人教版八年级上册数学分式方程知识点复习总结大全.docx
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人教版八年级上册数学分式方程知识点复习总结大全
分式方程知识点复习总结大全
重点：
1理解分式的概念、有意义的条件，分式的值为零的条件。
2理解分式的基本性质.
3会用分式乘除的法则进行运算.
4熟练地进行分式乘除法的混合运算.
5熟练地进行分式乘方的运算.
6熟练地进行异分母的分式加减法的运算.
7熟练地进行分式的混合运算.
8掌握整数指数幂的运算性质.
9会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是
原方程的增根.
10利用分式方程组解决实际问题.
难点：
1能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件.
2灵活应用分式的基本性质将分式变形.
3灵活运用分式乘除的法则进行运算
4熟练地进行分式乘除法的混合运算.
5熟练地进行分式乘、除、乘方的混合运算.
6熟练地进行异分母的分式加减法的运算.
7熟练地进行分式的混合运算.
8会用科学计数法表示小于1的数.
9会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是
原方程的增根.
10会列分式方程表示实际问题中的等量关系.
16.1分式及其基本性质
1.分式的概念：
形如（A、B是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子，叫做分式。
其中 A叫做分式的分子,B叫做分式的分母。
分母，分式才有意义
整式和分式统称有理式,即有有理式=整式+分式.
分式值为0的条件：
分子等于0，分母不等于0（两者必须同时满足，缺一不可）
例1：
（2011重庆江津）下列式子是分式的是（）
A.B.C.D.
【答案】B.
注意：
不是分式
例2：
已知，当x为何值时，分式无意义?
当x为何值时，分式有意义?
例3：
（2011四川南充市）当分式的值为0时，x的值是（）
（A）0（B）1（C）－1（D）－2
【答案】B
2.分式的基本性质
（1）分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.
，，且均表示的是整式。
（2）分式的变号法则：
分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。
符号法则：
A，B或同时改变其中两个的符号，分式的值不变
例：
不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号。
（3）分式约分与通分：
与分数类似，根据分式的基本性，可以对分式进行约分和通分.
分式的约分：
即要求把分子与分母的公因式约去.，是一个恒等变形。
为此，首先要找出分子与分母的公因式.
找公因式的方法：
（1）分子分母是单项式时，先找分子分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式
（2）分子分母是多项式时，先把多项式因式分解，再按
（1）中的方法找公因式
例：
确定公因式并约分：
分式的通分：
把几个异分母分式分别化为与原分式相等的同分母分式的变形过程叫通分。
通分前后分式的值不变；找最简公分母是通分的关键
找最简公分母到方法（分母均为单项式）
1、各分母系数的最小公倍数。
2、各分母所含所有因式或字母的最高次幂。
3、所得的系数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）
找最简公分母到方法（分母均为多项式）
1、先把分母因式分解。
2、各分母系数的最小公倍数。
3、各分母所含所有因式的最高次幂。
4、所得的系数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）
例：
§16.2分式的运算
1分式的乘除法
分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.如果得到的不是最简分式，应该通过约分进行化简。
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
2.分式的加减法
同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；
异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减.
3.分式的乘方：
分式的乘方需要把分子、分母分别乘方。
，（n为正整数）
4.正整数指数幂、零指数幂与负整数指数幂
（1）同底数的幂的乘法：
（m,n是正整数）；
（2）幂的乘方：
（m,n是正整数）；
（3）积的乘方：
（n是正整数）；
（4）同底数的幂的除法：
（a≠0，m,n是正整数，m＞n）；
（5）商的乘方：
（n是正整数）；
（6）
由分式的约分可知，当,。
又
一般地，当n是正整数时，这就是说，是的倒数。
像上面这样引入负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体整数。
5.科学计数法
由于引进了零指数幂与负整指数幂，绝对值较小的数也可以用科学记数法来表示.
（1）小于1的正数可以用科学计数法表示为的形式，其中是整数数位只有一位的正数，n是正整数，n=原数中左起第一个非零数字前0的个数（含整数位上的0）。
这种形式更便于比较数的大小。
例：
（2）大于1的正数可以用科学计数法表示为的形式，其中是整数数位只有一位的正数，n是正整数，n=原数的正数位数减1。
例：
。
繁分式：
①定义：
分子或分母中又含有分式的分式，叫做繁分式．②化简方法（两种）通常把繁分式写成分子除以分母的形式，再利用分式的除法法则进行化简．
例：
1.（2010湖北孝感）化简的结果是（）
A.B.C.D.y
【答案】B
2.（2011广东湛江11,3分）化简的结果是
ABCD1
【答案】A
3.（2011福建福州，14，4分）化简的结果是.
【答案】
4.（2011安徽，15，8分）先化简，再求值：
，其中x=－2．
【答案】解:
原式=.
5.（2011湖南邵阳，18，8分）已知，求的值。
【答案】解：
∵，∴x-1=1.
故原式=2+1=3
6、（2011广西来宾，10，3分）计算的结果是（）
A.B.C.D.
【答案】A
7、2011内蒙古包头，17，3分）化简，其结果是.
【答案】
与分式有关的变形求值题
1.（2011江苏苏州，7,3分）已知，则的值是
A.B.－C.2D.－2
【答案】D
2.（2011江苏南通，10，3分）设m＞n＞0，m2＋n2＝4mn，则的值等于
A.2B.C.D.3
【答案】A
3.（2011四川乐山15，3分）若m为正实数，且，=
【答案】
§16.3分式方程
1分式方程概念：
方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程.
2解分式方程：
基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母。
一般的，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应做如下检验：
将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。
理解分式方程的有关概念
例1指出下列方程中，分式方程有（）
①=5②=5③x2-5x=0④+3=0
A．1个B．2个C．3个D．4个
【点评】根据分式方程的概念，看方程中分母是否含有未知数．
掌握分式方程的解法步骤
例2 解方程：
.
解 方程两边同乘以x（x-7），约去分母，得
100（x-7）=30x.
解这个整式方程，得
x=10.
检验：
把x=10代入x（x-7），得
10×（10-7）≠0
所以，x=10是原方程的解.
【点评】注意分式方程最后要验根。
（易错点）
例3．（2011安徽芜湖，5，4分）分式方程的解是（）.
A．B．C．D．
【答案】C
例4.（2011湖北荆州，6，3分）对于非零的两个实数、，规定，若，则的值为
A． B． C． D．
【答案】D
例5.（2011四川成都，13,4分）已知是分式方程的根，则实数=___________.
【答案】.
分式方程的增根问题
1.（2011黑龙江绥化，18，3分）分式方程有增根，则的值为（）
A、0和1B、1C、1和－2D、3
【答案】D
2.（2011湖北襄阳，16，3分）关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是.
【答案】m＞2且m≠3
分式方程的应用
例1（2006年长春市）某服装厂装备加工300套演出服，在加工60套后，采用了新技术，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用9天完成任务，求该厂原来每天加工多少套演出服．
【点评】要用到关系式：
工作效率＝。
例2.（2011山东济宁，21，8分）某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程.已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同.
（1）甲、乙工程队每天各能铺设多少米？
（2）如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量（以百米为单位）的方案有几种？
请你帮助设计出来.
【答案】
（1）设甲工程队每天能铺设米，则乙工程队每天能铺设（）米.
根据题意得：
.2分
解得.
检验:
是原分式方程的解.
答：
甲、乙工程队每天分别能铺设米和米.4分
（2）设分配给甲工程队米，则分配给乙工程队（）米.
由题意，得解得．6分
所以分配方案有3种．
方案一：
分配给甲工程队米，分配给乙工程队米；
方案二：
分配给甲工程队米，分配给乙工程队米；
方案三：
分配给甲工程队米，分配给乙工程队米．………………8分
小 结
一、知识结构
二、注意事项
1.分式的基本性质及分式的运算与分数的情形类似，因而在学习过程中，
要注意不断地与分数情形进行类比，以加深对新知识的理解.
2.解分式方程的思想是把含有未知数的分母去掉，从而将分式方程转化为
整式方程来解，这时可能会出现增根，必须进行检验.学习时，要理解增根产生的原因，认识到检验的必要性，并会进行检验.
3.由于引进了零指数幂与负整指数幂，绝对值较小的数也可以用科学记数法来表示.
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