届高考数学二轮复习函数与导数导数的热点问题专题突破讲义学案文全国通用.docx

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届高考数学二轮复习函数与导数导数的热点问题专题突破讲义学案文全国通用

第4讲　导数的热点问题

利用导数探求函数的极值、最值是函数的基本问题，高考中常与函数零点、方程根及不等式相结合，难度较大.

热点一　利用导数证明不等式

用导数证明不等式是导数的应用之一，可以间接考查用导数判定函数的单调性或求函数的最值，以及构造函数解题的能力．

例1　（2017届云南省昆明市第一中学月考）设函数f（x）＝ax2－－lnx，曲线y＝f（x）在x＝2处与直线2x＋3y＝0垂直．

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）当x>1时，证明：

f（x）>－e1－x.

（1）解　函数f（x）的定义域为（0，＋∞），

f′（x）＝2ax－，

由已知得f′

（2）＝，所以a＝，

所以f′（x）＝x－＝.

由f′（x）>0，得x>1，由f′（x）<0，得0

所以函数f（x）的单调递增区间为（1，＋∞），单调递减区间为（0,1）．

（2）证明　令g（x）＝f（x）－，

则g′（x）＝x－＋－e1－x，

由－e1－x＝，

令h（x）＝ex－1－x，则h′（x）＝ex－1－1，

当x>1时，h′（x）>0，所以h（x）在（1，＋∞）上为增函数，

所以h（x）>h

（1）＝0，所以－e1－x>0，

即－e1－x>－，

所以g′（x）>x－＋，

而x－＋＝>>0，

所以g′（x）>0，

所以g（x）在（1，＋∞）上为增函数，所以g（x）>g

（1）＝0，即f（x）>－e1－x.

思维升华　用导数证明不等式的方法

（1）利用单调性：

若f（x）在[a，b]上是增函数，则①∀x∈[a，b]，则f（a）≤f（x）≤f（b）；②对∀x1，x2∈[a，b]，且x1

（2）利用最值：

若f（x）在某个范围D内有最大值M（或最小值m），则对∀x∈D，有f（x）≤M（或f（x）≥m）．

（3）证明f（x）

跟踪演练1　已知函数f（x）＝.

（1）设a>0，若函数f（x）在区间上存在极值，求实数a的取值范围；

（2）如果当x≥1时，不等式f（x）≥恒成立，求实数k的取值范围．

解　

（1）因为f（x）＝，则f′（x）＝－（x>0），

当00；当x>1时，f′（x）<0.

所以f（x）在（0,1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减．

所以f（x）在x＝1处取得极大值．

因为f（x）在区间（其中a>0）上存在极值，

所以解得

故实数a的取值范围为.

（2）不等式f（x）≥，即≥k3＋k.

设g（x）＝，则g′（x）＝.

令h（x）＝x－lnx，则h′（x）＝1－.

因为x≥1，所以h′（x）≥0，

则h（x）在[1，＋∞）上单调递增．

所以h（x）的最小值为h

（1）＝1>0，

从而g′（x）>0，故g（x）在[1，＋∞）上单调递增，

所以g（x）的最小值为g

（1）＝2，

所以k3＋k≤2，即（k－1）（k2＋k＋2）≤0，

解得k≤1.故k的取值范围为（－∞，1]．

热点二　利用导数讨论方程根的个数

方程的根、函数的零点、函数图象与x轴的交点的横坐标是三个等价的概念，解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值，画出函数图象的走势，通过数形结合思想直观求解．

例2　（2017届汕头期末）设函数f（x）＝x2－（a＋1）x＋alnx，a>0.

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）讨论函数f（x）的零点个数．

解　

（1）函数f（x）的定义域为（0，＋∞）．

因为f′（x）＝x－（a＋1）＋

＝＝（x>0）．

当0

令f′（x）>0，得01，

所以函数f（x）的单调增区间为（0，a）和（1，＋∞），

单调减区间为（a,1）;

当a＝1时，f′（x）＝≥0恒成立，

所以函数f（x）的单调增区间为（0，＋∞），无减区间；

当a>1时，令f′（x）<0，得1

令f′（x）>0，得0a，

所以函数f（x）的单调增区间为（0,1）和（a，＋∞），

单调减区间为（1，a）.

（2）由

（1）可知，当0

函数f（x）的单调增区间为（0，a）和（1，＋∞），

单调减区间为（a,1），

所以f（x）极大值＝f（a）＝－a2－a＋alna<0，

f（x）极小值＝f

（1）＝－－a<0，

因为f（2a＋2）＝aln（2a＋2）>0,

所以函数f（x）有唯一零点；

当a＝1时，函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增，

又f

（1）＝－<0，f（4）＝ln4>0，

所以函数f（x）有唯一零点；

当a>1时，函数f（x）的单调递增区间是（0,1）和（a，＋∞），单调递减区间是（1，a），

所以f（x）极大值＝f

（1）＝－－a<0，

f（x）极小值＝f（a）＝－a2－a＋alna<0，

f（2a＋2）＝aln（2a＋2）>0,

综上，函数f（x）有唯一零点.

思维升华　

（1）函数y＝f（x）－k的零点问题，可转化为函数y＝f（x）和直线y＝k的交点问题．

（2）研究函数y＝f（x）的值域，不仅要看最值，而且要观察随x值的变化y值的变化趋势．

跟踪演练2　（2017届运城期中）已知函数f（x）＝x3－（a＋1）x2＋x－（a∈R）．

（1）若a<0，求函数f（x）的极值；

（2）当a≤1时，判断函数f（x）在区间[0,2]上零点的个数．

解　

（1）f′（x）＝ax2－（a＋1）x＋1

＝a（x－1），

因为a<0，所以<1，

当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

1

（1，＋∞）

f′（x）

－

0

＋

0

－

f（x）

递减

极小值

递增

极大值

递减

所以f（x）的极小值为f ＝，

极大值为f

（1）＝－（a－1）．

（2）由

（1）得f′（x）＝ax2－（a＋1）x＋1

＝a（x－1），

①当a<0时，f（x）在[0,1]上单调递增，在[1,2]上单调递减．

又f

（1）＝－（a－1）>0，f（0）＝－<0，

f

（2）＝（2a－1）<0，

所以f（x）在[0,2]上有两个零点；

②当a＝0时，f（x）＝－x2＋x－，在[0,2]上有两个零点；

③当0

f（x）在[0,1]上单调递增，在[1,2]上单调递减，

又f

（1）＝－（a－1）>0，f（0）＝－<0，

f

（2）＝（2a－1）≤0，

所以f（x）在[0,2]上有两个零点；

④当

f（x）在（0,1）上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．

又f

（1）＝－（a－1）>0，f（0）＝－<0，

f ＝＝>0，

所以f（x）在[0,1]上有且仅有一个零点，在[1,2]上没有零点，

所以f（x）在[0,2]上有且仅有一个零点；

⑤当a＝1时，f′（x）≥0恒成立，f（x）在[0,2]上单调递增，

因为f（0）＝－<0，f

（2）＝>0，

所以f（x）在[0,2]上有且仅有一个零点，

综上可知，当

当a≤时，f（x）在[0,2]上有两个零点．

热点三　利用导数解决生活中的优化问题

生活中的实际问题受某些主要变量的制约，解决生活中的优化问题就是把制约问题的主要变量找出来，建立目标问题即关于这个变量的函数，然后通过研究这个函数的性质，从而找到变量在什么情况下可以达到目标最优．

例3　在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图）．设小正方形边长为x厘米，矩形纸板的两边AB，BC的长分别为a厘米和b厘米，其中a≥b.

（1）当a＝90时，求纸盒侧面积的最大值；

（2）试确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．

解　

（1）因为矩形纸板ABCD的面积为3600平方厘米，

故当a＝90时，b＝40，

从而包装盒子的侧面积

S＝2×x（90－2x）＋2×x（40－2x）

＝－8x2＋260x，x∈（0,20）．

因为S＝－8x2＋260x＝－82＋，

故当x＝时，侧面积最大，最大值为平方厘米．

（2）包装盒子的体积

V＝（a－2x）（b－2x）x

＝x[ab－2（a＋b）x＋4x2]，x∈，b≤60.

V＝x[ab－2（a＋b）x＋4x2]≤x（ab－4x＋4x2）

＝x（3600－240x＋4x2）

＝4x3－240x2＋3600x.

当且仅当a＝b＝60时等号成立．

设f（x）＝4x3－240x2＋3600x，x∈（0,30）．

则f′（x）＝12（x－10）（x－30）．

所以当0＜x＜10时，f′（x）＞0，f（x）在（0,10）上单调递增；

当10＜x＜30时，f′（x）＜0，f（x）在（10,30）上单调递减．

因此当x＝10时，f（x）有最大值f（10）＝16000，

此时a＝b＝60，x＝10.

所以当a＝b＝60，x＝10时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米．

思维升华　利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤

（1）建模：

分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f（x）．

（2）求导：

求函数的导数f′（x），解方程f′（x）＝0.

（3）求最值：

比较函数在区间端点和使f′（x）＝0的点的函数值的大小，最大（小）者为最大（小）值．

（4）作答：

回归实际问题作答．

跟踪演练3　图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形ABCD是矩形，弧CmD是半圆，凹槽的横截面的周长为4.若凹槽的强度T等于横截面的面积S与边AB的乘积，设AB＝2x，BC＝y.

（1）写出y关于x的函数表达式，并指出x的取值范围；

（2）求当x取何值时，凹槽的强度最大．

解　

（1）易知半圆CmD的半径为x，

故半圆CmD的弧长为πx.

所以4＝2x＋2y＋πx，

得y＝.

依题意知0

所以y＝.

（2）依题意，设凹槽的强度为T，横截面的面积为S，则有

T＝AB·S＝2x

＝8x2－（4＋3π）x3.

令T′＝16x－3（4＋3π）x2＝0，得x＝0或x＝.

因为0<<，

所以当00，

当

所以当x＝时凹槽的强度最大．

真题体验

（2017·全国Ⅰ）已知函数f（x）＝ae2x＋（a－2）ex－x.

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．

解　

（1）f（x）的定义域为（－∞，＋∞），

f′（x）＝2ae2x＋（a－2）ex－1＝（aex－1）（2ex＋1）．

（i）若a≤0，则f′（x）<0，所以f（x）在（－∞，＋∞）上单调递减．

（ii）若a>0，则由f′（x）＝0，得x＝－lna.

当x∈（－∞，－lna）时，f′（x）<0；

当x∈（－lna，＋∞）时，f′（x）>0.

所以f（x）在（－∞，－lna）上单调递减，在（－lna，＋∞）上单调递增．

（2）（i）若a≤0，由

（1）知，f（x）至多有一个零点．

（ii）若a>0，由

（1）知，当x＝－lna时，f（x）取得最小值，最小值为f（－lna）＝1－＋lna.

①当a＝1时，由于f（－lna）＝0，故f（x）只有一个零点；

②当a∈（1，＋∞）时，由于1－＋lna>0