成都初中名校数学竞赛班选拔考试模拟试题.docx

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成都初中名校数学竞赛班选拔考试模拟试题

2013成都初中名校数学竞赛班选拔考试模拟试题

满分120分，考试时间120分钟

一，填空题（每题4分，共64分）

1，如图，平行四边形ABCD中，E是AD上的一点，且AE=1/3AD，对角线AC，BD交于点O，EC交BD于F，BE交AC于G，如果平行四边形ABCD的面积为100平方厘米，那么，△GEF的面积为（　　）平方厘米。

2，设一列数a1，a2，a3，…，a2010中任意三个相邻数之和都是35，已知a3=2x，a20=15，a99=3-x，那么a2011=（）。

3，某出租汽车停车站已停有6辆出租汽车，第一辆出租车出发后，每隔4分钟就有一辆出租汽车开出，在第一辆汽车开出2分钟后，有一辆出租汽车进站，以后每隔6分钟就有一辆出租汽车回站，回站的出租汽车，在原有的出租汽车依次开出之后又依次每隔4分钟开出一辆，问：

第一辆出租汽车开出后，经过最少（）分钟，车站不能正点发车。

4，汽车以每小时72千米的速度笔直地开向寂静的山谷，驾驶员按一声喇叭，4秒后听到回响，已知声音的速度是每秒340米，听到回响时汽车离山谷听距离是（）米．

5，有一个正方体，A，B，C的对面分别是x，y，z三个字母，如图所示，将这个正方体从现有位置依此翻到第1，2，…，12格，这时顶上的字母是（）。

6，大于1000的某数，若加上79成为一个整数的平方；若加上204，又得到另一个整数的平方，则原来这个数为（）。

7，如图，C、D是线段AB上两点，已知图中所有线段的长度都是正整数，且总和为29，则线段AB的长度是（）。

8，已知由小到大的10个正整数a1，a2，a3，…，a10的和是2000，那么a5的最大值是（），这时a10的值应是（）。

9，一辆自行车，前胎行驶5000km就不能继续使用，后胎行驶3000km就不能继续使用，若在行驶中合理交换前后胎，则最多可以行驶（）km。

10，父亲和儿子在一个圆形溜冰场内滑冰．在两人同方向滑行时，父亲时不时地能追上儿子，而在作反方向滑行时，他俩的相会次数更为频繁，并达到了原来的5倍．那么父亲的滑冰速度是儿子的（）倍．

11，在1，3，5，7，…，199这100个自然数中取出若干个数，使得在所取出的数中，任何一个数都不是另一个数的整数倍，这样的数最多能取出（）个．

12,若AB=AC，BG=BH，AK=KG，则∠BAC=（）.

13,如图，正方形的网格中，∠1+∠2=（）.

14,已知三角形的三边a，b，c的长都是整数，且a≤b＜c，如果b=5，则这样的三角形共有（）个．

15，如果对于不小于8的自然数n，当3n+1是一个完全平方数时，n+1都能表示成k个完全平方数的和，那么k的最小值为（）。

16,试写出5个自然数，使得其中任意两个数中较大的一个数可以被这两个数的差整除．（）.

二，选择题（每题4分，共24分）

17，小明根据邻居家的故事写了一首小诗：

“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细端详，父子高兴把家还．”如果用纵轴y表示父亲与儿子行进中离家的距离，用横轴x表示父亲离家的时间，那么下面的图象与上述诗的含义大致吻合的是（　　）。

A

B

C

D

18，轮船往返于一条河的两码头之间，如果船本身在静水中的速度是固定的，那么，当这条河的水流速度增大时，船往返一次所用的时间将（　　）。

A．增多B．减少C．不变D．增多、减少都有可能

19，已知三角形的每条边长的数值都是2001的质因数，那么这样的不同的三角形共有（　　）

A．6B．7C．5D．9

20，使方程3x+2y=200成立的正整数对（x，y）有（　　）

A．66个B．33个C．30个D．18个

21，三元一次方程x+y+z=1999的非负整数解的个数有（　　）。

A．20001999个B．19992000个C．2001000个D．2001999个

22,如图，有一矩形纸片ABCD，AB=10，AD=6，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF的面积为（）.

A．4B．6C．8D．10

三，应用题（每题8分，共32分）

23，从1，2，…，9中任取n个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个，也可以是全部），它们的和能被10整除，求n的最小值．

（详细过程才给分）

24，以[x]表示不超过x的最大整数。

记A=[x]+[2x]+[3x]+[4x]．在所有的正整数中，有些数是A取不到的，把所有A取不到的正整数从小到大排起来，第30个数是多少？

25，完成同一件工作，甲单独做所需时间为乙、丙两人合做所需时间的p倍，乙单独做所需时间为甲、丙两人合做所需时间的q倍；丙单独做所需时间为甲、乙两人合做所需时间的x倍，求证：

x=（p+q+2）/（pq-1）

26,如图，已知D、E分别是△ABC的边BC、CA上的点，且BD=4，DC=1，AE=5，EC=2．连接AD和BE，它们相交于点P，过点P分别作PQ∥CA，PR∥CB，它们分别与边AB交于点Q、R，则△PQR的面积与△ABC的面积之比为多少？

一，填空题

1,5

2,18,

解：

∵任意三个相邻数之和都是35，

∴a1+a2+a3=a2+a3+a4=35，a2+a3+a4=a3+a4+a5=35，a3+a4+a5=a4+a5+a6=35，

∴a1=a4，a2=a5，a3=a6，∴a1=a3n+1，a2=a3n+2，a3=a3n，∵20=3×6+2，a20=15，

∴a20=a2=15；∵99=3×33

∴a99=a3，

∵a3=2x，a99=3-x，

∴3-x=2x，

∴x=1，

∴a3=2，∵a1+a2+a3=35，

∴a1=35-15-2=18，

∵2011=670×3+1，

∴a2011=a1=18．

故答案为18．

3,解：

∵站内原有的6辆车全部开出用时为4×（6-1）=20分钟．

此时站内又有出租车（20-2）÷6+1=4（辆）

设再经过x分钟站内无车．

x/6+4=x/4x=48

48+20=68（分钟）

答：

经过至少68分钟站内无车．就不能正点发车．

4,解：

由题意声音走的路程为4×340=1360（米），车的速度为72000/3600=20米/秒，

∴车走路程为72000/3600×4=80（米），

则2（听到回响时汽车离山谷听距离）=声音走的路程-车行路程=1360-80=1280（米），

因为声音是来回所以单程为1280÷2=640（米），

故答案填：

640．

5，解：

由图可得，小正方体从图1的位置依次翻到第12格时，“A”在下面，

∵A，B，C的对面分别是x，y，z三个字母，

则这时小正方体朝上面的字母是“x”．

故答案为：

x．

6，解：

∵204-79=125，

若两整数分别为a，a+1，则（a+1）2-a2=125，2a+1=125，a=62，

若两整数分别为a，a+2，则（a+2）2-a2=125，4a+4=125，a不是整数，舍去，

若两整数分别为a，a+3，则（a+3）2-a2=125，6a+9=125，a=19，a2＜1000，

对于a，a+n（n＞3），得到的a更小，更不符合大于1000，

∴a=62，a2=3844，

3844-79=3765．

这个数是3765．

故答案为：

3765．

7，解：

根据题意可得：

AC+AD+AB+CD+CB+DB=29，

即（AC+CB）+（AD+DB）+（AB+CD）=29，

3AB+CD=29，

∵图中所有线段的长度都是正整数，

∴当CD=1时，AB不是整数，

当CD=2时，AB=9，

当CD=3时，AB不是整数，

当CD=4时，AB不是整数，

当CD=5时，AB=8，

…

当CD=8时，AB=7，

又∵AB＞CD，

∴AB只有为9或8．

故答案为：

9或8．

8，解：

设a1，a2，a3，a4为1，2，3，4，

∴a5+a6+a7…+a10=2000-（1+2+3+4）=1990，

∵a6≥a5+1；a7≥a5+2；a8≥a5+3；a9≥a5+4；a10≥a5+5；

∴a5+a6+a7…+a10≥6a5+15，

∴6a5+15≤1990，

解得a5≤32916，

∴a5最大能取329，那么可得a5，a6，a7，a8，a9，只能分别取330，331，332，333，那么a10只能取335．

故答案为329；335．

9，解：

每行驶1km前后胎的损耗度分别为1/5000，1/3000，行驶xkm后交换，继续行驶ykm报废．

x/5000+y/3000=1

x/3000+y/5000=1，

解得x=1875y=1875，

∴最多可行驶1875+1875=3750km，

故答案为3750．

10，解：

设儿子的速度是x，父亲的速度是kx，即父亲速度是儿子速度的k倍，设圆形溜冰场一圈的长是s．

根据题意得：

s/kx-x×5=s/kx+x解得：

k=3/2．

故答案是：

3/2．

11，解：

由题意可知首先考虑大数至少是另一个小数的3倍时，小数都不可取，

因为65×3＜199＜67×3，

所以在67前面的数都可以找到它的整数倍，在67～199后面中的某一个数；

1、3、5、7、…、65共33个数，

因此所取出的数中，任何一个数都不是另一个数的整数倍，这样的数最多能取出100-33=67个．

故答案为67．

12，解：

∵AB=AC，BG=BH，AK=KG，

∴∠ABC=∠ACB，∠G=∠H，∠A=∠G，

∴∠A=∠H，

∵∠ABC=∠G+∠H=2∠A=∠ACB，∠ACB=∠KCH，∠CKH=∠A+∠G=2∠A，

∴∠CKH+∠KCH+∠H=180°，

即5∠A=180°，

∴∠A=36°．

故答案为：

36°．

13，解：

如图，连接BC，

∵AM=CN=2，∠AMC=∠CNB=90°，MC=BN=1，

∴△AMC≌△CNB（SAS），

∴AC=BC，∠1=∠BCN，

又∠1+∠ACM=90°，∴∠BCN+∠ACM=90°，

即∠ACB=180°-（∠BCN+∠ACM）=90°，

△ABC为等腰直角三角形，

∠BAC=45°，

∴∠1+∠2=90°-∠BAC=45°．

故答案为：

45°．

14，解：

若三边能构成三角形则必有两小边之和大于第三边，即a+b＞c．

∵b＜c，

∴b＜c＜a+b，

又∵c-b＜a≤b，三角形的三边a，b，c的长都是整数，

∴1＜a≤5，

∴a=2，3，4，5．

当a=2时，5＜c＜7，此时，c=6；

当a=3时，5＜c＜8，此时，c=6，7；

当a=4时，5＜c＜9，此时，c=6，7，8；

当a=5时，5＜c＜10，此时，c=6，7，8，9；

∴一共有1+2+3+4=10个．

故答案为：

10．

15，解：

设3n+1=m2，则3n=m2-1=（m+1）（m-1），

故m+1，m-1中必有一个是3的倍数，

不妨设m-1=3a，

则3n=m2-1=（m+1）（m-1）=（3a+2）•3a，

即n=a（3a+2），

则n+1=a（3a+2）+1=3a2+2a+1=a2+a2+（a+1）2，

故其最小值为3．

故答案为：

3．

16，解：

1680，1692，1694，1695，1696为满足条件的5个数（答案不唯一）．

以上5个数可用以下步骤找出：

第一步：

2，3，4为满足要求的三个数；

第二步：

设a，a+2，a+3，a+4为满足条件的四个数，则a可被2，3，4整除，

取a=12，得满足条件的四个数为12，14，15，16；

第三步：

设b，b+12，b+14，b+15，b+16为满足条件的五个数，

取12，14，15，16的最小公倍数为b，即b=1680，

得满足条件的五个数1680，1692，1694，1695，1696．

二，选择题

17，解：

根据父亲离家的距离在这个过程中分为3段，先远后不变最后到家，儿子离家的路程也分为3段．

故选C．

18，解：

设两码头之间距离为s，船在静水中速度为a，水速为v0，则往返一次所用时间为t0=sa+v0+sa-v0，

设河水速度增大后为v，（v＞v0）则往返一次所用时间为t=sa+v+sa-v．

∴t0-t=sa+v0+sa-v0-sa+v-sa-v=s[（1a+v0-1a+v）+（1a-v0-1a-v）]

=s[v-v0（a+v0）（a+v）+v0-（a-v0）（a-v）]

=s（v-v0）[1（a+v0）（a+v）-1（a-v0）（a-v）]

由于v-v0＞0，a+v0＞a-v0，a+v＞a-v

所以（a+v0）（a+v）＞（a-v0）（a-v）

∴1（a+v0）（a+v）＜1（a-v0）（a-v），即1（a+v0）（a+v）-1（a-v0）（a-v）＜0，

∴t0-t＜0，即t0＜t，

因此河水速增大所用时间将增多．

故选A．可以假设具体数字尝试。

19，解：

2001=3×23×29，3、23、29都是质数，

能组成三角形的有3、3、3，23、23、23，29、29、29，

3、23、23，3、29、29，

23、23、29，23、29、29，

共能组成7个不同的三角形．

故选B．

20，解：

由题意得：

x=200-2y/3，

∵x和y的值取正整数，200是偶数

∴200-2y＞0，且是3的倍数，x只能取偶数，

根据以上条件可得0＜x＜2003，

∴x只能取2，4，6，…64，66，共33个数，

即方程成立的正整数对（x，y）有33个．

故答案选B．

21，解：

当x=0时，y+z=1999，y分别取0，1，2…，1999时，z取1999，1998，…，0，有2000个整数解；

当x=1时，y+z=1998，有1999个整数解；

当x=2时，y+z=1997，有1998个整数解；

…

当x=1999时，y+z=0，只有1组整数解，

故非负整数解的个数有2000+1999+1998+…+3+2+1=2001000（个），

故选C．

22，解：

由图可知经过两次折叠后（最右边的图形中），

AB=AD-BD=AD-（10-AD）=2，

BD=EC=10-AD=4．

∵AD∥EC，

∴△AFB∽△EFC．

∴AB/EC=BF/FC．

∵AB=2，EC=4，

∴FC=2BF．

∵BC=BF+CF=6，

∴CF=4．

S△EFC=EC×CF÷2=8．

故选C．

三，应用题

23，解：

当n=4时，数1，3，5，8中没有若干个数的和能被10整除．（3分）

当n=5时，设a1，a2，a5是1，2，…，9中的5个不同的数．

若其中任意若干个数，它们的和都不能被10整除，则a1，a2，a5中不可能同时出现1和9；2和8；3和7；4和6．

于是a1，a2，…，a5中必定有一个数是5．

若a1，a2，…，a5中含1，则不含9．于是不含4（4+1+5=10），故含6；于是不含3（3+6+1=10），故含7；

于是不含2（2+1+7=10），故含8．但是5+7+8=20是10的倍数，矛盾．

若a1，a2，…，a5中含9，则不含1．于是不含6（6+9+5=20），故含4；于是不含7（7+4+9=20），故含3；

于是不含8（8+9+3=10），故含2．但是5+3+2=10是10的倍数，矛盾．

综上所述，n的最小值为5．（8分）

24，解：

∵随着x增大，[x]，[2x]，[3x]，[4x]中有时候只有一个数会增加1，

如x=0.25时，在x＜0.25时，[x]，[2x]，[3x]都是0，[4x]是1，A=0+0+0+1=1；

当4x=1时，有时几个数同时增加1，使得中间数有跳过．

如当0.25＜x＜0.5，A=0+0+1+1=2，当x=0.5时，A=0+1+1+2，中间就跳过了3．

如当0.5＜x＜1，A=0+1+2+3，当x=1，A=1+2+3+4，中间跳过3，7，8，9．

再增加也是这个规律，每隔10会有一个循环．

∴从小到大排列，第30个数应该是，30除以4等于7余2，

∴第30个数是为77．

故答案为：

77．

25,解：

设甲、乙、丙三人完成同一件工作所需要的时间分别为a、b、c天，则

a=bc/b+c•p

b=ac/a+c•q

c=ab/a+b•x，

∴p=a（b+c）/bc

q=b（a+c）/ac

x=c（a+b）/ab，

∴p+q+2/（pq-1）=a（b+c）/bc+b（a+c）/ac+2除以a（b+c）/bc•b（a+c）/ac-1=c（a+b）/ab，

∴x=p+q+2/（pq-1）．

26.解：

如图：

过点E作EF∥AD，且交BC于点F，则CF/FD=CE/EA=25，

∴FD=5/5+2×CD=5/7，

∵PQ∥CA，

∴PQ/EA=BP/BE=BD/BF=4/（4+5/7）=28/33，

于是PQ=140/33，

∵PQ∥CA，PR∥CB，

∴∠QPR=∠ACB，

∵△PQR∽△CAB，

∴S△PQRS△CAB=（PQ/CA）2=（20/33）2=400/1089．

故答案是：

400/1089