关于一线三垂直模型与 其在平面几何中的应用.docx
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关于一线三垂直模型与其在平面几何中的应用
关于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用
“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况,(关于“一线三等角”模型详见比
例与相似高级教程(六):
相似三角形的“一线三等角”模型),即三个等角角度为90o,
于是有三组边相互垂直,所以称为“一线三垂直”模型。
“一线三垂直”的性质:
1,模型中必定存在至少两个三角形相似,三对等角,三对成比例的边长;
2,当模型中有一组对应边长相等时,则模型中必定存在全等三角形。
“一线三垂直”模型在平面几何中有着及其重要的地位,常出现的图例有以下几种:
其中,在“变形2”模型下,根据相似原理,推理出了著名的
有一对对应边相等的情况。
“射影定理”这里主要讨论
【例
1】如图,在等腰直角三角形
ABC中,∠ACB=Rt∠,AC=BC
,AE⊥CE
于点
E,
BD⊥CE于点D,AE=5cm,BD=2cm,则DE的长为多少?
【提示】根据“一线三垂直”模型的性质,△ACE≌△CBD,于是CD=AE=5cm,CE=BD=2cm,DE=5-2=3(cm)
【例2】如图,在△ABC中,CA=CB,点D为BC中点,CE⊥AD于点E,交AB于
点F,连接DF。
求证:
AD=CF+DF.
【解析】此题乍一看起来和【例从要证明的结论来看,需要把
1】相同,却不能照搬照抄。
AD这条线段“转化”到直线
CF
上。
如图,过点
B作
BG⊥CB,交CF的延长线于点
G。
则易证△ACD≌△CBG,于是AD=CG=CF+FG;
BG=CD=BD,BF=BF,∠DBF=∠GBF=45o,
故△BDF≌△BGF,于是FD=FG,所以AD=CF+DF。
关于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用
(二)
“一线三垂直”的性质:
1,模型中必定存在至少两个三角形相似,三对等角,三对成比例的边长;
2,当模型中有一组对应边长相等时,则模型中必定存在全等三角形。
【例3】如图,在△
垂线,垂足分别为
(1)如图1,过点
(2)如图2,过点
ABC中,AB=AC
E,F。
A的直线与斜边
A的直线与斜边
,∠BAC=90o,分别过B,C向过A点的直线作
BC不相交时,求证:
EF=EB+CF;
BC相交时,其他条件不变,若BE=10,CF=3.求
EF
的长。
【提示】(
(2)图2
1)图1是“一线三垂直是“一线三垂直”的变形
”的基础模型,△ABE4,和【例1】相同。
≌CAF;
【例4】如图,已知△AEB
AC、BD,交于点O,连接
中,∠EO。
若
AEB=90o,以AB为边向外作正方形
BE=2,EO=3√2,求五边形AEBCD
ABCD,连接
的面积。
【解析】因为∠ABC=∠AEB=90o,故构造“一线三垂直”模型,如图。
过点C作CP⊥EB,交EB延长线于点P,连接OP。
则根据“一线三垂直”模型的性质,△AEB≌△BPC,
∴BP=AE;
∵∠AOB=∠AEB=90o,
∴A、E、B、O四点共圆(详见“四点共圆”在解题中的妙用
(一)
∴∠BEO=∠BAO=45o;
同理∠BPO=∠BCO=45o,故△EOP为等腰直角三角形;
∵EO=3√2,∴EP=6,BP=4,
根据勾股定理,AB2=16+4=20,即S正方形ABCD=20,
S△AEB=4×2÷2=4,∴S五边形AEBCD=20+4=24.
),
关于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用(三)
【例5】已知△ABC中,∠ACB=90o,AC=BC,CD为AB边上的中线,点E为BC
边上任意一点(不与A、D、B重合),BF⊥CE于点F,交CD于点G,AH⊥CE,
交CE延长线于点H,交CD延长线于点M。
求证:
(1)CG=AE;
(2)DE=DM。
【提示】
(1)根据“一线三垂直”模型,△ACH≌△CBF,∴∠ACE=∠CBG,又∠CAE=∠BCG=45o,AC=BC,∴△ACE≌△BCG;
(2)由“一线三垂直”模型可知,∠ACE=∠CBG,BF=CH,
∴∠HCM=∠FBE,又∠BFE=∠CHM=90o,
∴△CHM≌△BFE,BE=CM,从而DE=DM。
同时我们也应该注意到:
△ACM≌△CBE;
△ADM≌△CDE≌△BDG;△AHE≌△CFG;
DM=DG=DE;△GEM为等腰直角三角形等。
构造“一线三垂直”模型,是作辅助线常用的一种手段。
【例6】如图,直线l1∥l2∥l3,且l1到l2的距离为3,l2到l3的距离为4,等腰直
角△ABC的直角顶点C在l2上,点A、B分别在l1、l3上。
求△ABC的面积。
【提示】过点C作l2的垂线,分别交l1和l3于点D、E,构造“一线三垂直”模型,
则CD=3,AD=CE=4,AC=5.
关于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用(四)
【例7】(2018初二希望杯练习题)如图,四边形ABCD为直角梯形,AD∥BC,
∠BCD=90o,AB=BC+AD,∠DAC=45o,E为CD上一点,且∠BAE=45o,若CD=4,
求△ABE的面积。
【解析】如图,过点E作EG⊥AE,交AB延长线于点
DC延长线于点H,构造“一线三垂直”模型;过点G作
BF⊥AD于点F。
G,过点GK⊥BC
G作于点
GH⊥DC,交K,过点B作
则△ADE≌△EHG,DE=GH
;AD=EH=CD
,
∴DE=CH,故四边形
CKGH
为正方形。
AF=4-BC,AB=4+BC
,BF=4
,
∴(4+BC)2=(4-BC)2+42,
解得:
BC=1,所以AB=5;
设DE=x,则BK=1-x,GK=x,AE2=x2+42
∵△AEG为等腰直角三角形,∴AG2=2AE2,
(5+BG)2=2(x2+42),将BG代入,化简得:
(7x-4)2=0,x=4/7,
∴△ABE面积=梯形ABCD面积
=(1+4)×4÷2-4×4/7÷2-1×(4-4/7)
-△ADE面积
2=50/7÷。
-△BCE
面积
在直角坐标系中构造“一线三垂直【例8】如图,在直角坐标系中,点直角三角形,求点C的坐标。
”模型,是解决坐标问题的一种有效手段。
A(1,2),点B(0,-1),已知△
ABC
为等腰
【解析】设C(m,p)。
(1)当∠BAC为直角时:
①当点C在AB右侧时,如图1。
过点A作DE∥x轴,交y轴于点D,过点C作CE⊥DE于点E。
根据“一线三垂直”模型,△ABD≌△ACE,
∴DB=AE,CE=DA,即:
m-1=3,2-p=1,
解得:
m=4,p=1,∴C(4,1);
②当点C在AB左侧时,如图2。
过点A作DE∥x于点E。
根据“一线三垂直”模型,△ABD≌△ACE-2=1,解得:
m=-2,p=3,∴C(-2,3);
轴,交y轴于点D,过点C作CE⊥DE,∴DB=AE,CE=DA,即:
1-m=3,p
(或者用下列方法:
此时,点C和①中的C关于点A对称,故m=2×1-4=-2,p=2×2
-1=3.)
(2)当∠ABC为直角时:
①当点C在AB右侧时,如图3。
过点A作AE∥x轴,交y轴于点E,过点C作CD⊥y轴于点D。
根据“一线三垂直”模型,△ABE≌△BCD,∴DB=AE,BE=CD,即:
-1-p=1,m=3,解得:
m=3,p=-2,∴C(3,-2);
②当点C在AB左侧时,如图4。
过点B作DE∥x轴,过点C作CD⊥DE于点D,过点A作AE⊥DE于点E。
根据“一线三垂直”模型,△ABE≌△BCD,
∴BE=CD,BD=AE,即:
0-m=3,p-(-1)=1,解得:
m=-3,p=0,∴C(-3,0);
(或者用下列方法:
此时,点C和①中的C关于点B对称,故m=2×0-3=-3,p=-1×2
-(-2)=0.)
(3)当∠ACB为直角时:
①当点C在AB右侧时,如图5。
过点C作CD∥x轴,过点
CD交y轴于点E。
A作
AD
⊥CD
于点
D,
根据“一线三垂直”模型,△ACD≌△CBE,
∴BE=CD,CE=DA,即:
m=2-p,p-(-1)=m-1,
解得:
m=2,p=0,即CD与x轴重合,点E与O重合,
∴C(2,0);
②当点C在AB左侧时,如图6。
过点C作CD∥x轴,过点A作AD⊥CD于点D,
CD交y轴于点E。
根据“一线三垂直”模型,△ACD≌△CBE,
∴BE=CD,CE=DA,即:
1-m=p-(-1),2-p=0-m,解得:
m=-1,p=1,∴C(-1,1)。
(或者用下列方法:
此时,点C和①中的C关于AB的中点对称,AB的中点坐标为(0.5,0.5),故m=2×0.5-2=-1,p=0.5×2-0=1.)
综上所述:
符合条件的点C的坐标有6个:
(4,1);(-2,3);(3,-2);
(-3,0);(2,0);(-1,1)。
关于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用(五)
前面讨论的是关于“一线三垂直模型”有两条边相等时的情况。
如果不存在两条边相等,那么“一线三垂直模型”的性质是必然存在一对或几对相似三角形,这个性质在
初中平面几何中的应用也是十分广泛,尤其在直角坐标系中的函数图像与平面几何的
综合应用题或压轴题经常得到应用,也是作辅助线的思想方法。
经常出现的图例跟前面介绍的一样(关于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用
(一)),只是直角的两条边不一定相等。
【例9】如图,在直角坐标系中,点A(1,3),点B(2,-1),坐标轴上是否存在
点C,使得∠ACB为直角?
若存在,请求出点C的坐标;若不存在,请说明理由。
【解析】
(1)当点C在y轴上时:
如图1,设C(0,c),分别过点A、B作x轴的平行线,交y轴于点D、E。
则根据“一线三垂直模型”,△ACD∽△CBE,
∴AD∶CE=CD∶BE,即:
1∶(c+1)=(3-c)∶2,
解得:
c1=1+√2,c2=1-√2,
故C(0,1+√2);或C(0,1-√2);
(2)当点C在x轴上时:
如图2,设C(c,0),分别过点A、B作y轴的平行线,交
则根据“一线三垂直模型”,△ACD∽△CBE,
x轴于点
D、E。
∴AD∶CE=CD∶BE,即:
3∶(2-c)=(1-c)∶2,或3∶(c-2)=(c-1)∶2,
综上所述,符合条件的点C的坐标有4个,分别为:
(0,1+√2);(0,1-√2);
【例10】如图,在直角坐标系中,点的图像上是否存在点C,使得∠
ACB
A(1,3),点B(2,-1),在一次函数y=x/2-1为直角?
若存在,请求出点C的坐标;若不存
在,请说明理由。
【解析】设∠ACB为直角时,点C(c,c/2-1),
如图
1,过点
C作
y轴的平行线
DE,分别过点
A、B
作
DE
的垂线,垂足分别为
D、
E。
由“一线三垂直模型”可知:
△ACD∽△CBE,
∴AD∶CE=CD∶BE,即:
(c-1)∶((c/2-1)+1)=(3-(c/2-1))
化简得:
5c2-20c+8=0,解得:
∶(c-2)
,