高中物理 人教版选择性必修一第一章 3 动量守恒定律.docx
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高中物理人教版选择性必修一第一章3动量守恒定律
3 动量守恒定律
[学习目标]
1.了解系统、内力和外力的概念.2.理解动量守恒定律及其表达式,理解动量守恒条件.3.能用牛顿运动定律推导出动量守恒定律的表达式,了解动量守恒定律的普适性.4.能用动量守恒定律解决实际问题.
一、相互作用的两个物体的动量改变
如图1所示,质量为m2的B物体追上质量为m1的A物体,并发生碰撞,设A、B两物体碰前速度分别为v1、v2,碰后速度分别为v1′、v2′(v2>v1),碰撞时间很短,设为Δt.
图1
根据动量定理:
对A:
F1Δt=m1v1′-m1v1①
对B:
F2Δt=m2v2′-m2v2②
由牛顿第三定律F1=-F2③
由①②③得两物体总动量关系为:
m1v1′+m2v2′=m1v1+m2v2
二、动量守恒定律
1.系统、内力与外力
(1)系统:
两个(或多个)相互作用的物体构成的一个力学系统.
(2)内力:
系统中物体间的作用力.
(3)外力:
系统以外的物体施加给系统内物体的力.
2.动量守恒定律
(1)内容:
如果一个系统不受外力,或者所受外力的矢量和为0,这个系统的总动量保持不变.
(2)表达式:
m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′(作用前后总动量相等).
(3)适用条件:
系统不受外力或者所受外力的矢量和为零.
(4)普适性:
动量守恒定律既适用于低速物体,也适用于高速物体.既适用于宏观物体,也适用于微观物体.
1.判断下列说法的正误.
(1)一个系统初、末状态动量大小相等,即动量守恒.( × )
(2)两个做匀速直线运动的物体发生碰撞瞬间,两个物体组成的系统动量守恒.( √ )
(3)系统动量守恒也就是系统总动量变化量始终为零.( √ )
(4)只要系统内存在摩擦力,动量就一定不守恒.( × )
2.如图2所示,游乐场上,两位同学各驾驶一辆碰碰车迎面相撞,此后,两车以共同的速度运动.设甲同学和他的车的总质量为120kg,碰撞前水平向右运动,速度的大小为5m/s;乙同学和他的车的总质量为180kg,碰撞前水平向左运动,速度的大小为4m/s.则碰撞后两车共同的运动速度大小为________,方向________.
图2
答案 0.4m/s 水平向左
解析 本题的研究对象为两辆碰碰车(包括驾车的同学)组成的系统,在碰撞过程中此系统的内力远远大于所受的外力,外力可以忽略不计,满足动量守恒定律的适用条件.设甲同学的车碰撞前的运动方向为正方向,他和车的总质量m1=120kg,碰撞前的速度v1=5m/s;乙同学和车的总质量m2=180kg,碰撞前的速度v2=-4m/s.设碰撞后两车的共同速度为v,则系统碰撞前的总动量为:
p=m1v1+m2v2
=120×5kg·m/s+180×(-4)kg·m/s
=-120kg·m/s.
碰撞后的总动量为p′=(m1+m2)v.
根据动量守恒定律可知p=p′,
代入数据解得v=-0.4m/s,
即碰撞后两车以0.4m/s的共同速度运动,
运动方向水平向左.
一、对动量守恒定律的理解
1.研究对象:
相互作用的物体组成的力学系统.
2.动量守恒定律的成立条件
(1)系统不受外力或所受合外力为零.
(2)系统受外力作用,但内力远远大于合外力.此时动量近似守恒.
(3)系统受到的合外力不为零,但在某一方向上合外力为零(或某一方向上内力远远大于外力),则系统在该方向上动量守恒.
3.动量守恒定律的三个特性
(1)矢量性:
公式中的v1、v2、v1′和v2′都是矢量,只有它们在同一直线上,并先选定正方向,确定各速度的正、负(表示方向)后,才能用代数方法运算.
(2)相对性:
公式中的v1、v2、v1′和v2′应是相对同一参考系的速度,一般取相对地面的速度.
(3)普适性:
动量守恒定律不仅适用于两个物体组成的系统,也适用于多个物体组成的系统;不仅适用于宏观物体组成的系统,也适用于微观粒子组成的系统.
(2019·开封市、商丘市九校联考)关于动量守恒的条件,下列说法正确的有( )
A.只要系统内存在摩擦力,动量不可能守恒
B.只要系统所受外力做的功为零,动量一定守恒
C.只要系统所受合外力的冲量为零,动量一定守恒
D.若系统中物体加速度不为零,动量一定不守恒
答案 C
解析 只要系统所受合外力为零,系统动量就守恒,与系统内是否存在摩擦力无关,故A错误;系统所受外力做的功为零,系统所受合外力不一定为零,系统动量不一定守恒,如用绳子拴着一个小球,让小球在水平面内做匀速圆周运动,小球转动的过程中,系统外力做功为零,但小球的动量不守恒,故B错误;力与力的作用时间的乘积是力的冲量,系统所受合外力的冲量为零,即合外力为零,则系统动量守恒,故C正确;比如碰撞过程,两个物体的加速度都不为零即合力都不为零,但系统的动量却守恒,故D错误.
(多选)(2020·鹤壁市质检)在光滑水平面上A、B两小车中间有一轻弹簧(弹簧不与小车相连),如图3所示,用手抓住小车并将弹簧压缩后使小车处于静止状态,将小车及弹簧看成一个系统,下列说法中正确的是( )
图3
A.两手同时放开后,系统总动量始终为零
B.先放开左手,再放开右手后,动量不守恒
C.先放开左手,后放开右手,总动量向左
D.无论何时放手,两手放开后,系统总动量都保持不变
答案 ACD
解析 若两手同时放开A、B两车,系统所受合外力为零,系统动量守恒,由于系统初动量为零,则系统总动量为零,故A正确;先放开左手,系统所受合外力向左,系统所受合外力的冲量向左,再放开右手,系统总动量向左,故C正确;无论何时放手,两手放开后,系统所受合外力为零,系统动量守恒,系统总动量保持不变,如果同时放手,系统总动量为零,如果不同时放手,系统总动量不守恒,故B错误,D正确.
二、动量守恒定律的应用
1.动量守恒定律的常用表达式
(1)p=p′:
相互作用前系统的总动量p等于相互作用后的总动量p′.
(2)m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′:
相互作用的两个物体组成的系统,作用前动量的矢量和等于作用后动量的矢量和.
(3)Δp1=-Δp2:
相互作用的两个物体组成的系统,一个物体的动量变化量与另一个物体的动量变化量大小相等、方向相反.
(4)Δp=0:
系统总动量增量为零.
2.应用动量守恒定律解题的步骤
(2019·梁集中学调研)如图4所示,A、B两个大小相同、质量不等的小球放在光滑水平地面上,A以3m/s的速率向右运动,B以1m/s的速率向左运动,发生正碰后A、B两小球都以2m/s的速率反弹,求A、B两小球的质量之比.
图4
答案 3∶5
解析 取水平向右为正方向,则有
vA=3m/s,vB=-1m/s
vA′=-2m/s,vB′=2m/s
根据动量守恒定律得
mAvA+mBvB=mAvA′+mBvB′
代入数据解得:
mA∶mB=3∶5.
针对训练 一辆平板车沿光滑水平面运动,车的质量m=20kg,运动速度v0=4m/s,求下列情况车稳定后的速度大小:
(1)一个质量m′=2kg的沙包从5m高处落入车内.
(2)将一个质量m′=2kg的沙包以5m/s的速度迎面扔入车内.
答案 见解析
解析
(1)竖直下落的沙包在水平方向上速度为零,动量为零,系统在水平方向上动量守恒,由动量守恒定律得mv0=(m+m′)v′,
解得v′=
m/s.
(2)取v0的方向为正方向,由动量守恒定律得mv0-m′v=(m+m′)v″
解得v″=
m/s.
将两个完全相同的磁铁(磁性极强)分别固定在质量相等的小车上,水平面光滑.开始时甲车速度大小为3m/s,方向向右,乙车速度大小为2m/s,方向向左并与甲车速度方向在同一直线上,如图5所示.
图5
(1)当乙车速度为零时,甲车的速度多大?
方向如何?
(2)由于磁性极强,故两车不会相碰,那么两车的距离最小时,乙车的速度是多大?
方向如何?
答案
(1)1m/s 方向向右
(2)0.5m/s 方向向右
解析 两个小车及磁铁组成的系统在水平方向不受外力作用,两车之间的磁力是系统内力,系统动量守恒,设向右为正方向.
(1)v甲=3m/s,v乙=-2m/s.
据动量守恒定律得:
mv甲+mv乙=mv甲′,代入数据解得
v甲′=v甲+v乙=(3-2)m/s=1m/s,方向向右.
(2)两车的距离最小时,两车速度相同,设为v′,
由动量守恒定律得:
mv甲+mv乙=mv′+mv′.
解得v′=
=
=
m/s=0.5m/s,方向向右.
1.(动量守恒的判断)(多选)如图6所示,在光滑水平地面上有A、B两个木块,A、B之间用一轻弹簧连接.A靠在墙壁上,用力F向左推B使两木块之间的弹簧压缩并处于静止状态.若突然撤去力F,则下列说法中正确的是( )
图6
A.木块A离开墙壁前,A、B和弹簧组成的系统动量守恒,机械能也守恒
B.木块A离开墙壁前,A、B和弹簧组成的系统动量不守恒,但机械能守恒
C.木块A离开墙壁后,A、B和弹簧组成的系统动量守恒,机械能也守恒
D.木块A离开墙壁后,A、B和弹簧组成的系统动量不守恒,但机械能守恒
答案 BC
解析 若突然撤去力F,木块A离开墙壁前,墙壁对木块A有作用力,所以A、B和弹簧组成的系统动量不守恒,但由于A没有离开墙壁,墙壁对木块A不做功,所以A、B和弹簧组成的系统机械能守恒,选项A错误,B正确;木块A离开墙壁后,A、B和弹簧组成的系统所受合外力为零,所以系统动量守恒且机械能守恒,选项C正确,D错误.
2.(动量守恒定律的理解)(多选)(2018·梁集中学高二第一次调研)我国女子短道速滑队在世锦赛上实现女子3000m接力三连冠.如图7所示,观察发现,“接棒”的运动员甲提前站在“交棒”的运动员乙前面,并且开始向前滑行,待乙追上甲时,乙猛推甲一把,使甲获得更大的速度向前冲出.在乙推甲的过程中,忽略运动员与冰面间在水平方向上的相互作用,则( )
图7
A.甲对乙的冲量一定与乙对甲的冲量相同
B.相互作用的过程中甲与乙组成的系统满足机械能守恒定律
C.相互作用的过程中甲与乙组成的系统满足动量守恒定律
D.甲、乙的动量变化一定大小相等、方向相反
答案 CD
解析 甲对乙的作用力与乙对甲的作用力等大反向,它们的冲量也等大反向,故A错误.由于乙推甲的过程,其他形式的能转化为机械能,故机械能不守恒,B错误.甲、乙相互作用的过程,系统水平方向不受外力的作用,故系统的动量守恒,此过程甲的动量增大,乙的动量减小,二者动量的变化大小相等、方向相反,故C、D正确.
3.(动量守恒定律的应用)(2020·华中师大一附中期末)如图8所示,放在光滑水平面上的两物体,它们之间有一个被压缩的轻质弹簧,用细线把它们拴住.已知两物体质量之比为m1∶m2=2∶1,把细线烧断后,两物体被弹开,速度大小分别为v1和v2,动能大小分别为Ek1和Ek2,则下列判断正确的是( )
图8
A.弹开时,v1∶v2=1∶1
B.弹开时,v1∶v2=2∶1
C.弹开时,Ek1∶Ek2=2∶1
D.弹开时,Ek1∶Ek2=1∶2
答案 D
解析 两物体与弹簧组成的系统所受合外力为零,根据动量守恒定律知,p1=p2,即m1v1=m2v2,所以v1∶v2=m2∶m1=1∶2,选项A、B错误;由Ek=
得,Ek1∶Ek2=m2∶m1=1∶2,选项C错误,D正确.
4.(动量守恒定律的应用)某同学质量为60kg,在军事训练中要求他从岸上以大小为2m/s的速度跳到一条向他缓缓漂来的小船上,然后去执行任务,小船的质量是140kg,原来的速度大小是0.5m/s,该同学上船后又跑了几步,最终停在船上(船未与岸相撞),不计水的阻力,求:
(1)人跳上船后,船的最终速度;
(2)船的动量变化量.
答案 见解析
解析
(1)规定该同学原来的速度方向为正方向.设该同学上船后,船与该同学的共同速度为v.该同学跳上小船后与小船达到共同速度的过程,该同学和船组成的系统所受合外力为零,系统的动量守恒,则由动量守恒定律得m人v人-m船v船=(m人+m船)v,代入数据解得v=0.25m/s,方向与该同学原来的速度方向相同;
(2)船的动量变化量为Δp′=m船v-m船(-v船)=140×[0.25-(-0.5)]kg·m/s=105kg·m/s,方向与人原来的速度方向相同.
5.(动量守恒定律的应用)一辆质量m1=3.0×103kg的小货车因故障停在车道上,后面一辆质量m2=1.5×103kg的轿车来不及刹车,直接撞入货车尾部失去动力.相撞后两车一起沿轿车运动方向滑行了s=6.75m停下.已知两车车轮与路面间的动摩擦因数均为μ=0.6,求碰撞前轿车的速度大小.(重力加速度取g=10m/s2)
答案 27m/s
解析 由牛顿第二定律得μ(m1+m2)g=(m1+m2)a
解得a=6m/s2
则两车相撞后速度为v=
=9m/s
以轿车运动方向为正方向,由动量守恒定律得
m2v0=(m1+m2)v
解得v0=
v=27m/s.
考点一 对动量守恒条件的理解
1.如图1所示,小车与木箱紧挨着静止放在光滑的水平冰面上,现有一男孩站在小车上用力向右迅速推出木箱,关于上述过程,下列说法中正确的是( )
图1
A.男孩和木箱组成的系统动量守恒
B.小车与木箱组成的系统动量守恒
C.男孩、小车与木箱三者组成的系统动量守恒
D.木箱的动量的变化量与男孩、小车的总动量的变化量相同
答案 C
解析 由动量守恒定律成立的条件可知,男孩、小车与木箱三者组成的系统动量守恒,选项A、B错误,C正确;木箱的动量的变化量与男孩、小车的总动量的变化量大小相等,方向相反,选项D错误.
2.(多选)如图2所示,小车静止放在光滑的水平面上,将系着轻绳的小球拉开一定的角度,然后同时放开小球和小车,不计空气阻力,那么在以后的过程中( )
图2
A.小球向左摆动时,小车也向左运动,且系统动量守恒
B.小球向左摆动时,小车向右运动,且系统在水平方向上动量守恒
C.小球向左摆到最高点,小球的速度为零而小车的速度不为零
D.在任意时刻,小球和小车在水平方向上的动量一定大小相等、方向相反(或者都为零)
答案 BD
解析 以小球和小车组成的系统为研究对象,在水平方向上不受外力的作用,所以系统在水平方向上动量守恒.由于初始状态小车与小球均静止,所以小球与小车在水平方向上的动量要么都为零,要么大小相等、方向相反,所以A、C错,B、D对.
3.(多选)(2018·三明市高二下学期期末)如图3所示,在光滑水平面上有一辆小车,小车A端与滑块C间夹了一压缩轻质弹簧(未拴接在一起),用左、右手分别控制小车A端和滑块C处于静止状态,释放后C会离开弹簧向B端冲去,并跟B端油泥粘在一起,忽略一切摩擦,对A、B、C组成的系统,下面说法中正确的是( )
图3
A.先放开右手,再放开左手后,系统动量不守恒
B.先放开左手,再放开右手,A、B、C的总动量向左
C.两手同时放开后,C与油泥粘在一起时,车立即停止运动
D.无论先放开哪只手,C与油泥粘在一起时,车都立即停止运动
答案 BC
解析 先放开右手,再放开左手后,系统在水平方向不受外力作用,系统的动量守恒,故A错误.先放开左手,后放开右手,放开右手时,小车已经有向左的速度,系统的动量不为零,所以A、B、C的总动量向左,故B正确.两手同时放开后,系统的总动量为零,C与油泥粘在一起时,根据动量守恒可知车立即停止运动,故C正确.先放开左手,后放开右手,此后A、B、C的总动量向左,C与油泥粘在一起时,车向左运动;先放开右手,后放开左手,此后A、B、C的总动量向右,C与油泥粘在一起时,车向右运动,故D错误.
考点二 动量守恒定律的应用
4.如图4所示,一平板车停在光滑的水平面上,某同学站在小车上,若他设计下列操作方案,最终能使平板车持续地向右驶去的是( )
图4
A.该同学在图示位置用大锤连续敲打车的左端
B.只要从平板车的一端走到另一端即可
C.在车上装个电风扇,不停地向左吹风
D.他站在车的右端将大锤丢到车的左端
答案 C
解析 把人和车看成整体,用大锤连续敲打车的左端,根据动量守恒定律可以知道,系统的总动量为零,车不会持续地向右驶去,故A错误;人从平板车的一端走到另一端的过程中,系统水平方向不受外力,动量守恒,系统总动量为零,车不会持续地向右驶去,故B错误;电风扇向左吹风,电风扇会受到一个向右的反作用力,从而使平板车持续地向右驶去,故C正确;站在车的右端将大锤丢到车的左端的过程中,系统水平方向不受外力,动量守恒,系统总动量为零,车不会持续地向右驶去,故D错误.
5.(2020·福州十一中高二下期中)如图5所示,光滑水平面上有一辆质量为4m的小车,车上左、右两端分别站着甲、乙两人,他们的质量都是m,开始时两个人和车一起以速度v0向右匀速运动.某一时刻,站在车右端的乙先以相对地面向右的速度v跳离小车,然后站在车左端的甲以相对于地面向左的速度v跳离小车.两人都离开小车后,小车的速度将是( )
图5
A.1.5v0B.v0
C.大于v0,小于1.5v0D.大于1.5v0
答案 A
解析 两人和车组成的系统开始时动量为6mv0,方向向右.当甲、乙两人先后以相对地面大小相等的速度向两个方向跳离时,甲、乙两人动量的矢量和为零,则有6mv0=4mv车,解得v车=1.5v0,A正确.
6.如图6所示,光滑的水平面上有大小相同、质量不等的小球A、B,小球A以速度v0向右运动时与静止的小球B发生碰撞,碰后A球速度反向,大小为
,B球的速率为
,A、B两球的质量之比为( )
图6
A.3∶8B.8∶3
C.2∶5D.5∶2
答案 C
解析 以A、B两球组成的系统为研究对象,两球碰撞过程动量守恒,以A球的初速度方向为正方向,由动量守恒定律得:
mAv0=mA(-
)+mB·
,解得两球的质量之比
=
,故C正确.
7.(多选)(2019·宁波市高二检测)如图7所示,一个质量为M的木箱静止在光滑水平面上,木箱内粗糙的水平底板上放着一个质量为m的小木块.现使木箱获得一个向右的初速度v0,则( )
图7
A.小木块最终将相对木箱静止,二者一起向右运动
B.小木块和木箱最终速度为
v0
C.小木块与木箱内壁将始终来回往复碰撞,而木箱一直向右运动
D.如果小木块与木箱的左壁碰撞后相对木箱静止,则二者将一起向左运动
答案 AB
解析 木箱与小木块组成的系统水平方向不受外力,故系统水平方向动量守恒,最终两个物体以相同的速度一起向右运动,取v0的方向为正方向,由动量守恒定律:
Mv0=(M+m)v,解得:
v=
,A、B正确,C、D错误.
8.质量为M的木块在光滑水平面上以速度v1水平向右运动,质量为m的子弹以速度v2水平向左射入木块,要使木块停下来,必须使发射子弹的数目为(子弹留在木块中不穿出)( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 设发射子弹的数目为n,n颗子弹和木块M组成的系统在水平方向上所受的合外力为零,满足动量守恒的条件.选子弹运动的方向为正方向,由动量守恒定律有:
nmv2-Mv1=0,得n=
,故C正确.
9.(多选)两个小木块A和B(均可视为质点)中间夹着一水平轻质弹簧,用细线(未画出)拴在一起,放在光滑的水平桌面上,烧断细线后,木块A、B分别向左、右方向运动,离开桌面后均做平抛运动(离开桌面前两木块已和弹簧分离),落地点与桌面边缘的水平距离分别为lA=1m,lB=2m,如图8所示,则下列说法正确的是( )
图8
A.木块A、B离开弹簧时的速度大小之比vA∶vB=1∶2
B.木块A、B的质量之比mA∶mB=2∶1
C.木块A、B离开弹簧时的动能之比EkA∶EkB=1∶2
D.弹簧对木块A、B的作用力大小之比FA∶FB=1∶2
答案 ABC
解析 A、B两木块离开桌面后做平抛运动,由平抛运动规律知,木块A、B离开弹簧时的速度大小之比为
=
=
,A正确;以向左为正方向,根据动量守恒定律得:
mAvA-mBvB=0,因此
=
=
,B正确;木块A、B离开弹簧时的动能之比为:
=
=
,C正确;弹簧对木块A、B的作用力大小之比:
=
,D错误.
10.(多选)如图9所示,质量分别为m1=1.0kg和m2=2.0kg的弹性小球a、b,用轻绳紧紧地把它们捆在一起,使它们发生微小的形变.该系统以速度v0=0.10m/s沿光滑水平面向右做直线运动.某时刻轻绳突然自动断开,断开后两球仍沿原直线运动.经过时间t=5.0s后,测得两球相距s=4.5m,则下列说法正确的是( )
图9
A.刚分离时,a球的速度大小为0.7m/s
B.刚分离时,b球的速度大小为0.2m/s
C.刚分离时,a、b两球的速度方向相同
D.两球分开过程中释放的弹性势能为0.27J
答案 ABD
解析 a、b组成的系统总动量守恒,以向右为正方向,由动量守恒定律得(m1+m2)v0=m1v1+m2v2,两球相距s=v1t-v2t,代入数据解得v1=0.7m/s,v2=-0.2m/s,负号表示速度方向与正方向相反,故A、B正确,C错误;由能量守恒定律得
(m1+m2)v02+Ep=
m1v12+
m2v22,代入数据解得Ep=0.27J,故D正确.
11.A、B两球之间压缩一根轻弹簧(不拴接),静置于光滑水平桌面上,已知A、B两球的质量分别为2m和m.当用板挡住A球而只释放B球时,B球被弹出落于距桌边水平距离为x的地面上,B球离开桌面时已与弹簧分离,如图10所示.若以同样的程度压缩弹簧,取走A左边的挡板,将A、B同时释放,则B球的落地点距离桌边的水平距离为( )
图10
A.
B.
xC.xD.
x
答案 D
解析 当用板挡住A球而只释放B球时,根据能量守恒有弹簧的弹性势能Ep=
mv02,根据平抛运动规律有x=v0t.当以同样的程度压缩弹簧,取走A左边的挡板,将A、B同时释放,设A、B的水平速度大小分别为vA和vB,规定向左为正方向,则根据动量守恒和能量守恒有2mvA-mvB=0,Ep=
×2mvA2+
mvB2,解得vB=
v0,B球的落地点距离桌边的水平距离为x′=vBt=
x,D选项正确.
12.(2019·江苏海安月考)下雪天,卡车在平直的高速公路上匀速行驶,司机突然发现前方停着一辆故障车,他将刹车踩到底,车轮抱死(不再滚动),但卡车仍向前滑行,并撞上故障车,且推着它共同滑行了一段距离后停下.已知卡车质量M为故障车质量m的5倍,设卡车与故障车相撞前的速度为v1,两车相撞后的速度变为v2,相撞的时间极短,求:
(1)v1∶v2;
(2)卡车在碰撞过程中受到的冲量大小.
答案
(1)6∶5
(2)M(v2-v1)
解析
(1)因为相撞的时间极短,所以两车之间的内力远大于外力,两车相撞前后动量守恒,有Mv1=(M+m)v2,而M=5m,故v1∶v2=6∶5.
(2)根据动量定理知,卡车在碰撞过程中受到的冲量等于卡车动量的改变量,即I=M(v2-v1).
13.(2018·孝感市八校联盟高二下期末)如图11所示,在光滑水平面上,使滑块A以2m/s的速度向右运动,滑块B以4m/s的速度向左运动并与滑块A发生相互作用,已知滑块A、B的质量分别为1kg、2kg,滑块B的左侧连有水平轻弹簧,求:
图11
(1)当滑块A的速度减为0时,滑块B的速度大小;
(2)两滑块相距最近时,滑块B的速度大小;
(3)弹簧弹性势能的最大值.
答案