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自动控制原理学习要点指导

专题一：

基础

基本概念

较全面地了解控制理论课程的全貌，为今后进行研究给出一些专业术语及定义。

1、要求

（1）明确自动控制，正确理解被控对象、被控量、控制装置和自控系统等概念。

（2）正确理解三种控制方式，特别是闭环控制。

（3）掌握由系统工作原理图画方框图的方法，并正确判别系统的控制方式。

（4）明确系统常用的分类方式，掌握各类别的含义和信息特征，特别是按数学模型分类的方式。

（5）明确对自控系统的基本要求，正确理解三大性能指标的含义。

2．提要

（1）几个重要概念

自动控制在没有人直接参与的情况下，利用控制器使被控对象的被控量自动地按预先给定的规律去运行。

自动控制系统指被控对象和控制装置的总体。

这里控制装置是一个广义的名词，主要是指以控制器为核心的一系列附加装置的总和。

共同构成控制系统，对被控对象的状态实行自动控制，有时又泛称为控制器或调节器。

自动控制系统

负反馈原理把被控量反送到系统的输入端与给定量进行比较，利用偏差引起控制器产生控制量，以减小或消除偏差。

（2）三种基本控制方式

实现自动控制的基本途径有二：

开环和闭环。

实现自动控制的主要原则有三：

主反馈原则——按被控量偏差实行控制。

补偿原则——按给定或扰动实行硬调或补偿控制。

复合控制原则——闭环为主开环为辅的组合控制。

（3）系统分类的重点

重点掌握线性与非线性系统的分类，特别对线性系统的定义、性质、判别方法要准确理解。

线性系统

非线性系统

（4）正确绘制系统方框图

绘制系统方框图一般遵循以下步骤：

搞清系统的工作原理，正确判别系统的控制方式。

正确找出系统的被控对象及控制装置所包含的各功能元件。

确定外部变量（即给定值、被控量和干扰量），然后按典型系统方框图的连接模式将各部分连接起来。

（5）对自控系统的要求

对自控系统的要求用语言叙述就是两句话：

要求输出等于给定输入所要求的期望输出值；

要求输出尽量不受扰动的影响。

恒量一个系统是否完成上述任务，把要求转化成三大性能指标来评价：

稳定——系统的工作基础；

快速、平稳——动态过程时间要短，振荡要轻。

准确——稳定精度要高，误差要小。

数学模型

数学模型涉及到数学和物理系统的一些理论知识,有些需要进一步回顾,有些需要加深理解，特别是对时域和频域的多种数学描述方法，各种模型之间的对应转换关系，都比较复杂。

学习好这些基础理论，对深入讨论自控理论具体方法至关重要。

1、要求

（1）正确理解数学模型的特点，对系统的相似性、简化性、动态模型、静态模型、输入变量、输出变量、中间变量等概念，要准确掌握。

（2）了解动态微分方程建立的一般方法。

（3）掌握运用拉氏变换解微分方程的方法，并对解的结构，零输入响应，零状态响应等概念，有清楚的理解。

（4）能用部分分式展开法或留数法公式进行计算。

（5）正确理传递函数的定义、性质和意义。

（6）正确理解开环传递函数，闭环传递函数，前向传递函数的定义，并对重要传递函数如：

控制输入下闭环传递函数，扰动输入下闭环传递数函数，误差传递函数，典型环节传递函数，能够熟练掌握。

（7）掌握系统结构图和信号流图两种数学图形的定义和组成方法，熟练地掌握等效变换代数法则，简化图形结构，并能用梅逊公式求系统传递函数。

（8）正确理解两种数学模型之间的对应关系，两种数学图型之间对应关系，以及模型和图形之间的对应关系，利用以上知识，熟练地将它们进行相互转换。

2、提要

作为线性系统数学模型的形式，介绍了两种解析式和两种图解法，对于每一种型式的基本概念，基本建立方法及运算以下表示。

（1）微分方程式

（2）传递函数

（3）结构图

注意几点：

1、相加点与分支点相邻，一般不能随便交换。

2、

3、直接应用梅逊公式时，负反馈符号要记入反馈通路中的方框中去。

另外对于互不接触回路的区分，特别要注意相加点与分支点相邻处的情况。

4、结构图可同时表示多个输入与输出的关系，这比其它几种解析式模型方便的多，并可由图直接写出任意个输入下总响应。

如：

运用叠加原理，当给定输入和扰动输入同时作用时，则有C（s）＝Gr（s）R（s）＋Gd（s）D（s）

（4）信号流图

重要公式→梅逊公式梅逊公式

注意两点：

1、搞清公式中各部分含义；

2、公式只能用于等输入节点与较出节点之间的传输，不能用于含输入节点情况下，任意两混合节点之间的传输。

四种模型之间的转换关系可用图2－81表示

图2－81模型转换

专题二：

时域分析

1．要求

（1）正确理解时域响应的性能指标（Mp、tr、td、tp、ess等）、稳定性、系统的型别和静态误差系数等概念。

（2）牢固掌握一阶系统的数学模型和典型时域响应的特点，并能熟练计算其性能指标和结构参数。

（3）牢固掌握二阶系统的各种数学模型和阶跃响应的特点，并能熟练计算其欠阻尼时域性能指标和结构参数。

（4）正确理解线性定常系统的稳定条件，熟练地应用劳斯判据判定系统的稳定性。

（5）正确理解和重视稳态误差的定义并能熟练掌握essr、essn的计算方法。

明确终值定理的使用条件。

（6）掌握改善系统动态性能及提高系统控制精度的措施。

2．提要

（1）工程上常用单位阶跃响应的超调量、调节时间和稳态误差等性能指标评价系统的优劣。

许多自动控制系统，经过参数整定和调试，其动态特征往往近似于一阶或二阶系统。

因此一、二阶系统的理论分析结果，常是高阶系统分析的基础。

（2）时域分析法的基本方法是拉氏变换法：

结构图

C（s）=（s）R（s）c（t）=L-1[C（s）]

（3）时域分析

（

）一阶系统的时域分析

一阶系统的动态特性应用一阶微分方程描述。

一阶系统只有一个结构参数，即其时间常数T。

时间常数T反应了一阶系统的惯性大小或阻尼程度。

一阶系统的性能由其时间常数T唯一决定。

一阶系统的时间常数T，也可由实验曲线求出。

（

）二阶系统的时域分析

二阶系统的性能分析，在自动控制理论中有着重要的地位。

二阶系统含有两个结构参数，即阻尼比ξ和无阻尼振荡频率ωn。

阻尼比ξ决定着二阶系统的响应模态。

ξ=0时，系统的响应为无阻尼响应；ξ=1时，系统的响应称为临界阻尼响应；ξ>1时，系统的响应是过阻尼的；0<ξ<1时，系统的响应为欠阻尼响应。

欠阻尼工作状态下，合理选择阻尼比ξ的取值，可使系统具有令人满意的动态性能指标。

其动态性能指标有Mp、tr、td、tp，ts，一方面可以从响应曲线上读取；二是它们与ξ、ωn有相应的关系，只要已知ξ、ωn，就能很容易求出动态性能指标。

（4）稳定性分析

控制系统是否稳定，是决定其能否正常工作的前提条件。

任何不稳定的系统，在工程上都是毫无使用价值的。

稳定，是指系统受到扰动偏离原来的平衡状态后，去掉扰动，系统仍能恢复到原工作状态的能力。

应当特别注意，线性系统的这种稳定性只取决于系统内部的结构及参数，而与初始条件和外作用的大小及形式无关。

线性系统稳定的充分必要条件是：

系统的所有闭环特征根都具有负的实部，或闭环特征根都分布在左半s平面。

判别系统的稳定性，最直接的方法是求出系统的全部闭环特征根。

但是求解高阶特征方程的根是非常困难的。

工程上，一般均采用间接方法判别系统的稳定性。

劳斯判据是最常用的一种间接判别系统稳定性的代数稳定判据。

应用闭环特征方程各项的系数列写劳斯表，劳斯表各行第一列元的符号变化次数，即为系统闭环不稳定的根的个数。

应用劳斯判据时，应注意两种特殊情况下，劳斯表的列写方法。

劳斯判据也可用来确定系统稳定工作时，或系统的闭环极点分布在某一特殊范围时，系统结构参数的允许变化范围。

系统闭环特征多项式各项同号且不缺项，是系统稳定的必要条件（注意不是充分条件）。

（5）稳态误差

稳态误差是系统很重要的性能指标，它标志着系统最终可能达到的控制精度。

稳态误差定义为稳定系统误差信号的终值。

稳态误差既和系统的结构及参数有关，也取决于外作用的形式及大小。

稳态误差可应用拉氏变换的终值定理计算，步骤如下：

（1）判别系统的稳定性。

只有对稳定的系统计算其稳态误差才有意义。

（2）根据误差的定义求出系统误差的传递函数。

（3）分别求出系统对给定和对扰动的误差函数。

（4）用拉氏变换的终值定理计算系统的稳态误差。

要注意，终值定理的使用条件为，误差的相函数在右半s平面及虚轴上（原点除外）解析。

系统稳定是满足终值定理使用条件的前提。

如果误差函数在右半s平面及虚轴上不解析，只能应用定义计算稳态误差。

对三种典型函数（阶跃、斜波、抛物线）及其组合外作用，也可利用静态误差系数和系统的型数计算稳态误差。

采用具有对给定或对扰动补偿的复合控制方案，理论上可以完全消除系统对给定或（和）扰动的误差，实现输出对给定的准确复现。

但工程上常根据输入信号的形式实现给定无稳态误差的近似补偿。

专题三：

根轨迹分析

1．要求

通过本章学习，应当做到：

（1）掌握开环根轨迹增益Kg（或开环比例系数K）变化时系统闭环根轨迹的绘制方法。

理解和熟记根轨迹的绘制法则，尤其是实轴上根轨迹的确定、分离点及渐近线的计算方法、根轨迹与虚轴的交点坐标及出射角和入射角的确定。

会利用幅值方程求特定的K值。

（2）了解闭环零、极点的分布和系统阶跃响应的定性关系及系统根轨迹分析的基本思路。

正确理解偶极子和主导极点等基本概念，会用主导极点的概念估算系统的性能指标。

（3）掌握0根轨迹、参变量根轨迹及非最小相位根轨迹绘制的基本思路和方法。

2．提要

本章主要介绍了根轨迹的基本概念、控制系统根轨迹的绘制方法以及根轨迹法在控制系统分析中的应用。

（1）根轨迹的基本概念

根轨迹是当系统中某参数（如开环根轨迹增益Kg）由0～∞变化时，系统的闭环极点在s平面上移动的轨迹。

求出不同Kg值时的闭环极点，在s平面上逐点绘制即可得到系统的闭环根轨迹。

但人工绘制即笨又繁，很不实用。

根轨迹法的基本思路是：

在已知开环零、极点分布的基础上，依据根轨迹法则，确定闭环零、极点的分布。

再利用主导极点的概念，对系统的阶跃响应进行定性分析和定量估算。

（2）根轨迹方程

根轨迹方程实质上是系统闭环特征方程的变形。

负反馈系统根轨迹方程的一般形式为

根轨迹方程的幅值平衡条件和幅角平衡条件分别称之为根轨迹的幅值方程和幅角方程。

系统根轨迹方程的幅值方程和幅角方程由如下二式给出：

幅角方程是决定根轨迹的充分必要条件。

系统的根轨迹可依据其幅角方程绘制，幅值方程主要用来确定根轨迹上各点对应的增益值。

（3）绘制系统轨迹的基本法则

根据系统的根轨迹方程式，按照绘制系统根轨迹的基本法则，即可由系统开环零极点的分布直接绘制出闭环系统的概略根轨迹。

表4-2给出了当系统的开环根轨迹增益Kg由0～∞变化时，绘制系统180°根轨迹的基本法则。

（4）控制系统的根轨迹分析

控制系统的根轨迹分析即应用闭环系统的根轨迹图，分析系统的稳定性、计算系统的动态性能和稳态性能，或在根轨迹图上可以进行反馈系统的综合或校正。

当系统的根轨迹段位于左半s平面时，系统稳定。

否则，系统必然存在不稳定的闭环根。

当系统为条件稳定时，根轨迹与s平面的交点即其临界稳定条件。

利用根轨迹得到闭环零、极点在s平面的分布情况，可以写出系统的闭环传递函数，进行系统动态性能的分析。

系统的闭环零点由系统的开环传递函数直接给出，系统的闭环极点需应用根轨迹图试探确定。

如果系统满足闭环主导极点的分布规律，可以应用闭环主导极点的概念把高阶系统简化为低阶系统，对高阶系统的性能近似估算。

（5）附加开环零极点对根轨迹的影响

根轨迹是根据开环零极点的分布绘制的，系统开环零极点的分布影响着根轨迹的形状。

通过附加开环零极点，可以改造系统根轨迹的形状，使系统具有满意的性能指标。

增加一个开环实零点，将使系统的根轨迹向左偏移，提高了系统的稳定度，并有利于改善系统的动态性能。

开环负实零点离虚轴越近，这种作用越大。

增加一个开环实极点，将使系统的根轨迹向右偏移，降低了系统的稳定度，有损于系统的动态性能，使得系统响应的快速性变差。

开环负实极点离虚轴越近，这种作用越大。

开环零点和极点重合或相近时，二者构成开环偶极子。

合理配置偶极子中的开环零极点，可以在不影响动态性能的基础上，改善系统的稳态形能。

专题四：

频域分析

1．要求

通过本章学习，应该达到：

（1）正确理解频率特性的物理意义、数学本质及定义。

（2）正确地运用频率特性的定义进行分析和计算，计算部件或系统在正弦输入下的稳态响应以及反算结构参数。

（3）熟记典型环节频率特性的规律及其特征点。

（4）熟练掌握由系统开环传递函数绘制开环极坐标图和伯德图的方法。

（5）熟练掌握最小相位系统由对数幅频特性曲线反求传递函数的方法。

（6）正确理解奈奎斯特判据的原理证明和判别条件。

（7）熟练掌握运用奈奎斯特判据判别系统稳定性的方法，并能正确计算稳定裕度和临界增益。

（8）正确理解谐振峰值、频带宽度、截止频率、相角裕度、幅值裕度以及三频段等概念，明确其和系统阶跃响应的定性关系。

2．提要

（1）频率特性是线性系统（或部件）在正弦函数输入下，稳态输出与输入之比对频率的关系，概括起来即为同频、变幅、相移。

它能反映动态过程的性能，故可视为动态数学模型。

频率特性是传递函数的一种特殊形式。

将系统传递函数中的s换成纯虚数j，就得到该系统的频率特性。

频率特性可以通过实验方法确定，这在难以写出系统数学模型时更为有用。

（2）开环频率特性可以写成因式形式的乘积，这些因式就是典型环节的频率特性，所以典型环节是系统开环频率特性的基础。

典型环节有：

比例环节、积分环节、微分环节、惯性环节、一阶微分环节、振荡环节、二阶微分环节和延迟环节。

对典型环节频率特性的规律及其特征点应该非常熟悉。

（3）开环频率特性的几何表示：

开环极坐标图和开环伯德图。

（

）开环极坐标图的绘制

由开环极点—零点分布图，正确地确定出起点、终点以及与坐标轴的交点，即可绘制出开环极坐标草图。

（

）开环伯德图的绘制

先把开环传递函数化为标准形式，求每一典型环节所对应的转折频率，并标在轴上；然后确定低频段的斜率和位置；最后由低频段向高频段延伸，每经过一个转折频率，斜率作相应的改变。

这样很容易地绘制出开环对数幅频特性渐近线曲线，若需要精确曲线，只需在此基础上加以修正即可。

对于对数相频特性曲线只要能写出其关系表达式，确定出=0，=时的相角，再在频率段内适当地求出一些频率所对应的相角，连成光滑曲线即可。

（4）频率法是运用开环频率特性研究闭环动态响应的一套完整的图解分析计算法。

其分析问题的主要步骤和所依据的概念及方法如下：

频域稳定性判据（奈氏判据）闭环稳定性

开环频率特性曲线求频域指标，c，h或Mr，bMp%，ts（估算公式）

型号和开环放大系数ess

开环频率特性和闭环频率特性都是表征闭环系统控制性能的有力工具。

（

）奈氏判据是根据开环频率特性曲线来判断闭环系统稳定性的一种稳定判据。

其内容为：

若已知开环极点在s右半平面的个数为p，当从0时，开环频率特性的轨迹在G（j）H（j）平面包围（-1，j0）点的圈数为R，则闭环系统特征方程式在s右半平面的个数为z，且有z=p2R。

若z=0，说明闭环特征根均在s左半平面，闭环系统是稳定的。

若z0，说明闭环特征根在s右半平面有根，闭环系统是不稳定的。

（

）开环频域指标、c、h或闭环频域指标Mr、b反映了系统的动态性能，它们和时域指标之间有一定的对应关系，、Mr反映了系统的平稳性，越大，Mr越小，系统的平稳性越好；c、b反映了系统的快速性，c、b越大，系统的响应速度越快。

（5）开环对数幅频的三频段

三频段的概念对分析系统参数的影响以及系统设计都是很有用的。

一个既有较好的动态响应，又有较高的稳态精度；既有理想的跟踪能力，又有满意的抗干扰性的控制系统，其开环对数幅频特性曲线低、中、高三个频段的合理形状应是很明确的。

低频段的斜率应取20dB/dec，而且曲线要保持足够的高度，以便满足系统的稳态精度。

中频段的截止频率不能过低，而且附近应有20dB/dec斜率段，以便满足系统的快速性和平稳性。

20dB/dec斜率段所占频程越宽，则稳定裕度越大。

高频段的幅频特性应尽量低，以便保证系统的抗干扰性。

（6）由于采用了典型化、对数化等处理方法，使得频率法的计算工作较为简化，从而在工程实践中获得了广泛的应用。

专题五：

综合与校正

1.要求

1）掌握超前、迟后等串联校正网络的特点及其对系统的作用以及校正设计方法。

2）掌握利用系统开环对数渐近幅频曲线，分析校正装置对原系统性能的影响。

3）正确理解反馈校正和复合校正的特点及其作用。

2.提要

1）在系统中加入一些其参数可以根据需要而改变的结构或装置，使系统整个特性发生变化，从而满足给定的各项性能指标。

这一附加的装置称为校正装置。

加入校正装置后使未校正系统的缺陷得到补偿，这就是校正的作用。

2）常用的校正方式有串联校正、反馈校正、前馈校正和复合校正四种。

串联校正和反馈校正是适用于反馈控制系统的校正方法，在一定程度上能够使已校正系统满足要求的性能指标。

串联校正简单，易于实现，因此得到了广泛的应用。

3）串联超前校正是利用校正装置的相角超前补偿原系统的相角迟后，从而增大系统的相角裕度。

超前校正具有相角超前和幅值扩张的特点，即产生正的相角移动和正的幅值斜率。

超前校正正是通过其幅值扩张的作用，达到改善中频段斜率的目的。

故采用超前校正可以增大系统的稳定裕度和频带宽度，提高了系统动态响应的平稳性和快速性。

但是，超前校正对提高系统的稳态精度作用不大，且使抗干扰的能力有所降低。

串联超前校正一般用于稳态性能已满足要求，但动态性能较差的系统。

但如果未校正系统在其零分贝频率附近，相角迅速减小，例如有两个转角频率彼此靠近（或相等）的惯性环节或一个振荡环节，这就很难使校正后的系统的相角裕度得到改善。

或未校正系统不稳定，为了得到要求的相角裕度，超前网络的a值必须选得很大，将造成校正后系统带宽过大，高频噪声很高，严重时系统无法正常工作。

4）串联迟后校正是利用校正装置本身的高频幅值衰减特性，使系统零分贝频率下降，从而获得足够的相角裕度。

迟后校正具有幅值压缩和相角滞后的特点，即产生负的相角移动和负的幅值斜率。

利用幅值压缩，有可能提高系统的稳定裕度，但将使系统的频带过小；从另一角度看，迟后校正通过幅值压缩，还可以提高系统的稳定精度。

迟后校正一般用于动态平稳性要求严格或稳定精度要求较高的系统。

但为了保证在需要的频率范围内产生有效的幅值衰减特性，要求迟后网络的第一个转折频率1/T足够小，可能会使时间常数大到不能实现的程度。

5）串联迟后—超前校正的基本原理是利用校正装置的超前部分来增大系统的相角裕度，同时利用迟后部分来改善系统的稳态性能。

当要求校正后系统的稳态和动态性能都较高时，应考虑采用迟后—超前校正。

6）希望特性法仅按对数幅频特性的形状确定系统性能，所以只适合于最小相位系统。

希望对数幅频特性的求法如下：

（

）根据对系统型别及稳态误差要求，绘制希望特性的低频段；

（

）根据对系统响应速度及阻尼程度要求，绘制希望特性的中频段；

（

）根据对系统幅值裕度及高频噪声的要求，绘制希望特性的高频段；

（

）绘制希望特性的低、中频段之间的衔接频段；

（

）绘制希望特性的中、高频段之间的衔接频段；

希望对数幅频特性与原系统对数幅频特性相比较，即可得校正装置的对数幅频特性曲线。

7）反馈校正通过反馈通道传递函数的倒数的特性代替不希望特性，以这种置换的办法来改善控制系统的性能，同时还可以减弱反馈所包围的原有部分特性参数变化对系统性能的影响。

8）复合校正是在系统的反馈控制回路中加入前馈通路，组成一个前馈控制和反馈控制相结合的系统，按不变性原理进行设计。

可分为按扰动补偿和按输入补偿两种方式。

专题六：

非线性系统

1．要求

通过本章学习，应该达到：

（1）正确理解描述函数的基本思想和应用条件。

（2）准确理解描述函数的定义、物理意义和求法，并会灵活应用。

（3）熟练掌握理想继电特性、死区继电特性、滞环继电特性和死区特性等典型非线性环节的描述函数，并会运用典型非线性特性的串并联分解求取复杂非线性特性的描述函数。

（4）熟练掌握运用描述函数法分析非线性系统的稳定性和自振荡的方法和步骤，并能正确计算自振荡的振幅和频率。

（5）正确理解相平面图的基本概念。

（6）熟练掌握线性二阶系统的典型相平面图及其特征。

（7）会画出非线性系统工程的典型相平面图。

（8）熟练掌握运用相平面法分析非线性系统的动态响应的方法和步骤。

2．提要

本章介绍了非线性系统的两种基本分析方法：

描述函数法和相平面法。

（1）描述函数法

这是一种频域法，基于谐波线性化的近似分析方法。

其基本思想是首先通过描述函数将非线性环节线性化，然后应用线性系统的频率法对系统进行分析。

描述函数法在应用时是有条件限制的，其应用条件是：

（

）非线性系统的结构图可以简化成只有一个非线性环节和一个线性部分串联的典型负反馈结构。

若不是这种典型结构，则必需首先利用系统中信号间的传递关系简化成这种典型结构，才能应用描述函数法做进一步的分析。

（

）非线性环节的静特性曲线是奇对称的。

（

）线性部分应具有良好的高频衰减特性。

（

）只能用来分析非线性系统的稳定性和自振荡。

（2）描述函数N（A）的计算及其物理意义

描述函数N（A）可以从定义式（7-15）出发求得，一般步骤是：

（

）首先画出非线性特性在正弦信号输入下的输出波形，并写出输出波形的数学表达式。

（

）利用付氏级数求出输出的基波分量。

（

）将求得的基波分量代入定义式（7-15），即得N（A）。

对于复杂的非线性特性也可以将其分解为若干简单的典型非线特性的串并联，然后再由已知的这些简单非线性特性的描述函数求出复杂非线性特性的描述函数。

描述函数的物理意义是描述了一个非线性元件对基波正弦量的传递能力。

（3）描述函数法分析稳定性和自振荡的一般步骤是：

（

）首先求出非线性环节的描述函数N（A）。

（

）分别画出线性部分的G（j）曲线和非线性部分的1/N（A）曲线。

（

）用奈氏判据判断稳定性和自振荡，若存在稳定的自振荡，则进一步求出自振荡的振幅和频率。

特别强调的是，应用描述函数法分析非线性系统，其结果的准确程度取决于线性部分高频、衰减特性的强弱。

在对数坐标图上，取决于L（）曲线高频段的斜率和位置，其高频段斜率越负，位置越低，高频衰减特性越强，分析结果就越准确。

（4）相平面法是分析非线性系统的一种时域法、图解法，不仅可以分析系统的稳定性和自振荡（极限环），而且可以求取系统的动态响应。

这种方法只运用于二阶系统，但由于一般高阶系统又可用二阶系统来近似，因此相平面法也可用于高阶系统的近似分析。

关于相平面法应着重掌握以下两个问题：

（5）相平面图的基本概念：

对于绘制和理解相平面图，以及进一步分析系统的动态响应是至关重要的。

相平面图的基本概念有：

相轨迹和相平面图的定义；奇点的类型、性质和求法，极限环的分类及性质；相平面图的绘制方法。

应当注意，奇点中的中心点和奇线中的极限环，它们的相平面图是不一样的，这是两个截然不同的概念，不要混淆。

（6）相平面法分析非线性系统的一般步骤：

（

）首先选择合适的相平面坐标，并根据非线性特性将相平面划分成若干个线性区域。

若系统没有外部输入，而是分析初始条件下系统的动态过程，可选取系统的输出量c及其导数，作为相坐