层次分析法及matlab程序.docx

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层次分析法及matlab程序

层次分析法建模

层次分析法（AHP－AnalyticHierachyprocess）----多目标决策方法

70年代由美国运筹学家T·L·Satty提出的，是一种定性与定量分析相结合的多目标决策分析方法论。

吸收利用行为科学的特点，是将决策者的经验判断给予量化，对目标（因素）结构复杂而且缺乏必要的数据情况下，採用此方法较为实用，是一种系统科学中，常用的一种系统分析方法，因而成为系统分析的数学工具之一。

传统的常用的研究自然科学和社会科学的方法有：

机理分析方法：

利用经典的数学工具分析观察的因果关系；

统计分析方法：

利用大量观测数据寻求统计规律，用随机数学方法描述（自然现象、社会现象）现象的规律。

基本内容：

（1）多目标决策问题举例AHP建模方法

（2）AHP建模方法基本步骤

　　　　　　（3）AHP建模方法基本算法

（3）AHP建模方法理论算法应用的若干问题。

参考书：

1、姜启源，数学模型（第二版，第9章；第三版，第8章），高等教育出版社

2、程理民等，运筹学模型与方法教程，（第10章），清华大学出版社

3、《运筹学》编写组，运筹学（修订版），第11章，第7节，清华大学出版社

一、问题举例：

A．大学毕业生就业选择问题

获得大学毕业学位的毕业生，“双向选择”时，用人单位与毕业生都有各自的选择标准和要求。

就毕业生来说选择单位的标准和要求是多方面的，例如：

1能发挥自己的才干为国家作出较好贡献（即工作岗位适合发挥专长）；

2工作收入较好（待遇好）；

3生活环境好（大城市、气候等工作条件等）；

4单位名声好（声誉-Reputation）；

5工作环境好（人际关系和谐等）

6发展晋升（promote,promotion）机会多（如新单位或单位发展有后劲）等。

问题：

现在有多个用人单位可供他选择，因此，他面临多种选择和决策，问题是他将如何作出决策和选择？

——或者说他将用什么方法将可供选择的工作单位排序？

Ｂ.假期旅游地点选择

暑假有3个旅游胜地可供选择。

例如：

：

苏州杭州，北戴河，桂林，到底到哪个地方去旅游最好？

要作出决策和选择。

为此，要把三个旅游地的特点，例如：

①景色；②费用；③居住；④环境；⑤旅途条件等作一些比较——建立一个决策的准则，最后综合评判确定出一个可选择的最优方案。

目标层

准则层

方案层

C．资源开发的综合判断

7种金属可供开发，开发后对国家贡献可以通过两两比较得到，决定对哪种资源先开发，效用最用。

二、问题分析：

例如旅游地选择问题：

一般说来，此决策问题可按如下步骤进行：

（S1）将决策解分解为三个层次，即：

目标层：

（选择旅游地）

准则层：

（景色、费用、居住、饮食、旅途等5个准则）

方案层：

（有，，三个选择地点）

并用直线连接各层次。

（S2）互相比较各准则对目标的权重，各方案对每一个准则的权重。

这些权限重在人的思维过程中常是定性的。

例如：

经济好，身体好的人：

会将景色好作为第一选择；

中老年人：

会将居住、饮食好作为第一选择；

经济不好的人：

会把费用低作为第一选择。

而层次分析方法则应给出确定权重的定量分析方法。

（S3）将方案后对准则层的权重，及准则后对目标层的权重进行综合。

（S4）最终得出方案层对目标层的权重，从而作出决策。

以上步骤和方法即是AHP的决策分析方法。

三、确定各层次互相比较的方法——成对比较矩阵和权向量

在确定各层次各因素之间的权重时，如果只是定性的结果，则常常不容易被别人接受，因而Santy等人提出：

一致矩阵法

即：

1.不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较

2.对此时採用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸因素相互比较的困难，提高准确度。

因素比较方法——成对比较矩阵法：

目的是，要比较某一层个因素对上一层因素O的影响（例如：

旅游决策解中，比较景色等5个准则在选择旅游地这个目标中的重要性）。

採用的方法是：

每次取两个因素和比较其对目标因素O的影响，并用表示，全部比较的结果用成对比较矩阵表示，即：

（1）

由于上述成对比较矩阵有特点：

故可称为正互反矩阵：

显然，由，即：

，故有：

例如：

在旅游决策问题中：

=表示：

故：

=表示：

即：

景色为4，居住为1。

=表示：

即：

费用重要性为7，居住重要性为1。

因此有成对比较矩阵：

？

？

问题：

稍加分析就发现上述成对比较矩阵的问题：

1即存在有各元素的不一致性，例如：

既然：

所以应该有：

而不应为矩阵中的

②成对比较矩阵比较的次数要求太　　，因：

个元素比较次数为：

次，

因此，问题是：

如何改造成对比较矩阵，使由其能确定诸因素对上层因素O的权重？

对此Saoty提出了：

在成对比较出现不一致情况下，计算各因素对因素（上层因素）O的权重方法，并确定了这种不一致的容许误差范围。

为此，先看成对比较矩阵的完全一致性——成对比较完全一致性

四：

一致性矩阵

Def：

设有正互反成对比较矩阵：

（4）

除满足：

（i）正互反性：

即

而且还满足：

（ii）一致性：

即

//有点点错误

则称满足上述条件的正互反对称矩阵A为一致性矩阵，简称一致阵。

一致性矩阵（一致阵）性质：

性质1：

的秩　Rank（A）=1//显然

的唯一非0的特征根为n

性质2：

的任一列（行）向量都是对应特征根的特征向量：

即有（特征向量、特征值）：

，则向量

满足：

即：

我的理解:

通过A（变换A与W中的元素有关）变换将一致W矩阵变成权向量W（特征向量）,如果正互反矩阵W’接近一致矩阵,同样的道理变换A可以将W’变成权向量（这里的权向量与W’稍有不同）

启发与思考：

既然一致矩阵有以上性质，即n个元素W1,W2,W3,…Wn构成的向量

是一致矩阵A的特征向量，则可以把向量W归一化后的向量，看成是诸元素W1,W2,W3,…Wn

目标的权向量，因此，可以用求A的特征根和特征向量的办法，求出元素W1,W2,W3,…Wn相对于目标O的劝向量。

解释：

一致矩阵即：

件物体，它们重量分别为，将他们两两比较重量，其比值构成一致矩阵，若用重量向量右乘，则

：

分析：

若重量向量未知时，则可由决策者对物体之间两两相比关系，主观作出比值的判断，或用Delphi（调查法）来确定这些比值，使矩阵（不一定有一致性）为已知的，并记此主观判断作出的矩阵为（主观）判断矩阵，并且此（不一致）在不一致的容许范围内，再依据：

的特征根或和特征向量连续地依赖于矩阵的元素，即当离一致性的要求不太远时，的特征根和特征值（向量）与一致矩阵的特征根和特征向量也相差不大的道理：

由特征向量求权向量的方法即为特征向量法，并由此引出一致性检查的方法。

问题：

Remark

以上讨论的用求特征根来求权向量的方法和思路，在理论上应解决以下问题：

1．一致阵的性质1是说：

一致阵的最大特征根为（即必要条件），但用特征根来求特征向量时，应回答充分条件：

即正互反矩阵是否存在正的最大特征根和正的特征向量？

且如果正互反矩阵的最大特征根时，是否为一致阵？

2．用主观判断矩阵的特征根和特征向量连续逼近一致阵的特征根和特征向量时，即：

由

得到：

即：

是否在理论上有依据。

3．一般情况下，主观判断矩阵在逼近于一致阵的过程中，用与接近的来代替，即有，这种近似的替代一致性矩阵的作法，就导致了产生的偏差估计问题，即一致性检验问题，即要确定一种一致性检验判断指标，由此指标来确定在什么样的允许范围内，主观判断矩阵是可以接受的，否则，要　　两两比较构造主观判断矩阵。

此问题即一致性检验问题的内容。

以上三个问题：

前两个问题由数学严格比较可获得（见教材P325，定理1、定理2）。

第3个问题：

Satty给出一致性指标（TH1,TH2介绍如下：

）

附：

Th1：

（教材P326，perronTh比隆　1970　）对于正矩阵（的所有元素为正数）

（1）的最大特征根是正单根；

（2）对应正特征向量（的所有分量为正数）

（3）　　其中：

为半径向量，是对应的归一化特征向量

证明：

（3）可以通过将化为标准形证明

Th2：

阶正互反阵A的最大特征根；

当时，是一致阵

五、一致性检验——一致性指标：

1．一致性检验指标的定义和确定——（平均值）的定义：

当人们对复杂事件的各因素，采用两两比较时，所得到的主观判断矩阵，一般不可直接保证正互反矩阵就是一致正互反矩阵，因而存在误差（及误差估计问题）。

这种误差，必然导致特征值和特征向量之间的误差。

此时就导致问题与问题之间的差别。

（上述问题中是主观判断矩阵的特征值，是带有偏差的相对权向量）。

这是由判断矩阵不一致性所引起的。

因此，为了避免误差太大，就要衡量主观判断矩阵的一致性。

因为：

①当主观判断矩阵为一致阵时就有：

为一致阵时有：

（a[ii]为对角线上的值，按照一致性矩阵的理解，它应该为1）

此时存在唯一的非　　　　　

（由一致阵性质1：

Rark（4）=1，有唯一非O最大特征根且）

②当主观判断矩阵不是一致矩阵时，此时一般有：

　　（Th2）

此时，应有：

　　（不大理解）

即：

所以，可以取其平均值作为检验主观判断矩阵的准则，一致性的指标，

即：

显然：

（1）当时，有：

，为完全一致性

（2）值越大，主观判断矩阵的完全一致性越差，即：

偏离越远（用特征向量作为权向量引起的误差越大）

（3）一般，认为主观判断矩阵的一致性可以接受，否则应重新进行两两比较，构造主观判断矩阵。

2．随机一致性检验指标——

问题：

实际操作时发现：

主观判断矩阵的维数越大，判断的一致性越差，故应放宽对高维矩阵的一致性要求。

于是引入修正值来校正一致性检验指标：

即定义的修正值表为：

的维数

123456789

0.000.000.580.961.121.241.321.411.45

并定义新的一致性检验指标为：

随机一致性检验指标——的解释：

为确定的不一致程度的容许范围，需要确定衡量的一致性指示的标准。

于是Satty又引入所谓随机一致性指标，其定义和计算过程为：

1对固定的，随机构造正互反阵，其元素从1～9和1～中随机取值，且满足与的互反性，即：

，且.

2然后再计算的一致性指标，因此是非常不一致的，此时，值相当大.

3如此构造相当多的，再用它们的平均值作为随机一致性指标。

4Satty对于不同的～11），用100～500个样本计算出上表所列出的随机一致性指标作为修正值表。

3.一致性检验指标的定义——一致性比率。

由随机性检验指标可知：

当时，，这是因为1,2阶正互反阵总是一致阵。

对于的成对比较阵，将它的一致性指标与同阶（指相同）的随机一致性指标之比称为一致性比率——简称一致性指标，

即有：

一致性检验指标的定义——一致性比率

定义：

：

当：

时，认为主观判断矩阵的不一致程度在容许范围之内，可用其特征向量作为权向量。

否则，对主观判断矩阵重新进行成对比较，构重新的主观判断矩阵。

注：

上式的选取是带有一定主观信度的。

六、标度——比较尺度解：

在构造正互反矩阵时，当比较两个可能是有不同性质的因素和对于上层因素O的影响时，採用什么样的相对刻度较好，即的元素的值在（1～9）或（1～）或更多的数字，Satty提出用1～9尺度最好，即取值为1～9或其互反数1～，心理学家也提出：

人们区分信息等级的极限解能力为±2。

可见对阶矩阵，只需作出个判断值即可

标度

定义

1

3

5

7

9

2，4，6，8，

倒数1，

因素与因素相同重要

因素比因素稍重要

因素比