C,D,且求圆m的方程；（111）

设直线y=入与（II）中所求圆M交于点E、F、厂为直线XhV上的动点，直线尸：

PF与圆M的另一个交点分别为G,求证：

直线GF过定点.

12•圆C的圆心在坐标原点，与直线h.x-y2氏7相切.

（1）求直线4：

41二」＜—八被圆C所截得的弦AB的长；

（2）过点G（1,3）作两条与圆C相切的直线，切点分别为M.N,求直线MN的方程；（3）若与直线/.垂直的直线/不过点R

（1,-1）,且与圆C交于不同的两点P,Q若乙PRQ为钝角，求直线/的纵截距的范围.

13・（本小题满分12分）已知圆：

・2—。

，点A（，n、，直线l:

x-?

y~^.

（1）求与圆C相切，且与直线/垂直的直线方程；

（2）在直线0少上（＜?

为坐标原点），存在定点"（不同于点於），满足：

对于圆C上任

14・如图，圆O：

F：

恳一/!

与坐标轴交于点.

（1）求与直线AT垂直的圆的切线方程；

（2股点M是圆上任育一点（不在坐标轴上），直线C2"交T轴于点直线交直线AT于点

①若D点坐标为（2芒0、求弦CM的长；②求证：

为定值

参考答案

（1）详见解析（II）x=!

或4兀一3,"一"（III）/是定值・5

【解析】

试题分析：

（1）当/与川垂直时斜率相乘为-1,从而得到/斜率及方程（II）直线与圆相交时常用弦长的一半，圆心到直线的距离，圆的半径构成的直角三角形求解（III）先将直线/设岀,一/2+彊3,+K

与圆联立求出M点坐标M（——,-',将直线/与直线用联立求得

1+L1•八

_3£_6-、k———

\代入r-中化简得常数，求解时需注意直线方程分斜率存

1+3k丄・"

在不存在两种情况试题解析:

（I）由已知―--'，故匕=\所以直线/的方程为y=3（^'?

■

将圆心c（03代入方程易知/过圆心C4分

（II）当直线/与■轴垂直时，易知尤=|符合题意；

当直线与A-轴不垂直时，设直线/的方程为y=靛'■丄I〉，由于|P0|—。

人，所以由|GW|=+-1,解得k「4.

故直线/的方程为兀=!

或4尤-3;1-"-8分

（III）当/与，轴垂直时易得M（-1%又4（一1m则而T

丽―介一入,故而•亦5.即/=v

■

当/的斜率存在时，设直线/的方程为V=紅、•亠I'，代入圆的方程得

n+kz）x2+（2k26/:

）'-•b~"‘Jy则心=“-*+3\

y防心「一3疋*即愀花彊亦+：

、…

.r\+k1.a

而（譽严+匕T（W）,得“半6亠、，

1+k^1十1x+3y十jvl+3k丄・・*

则AN=（-~5_%'•

l+3/c,・”

»4axT\r-15k-5-5k（3k^+k）—5（l+3k）（l+L丿

故t_AM■AN=+__

（1+R~）（1+3k）（l+k~）（i十"丿v八.・八♦

综上,f的值为定值•且＜12分

另解一:

连结C7,延长交用于点"，由（I）知/1尺丄•：

又CM」'于"，故△AA,Ds△AAT.于是有IAM|•|A/V|=卩C•IA肚由|AC|=vTol4Pl=JL得|AM|・|A/vl=5

V-|g

故心丽・手\AM・丽1一一久

另解二连结C?

并延长交直线用于点，连结CM小由（I）知AC」•”又CM?

所以四点M、C"K都在以CN为直径的圆上，由相交弦定理得

r=AM-AN=-\AM\-\.A^\-、

考点：

1.直线方程；2•直线与'圆相交的位置关系；3•向量的坐标运算

（1）x2+/-\（||）存在点0,使得西=刃'万匕

【解析】

试题分析：

（I）设圆0的半径为因为直线x->/3y“-介与圆0相切，所以IO-^xO-41小

r=—+3"'

即可求出圆（？

的方程为x2+y2-\（II）方法一：

因为直线/:

y=•"小与圆（？

相交于

Z,E两点，所以<2,所以k>^5或少，假设存在点Q,yj\+k_-

使得00=0/，八=因为於，E在圆上，且00=0八同时IO4H^D!

由向量加法的平行四边形法则可知，四边形OA^为菱形，所以O•与AP互相垂直且平分，所以原点0到直线/:

y=h^<的距离为d=^^n\-y分

即=1,解得"・？

，k=±2经验证满足条件，所以存在点Q,使

小+八

得00=亦1刁n;

方法二：

假设存在点£\使得OQ=O7'.记0•与AP交于点C（兀,、，',因为上，

在圆上，且O©=刃E由向量加法的平行四边形法则可知四边形OA（JR为菱形，

1尸恋+・

因为直线/斜率为显然W所以O•直线方程为y=-，，解得KV=-

（£'2丄（丁匸一“解得疋・°,即^=12经验证满足条件，所以存在点Q,

X+IL+1

使得=R・万D.

试题解析：

解：

（丨）设圆O的半径为匚因为直线x-y/3y“-介与圆O相切，

”10-73x0-41小八

所以r=一-r3分

x/1+3

所以圆o的方程为x2+/-^5分

（II）方法一：

因为直线/：

y=L丄4与圆O相交于上，Z?

两点，

所以心'或“"57分

假设存在点0,使得OQ=O78分

因为上，E在圆上，ROQ=O7'^D.同时\OA\^'由向量加法的平行四边形法则可知

四边形OAQR为菱形，所以Of）与AP互相垂直且平分9分

所以原点。

到直线d…的距离为心Ei】。

分

即=丨，解得心"、«=±2巳，经验证满足条件12分

01+八

所以存在点£\使得西=R，丽£分

方法二：

假设存在点0使得='万°.记O•与AP交于点C（札、，'

因为4,E在圆上，且OQ=O7'^D.由向量加法的平行四边形法则可知四边形OA0R为菱形，

因为直线/斜率为显然V所以O•直线方程为y=-!

-7分

y=kx+^

y=-

X°=FTT—6k6

解得1,所以点0坐标为M（—’'9分

k^+\Kr•

因为点0在圆上，所以（学“'2丄（』（'2一"，解得宀?

口分

4-+14-+1

即k=12经验证满足条件12分

所以存在点Q,使得O©=R・Kd13分.

考点：

1.圆的方程；2•直线与圆的位置关系.

（1）证明见解析；

（2）r+r-^八门―匕为圆的轨迹方程；⑶“或x+y-°-n；

【解析】

试题分析：

（1）由题可知，判断直线与圆的位置关系，我们常采取两种方法，圆心到直线的距离与半径的比较，若距离大于半径，则位置关系是相离，若距离等于半径，则位置关系是相切，若距离小于半径，则位置关系是相交；或是判断直线所经过的定点和圆的关系，点在圆内，则位置关系是相交，点在圆上，则位置关系是相切，点在圆外，则位置关系是相离；

（2）关于求轨迹方程的问题，求哪个点的轨迹就设哪个点的坐标，通过题中的条件将x,y的关系式求出，即得轨迹方程；（3）过一点的直线用点斜式设出，再和圆的方程联立，由韦达定理以及西二尸，得出直线方程为x—7=仃或x+y—O=仃；

试题解析：

（门解法一：

圆C：

/+G2-、的圆心为C（O1\半径为養。

•••圆心C到直线=的距离d='~ml<凹丄=丄小,•••直线/与圆ylnr+1I・

C相交，即直线/与圆C总有两个不同交点；

即直线/与圆C总有两个不同交点；（4分）

（II）当M与P不重合时，连结CM、CP,则CM丄z又因为iCMF+!

"2」厂"，

设yvf（x,y）（v=£]?

则+（y-l）2+（x1z'*n2-?

化简得：

+2y■

当M与P重合时，x=!

：

，—）也满足上式。

故弦AB中点的轨迹方程是xz+-x[、」-・。

（8分）

（III）设期心、，.、，B（x2.y_\由PA*

•••l—x严;“_i\,化简的吃=3—"①

厶

严I•一y+]_也=丄

又由'+（$_»门消去y得（1+加2）十_2崔2丫_（*）

2nr金.

••・册+兀2一②（10分）

1,”

由①②解得召£",带入（*）式解得心二

•••直线/的方程为尤一；一"或x+y—。

"。

（12分）

考点：

直线与圆的位置关系中点轨迹方程直线方程的应用

（1）x2+y2~A；

（2）£"；

⑶在以酊为直径的所有圆中，存在圆卩：

*+5于_!

幺Q；.•i->-9或F+；,2—j使得圆P经过点M（?

小.

【解析】

试题分析：

（1）根据题意设出圆心C（“c'和半径r,列出。

和厂的方程，求得圆的方程；

（2）根据O戶疋一°,

求得ZPOQ—22,所以圆心到直线川的距离为1,求得R的值；（3）若圆卩经过点

则必有麻•科？

即不召一2（齐+戈」亠°亠、,、〔=♦①，当直线川的斜率不存在时，显然满足题意得圆，当直线m的斜率存在时，设其斜率为k,直线川的方程为：

y="i,代入圆十+；,2一的方程由韦达定理，得到州+兀…的值，联立①解得R的值.存在所求的圆，进而得到所求的圆的方程.

试题解析：

（1）设圆心C（a,a）,半径为r.因为圆C经过点A（-2,0）,B（0,2）,所以|AC|=|BC|=r,易得a=0,r=2,所以圆C的方程是x~+y~~A3分

⑵因为O?

OC=2x2xcos{OT,O。

〉=-2,且页与OF的夹角为乙POQ,

所以cos乙POQ二一丿，ZPOQ=120°,所以圆心C到直线I:

kx-y+l=0的距离d=l,

又d二一，所以k".

（联立直线与圆的方程求解酌情给分）

（3）（i）当直线炉的斜率不存在时，直线川经过圆C的圆心C,此时直线用与圆C的交

点为E（0J',F（0,—九，酊即为圆C的直径，而点在圆C上，即圆C也是满足

题意的圆8分

消去y整理，得（1+疋）疋+8"丄2-八，由厶=64/-4岂1丄得k>或k<5.

八.一仆

设虫、‘，则有<

由①得VJS=+4）（8+4）=k1:

”+儿=也］+4+也2片”_Ry丄y、丄父—,③

若存在以酊为直径的圆"经过点M（?

m,则ME丄f所以讴•讦0,

因此（召一2）（*2—。

）亠""=!

|,即斗兀2_2（齐+兀）亠4亠、小=匕10分

I）16£16—4^"

则—+:

八-n,所以k=I满足题意・12分

・—1+L丄…

此时以EF为直径的圆的方程为尤-+）"-（再+x2）1-（}；丄-、，」、」、•、•丄、：

一匕

即”+尸一!

6严8一12_~亦即w+5y2一！

&丫Q.,.1O-H23分

53」

综上，在以EF为直径的所有圆中，存在圆":

5x2+5/-16-或

AJ+r-4,使得圆〃经过点M（?

m.14分

考点：

1圆的方程；2•直线方程；3•韦达定理.

5•⑴-2x+y2：

•11-9；

（2）A.

【解析】

试题分析：

（1）联立直线与圆的方程，利用判别式为0得出a值，即得圆的方程；

（2）先求出联立直线与圆的方程，利用根与系数的关系进行求解.

解题思路：

直线圆的位置关系，主要涉及直线与圆相切、相交、相离，在解决直线圆的位置关系时，要注意结合初中平面几何中的直线与圆的知识.・

y=0

试题解析：

（I）因为f•

丫_（l+&）x+y-■・"，二厂

得十一（1+幺"丄〃一\

由题意得厶=（1+“）2_必_“_八2_匕所以°厂1

故所求圆C的方程为X2-2x+y2--丄'一“・

（II）令y_°,得以2_（1+①v丄〃一门，

即（兀一1）（=-〃'="

所以M（1,O）,“①

假设存在实数0.

当直线AB与*轴不垂直时，设直线AB的方程为y=规'•-叭

代入X，+y2_力得，（l+k2）x2-A_八，

设A（“J,巴二二,从而x,+x2=—--一

1+k（亠"

因为亠+亠_如一叽一仆g-DU.--

・_ax2-a而«x,-l）（x2_a）+（x2_l）（Xj-r/）-0va二_（八丄i"丫丄二、丄y

_2疋-4八小2P・_

1+k1r・■

_2"-8

1+A

因为所以」一+—^―—",即—8-n得dh/i・

v.-ax2-1+k~

当直线AB与，轴垂直时，也成立•

故存在使得ZANMl/小勺.

考点：

1.圆的方程；2•直线与圆的位置关系.

（1）m<<；⑵m-8；⑶（x--）2-!

O矢$_:

【解析】

试题分析：

⑴由圆的一般方程知当D2+E2时十+b+D—2尸―八表示圆

的方程；

（2）联立直线与圆的方程，消元后的到关于〉，的一元二次方程，因为OM丄八"所以冋吃+；'「.一化可求出川的值；（3）利用根与系数关系求出中点坐标即为圆心,再利用垂径定理求出弦长的一半即为半径，能写出圆的方程.

试题解析：

（1）x~+y2-2xA：

"=—2,ElA17—；?

O-+E2-4F=r2n

人+2y-4=0y，+y1_2x_r

5y—16y!

Io8+m

儿+儿一.才力一

・、v

・•・0M丄c"

得出：

+m-儿

•••”/2一8（力亠儿'丄*一（

m一

（3）设圆心为（亿爪

叶坷+心_4人_”+儿_°25一厂

.4丿5、

半径，•=13分

圆的方程（兀一纟）2+（；-8'2-2

5』・

考点：

1•圆的方程；2.直线与圆的位置关系.

（1）1；（II）（1,6—何）U匕丄•陌•

【解析】

试题分析：

（1）当b二1时，点M（0,b）在圆C上，当且仅当直线丨经过圆心C时，满足MP丄MQ.把圆心坐标（1,1）代入直线/：

y~^.可得k的值.

（II）把直线/的方程代入圆的方程转化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系以及MPA?

2-n,求得~K（1+k11•令/（b）—人则/（和

1+L"'，r

在区间I1?

1上单调递增，求得/（Re仃"丨，可得2v敗1：

*）」〉，解此不等式求\“\.•1+r尸

得k的取值范围（注意检验△>（））.

试题解析：

（1）圆C：

（十1）2"2、2“，当b二1时，点M（0,b）在圆C±.

当且仅当直线丨经过圆心C时，满足MP丄MQ・

・••圆心C的坐标为（1,1）.・・・k二1・

.1=上丫

（II）由f\\•消去y得：

<1+V）x2-2（1:

.^①

vMP丄MQ,・•・MP^2n

/.kx,,y}即召比小1儿■小="

・•・1总厂I\kx》・Z?

）丄…=<>f即11+/）砂2V丄丫'丄-f1

八12（\+k）,_K（l+k）庆+1.

・・・（1+Zr）-!

±l丿即—丁-1--

丿1+T\+k^+k2b'

3）

令f,则/（从在区测1，—I上单调递増・

・••当14时，f（b）』°—I

I•丿l八

201+町川

1+R-广

严>1

解得彳「

">6+-^23,

••

宀2、7、解得k>°

/no

乙《（1+£）>2（1+£・丿即｛…^

2k（l+k）气、，

.•.IvRvf乞或k>6:

由①式得△=[2（l+/c）¥"c

.\6:

•••k的取值范围是11,6-岳）U®丄•贡-UnnI考点：

直线和圆相交的性质；一元二次方程根与系数的关系；函数的单调性•8・

（1）k"；

（2）xz-3x-!

y2■•一3（%>0,：

，、①；

（3）定值为3；了

【解析】

试题分析：

（1）由向量的数量积为0,知两向量是垂直的，即APL^2,因为点A在圆C

上故直线/.过圆心C（3J',将点的坐标代入到直线方程中，得到；

（2）对于求轨迹方程的问题，一般来讲，求哪个点，就设设出哪个点的坐标，利用题壹列出关系式，本题中，设M（f、八，则OM丄厂人父将坐标代入化简可得出M的轨迹方程x2-3x4y2“一。

；（3）联立方程，通过韦达定理，得出M,N的坐标，从而求出

|OM|=JTR'V伙+二|ON|=f“，两者相乘，进行化简，得出定值是3.

因为点A在圆C上故直线/•过圆心C（3Y'，得k"3分

（II）设M3、，',则OM丄厂M,即两•丟？

<坐标代入得：

化简得：

a/_3牙（牙>0,;、介）8分

（III）设心切）,。

（兀氏'"将>'="代入（—3）2讥:

，"j并整理得:

w+1）/_6伙+!

茫丄O一介则几V为方程⑴的两根

考点：

向量的数量积圆的性质韦达定理

（1）k=±5;

（2）见解析；（3）.

【解析】

试题分析：

（1）易得点0到I的距离d=7二利用点到直线的距离公式即可求出k；

（2）

利用O、P、C、D四点共圆求得其圆的方程x2-tx+y2八小、・_\发现直线CD是

圆x2+y2-^与圆x2-tx+y2c的公共弦所在的直线方程，两式作差即可；

（3）设圆心0到直线EF、GH的距离分别为〃显..则山彳+石一小*—］所以

IEF1=2J/，才_k,iGH|=2y~'二2占-用再用均值不等式即可求出最大值.

试题解析：

⑴•••ZAOB=^,•••点0到I的距离d=迈“2

分

一二卫•疋hk=L^4分

尼一2

（2）由题意可知：

0、P、C、D四点共圆且在以0P为直径的圆上，设P（f,

其方程为：

x（x-/）+〉O丄

乙

即x2-tx+y2,一。

\“一。

厶

又C、D在圆0：

x2+y2-°上

・・・G：

/x+（y-m-

.9-0

x=—

即（x+_）y_“_m

7分

“二0

由《

°得＜

2y+2•八

y=-1

•••直线CD过定点（£,-八9分

（3）设圆心0到直线EF、GH的距离分别为

则哥+42—"ML：

I】分

.\EF\=2^/r?

2穴川\GH\=2ylr:

;-n厂"

...S=£IEFIIGH1=丄2_力_：

当且仅当2-盃a即4=比_，'时取“二”

・•・四边形EGFH的面积的最大值为？

.14分

考点：

圆的综合应用

［答案］（I））'="或i2x-5y-4父=仃（II）y=?

•丄|或y=

【解析】

试题分析：

（I）解决直线与圆位置关系的综合问题时，要充分考虑平面几何知识的运用，不要单纯地依乘代数运算，这样简单又不易出错•由题意知/的斜率必然存在，可设岀直线的方程y=k（v-々，-其中r为圆的半径，d为弦心距，I为弦长即可解决；（II）采用设而不求，利用直线与圆的方程联立的关于x的二次方程，由得召召+儿・、〔=",即似內+〃（咼丄二'丄川一匕再利用韦达定理即可.

试题解析：

（丨）由题设知直线/的斜率存在，设其方程为y=&（丫一

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