全等三角形全套练习题.docx
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全等三角形全套练习题
全等三角形
一、全等三角形
1、定义：
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
特征：
形状相同、大小相等、完全重合。
一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。
平移、翻折、旋转前后的图形全等。
2、全等三角形的表示：
“全等”用“≌”表示，“∽”表示两图形的形状相同，“=”表示大小相等，读作“全等于”。
注意：
记两三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上。
全等三角形的对应元素：
对应顶点，对应边，对应角
3、全等三角形的性质
（1）全等三角形的对应边相等、对应角相等。
（2）全等三角形的周长相等、面积相等。
（3）全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
4、全等三角形的判定
（1）边边边：
三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS”）
（2）边角边：
两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS”）
（3）角边角：
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ASA”）
（4）角角边：
两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“AAS”）
（5）斜边、直角边：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“HL”）
5、证明两个三角形全等的基本思路：
二、角的平分线
1、（性质）角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
2、（判定）角的部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
三、学习全等三角形应注意的问题
（1）要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义；
（2）表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；
（3）“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；
（4）时刻注意图形中的隐含条件，如“公共角”、“公共边”、“对顶角”。
（一）三角形全等的判定一（SSS）
1．如图，AB＝AD，CB＝CD．△ABC与△ADC全等吗？
为什么？
２．如图，C是AB的中点，AD＝CE，CD＝BE．
求证△ACD≌△CBE．
３．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证∠A=∠D．
４．已知，如图，AB=AD，DC=CB．求证：
∠B=∠D.
５．如图，AD＝BC，AB＝DC，DE＝BF.求证：
BE＝DF.
（二）三角形全等的判定二（SAS）
1．如图，AC和BD相交于点O，OA=OC，OB=OD．求证DC∥AB．
2．如图，△ABC≌△
，AD，
分别是△ABC，△
的对应边上的中线，AD与
有什么关系？
证明你的结论．
3．如图，已知AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝BE，AE＝BD，试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并证明你的结论．
4．已知：
如图，AD∥BC，AD=CB，求证：
△ADC≌△CBA．
5．已知：
如图AD∥BC，AD=CB，AE=CF。
求证：
△AFD≌△CEB．
2
A
C
BH
E
D
1
6．已知，如图，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2。
求证：
△ABD≌△ACE．
7．已知：
如图，点B、E、C、F在同一直线上，AB∥DE，且AB=DE，BE=CF.求证：
AC∥DF．
8．已知：
如图，AD是BC上的中线，且DF=DE．求证:
BE∥CF．
9．如图，在△ABC中，分别延长中线BE、CD至F、H，使EF＝BE，DH＝CD，连结AF、AH．
求证：
（1）AF＝AH；
（2）点A、F、H三点在同一直线上；
（3）HF∥BC.
10．如图，在△ABC中，AC⊥BC，AC＝BC，直线EF交AC于F，交AB于E，交BC的延长线于D，连结AD、BF，CF＝CD.求证：
BF＝AD，BF⊥AD.
11．证明：
如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线对应相等，那么这两个三角形全等．（提示：
首先分清已知和求证，然后画出图形，再结合图形用数学符号表示已知和求证）
12．证明：
如果两个三角形有两条边和第三边上的中线对应相等，那么这两个三角形全等．
13.已知：
如图，正方形ABCD，BE=CF，求证：
（1）AE=BF；
（2）AE⊥BF.
A
B
C
D
E
F
14．已知：
E是正方形ABCD的边长AD上一点，BF平分∠EBC，交CD于F，求证BE=AE+CF.（提示：
旋转构造等腰）
15.如图，△ABD和△ACE是△ABC外两个等腰直角三角形，∠BAD=∠CAE=900.
（1）判断CD与BE有怎样的数量关系；
（2）探索DC与BE的夹角的大小；
（3）取BC的中点M，连MA，探讨MA与DE的位置关系.
（三）（四）三角形全等的判定三、四（ASA、AAS）
1．如图，点B，F，C，E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD．求证AB=DE，AC=DF．
2．如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD=2.5cm，DE=1.7cm．
求BE的长．
3．已知，D是△ABC的边AB上的一点，DE交AC于点E，DE=FE，FC∥AB.
A
D
B
C
F
E
求证：
AE=CE.
4．已知：
如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．求证：
△ABD≌△CDB.
5．如图，在△ABC中，AC⊥BC，CE⊥AB于E，AF平分∠CAB交CE于点F，过F作FD∥BC交AB于点D.求证：
AC＝AD.
6．如图，AD∥BC，AB∥DC，MN＝PQ.求证：
DE＝BE.
7．如图,在ABC中，∠A＝90°，BD平分B，DE⊥BC于E，且BE＝EC.
（1）求∠ABC与∠C的度数；
（2）求证：
BC＝2AB.
8．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD上一点，且AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC.
（1）求证：
AE⊥BE；
（2）求证：
E是CD的中点；
（3）求证：
AD+BC=AB.
9．已知，如图Rt△ABC，∠BAC=90°，AD⊥BC，D为垂足，∠ABD的平分线交AD于E点，EF∥AC，求证：
AE=EF.
10．△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC.
（1）若D为BC的中点，过D作DM⊥DN分别交AB、AC于M、N，求证：
DM＝DN.
（2）若DM⊥DN分别和BA、AC延长线交于M、N.问DM和DN有何数量关系？
11．已知：
C点的坐标为（4，4），A为y轴负半轴上一动点，连CA，CB⊥CA交x轴于B.
（1）求证：
CA＝CB；
（2）问OB－OA是否为定值，是定值并求其定值.
12．已知A（－4，0），B（0，4），C（0，－4），过O作OM⊥ON分别交AB、AC于M、N两点。
（1）求证：
OM＝ON；
（2）连MN，MN交x轴于Q，若M点的纵坐标为3，求M与N的坐标。
（五）三角形全等的判定五（HL）
1．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是高．求证：
（1）BD=CD；
（2）∠BAD＝∠CAD．
2．如图，AC⊥CB，DB⊥CB，AB＝DC．求证：
∠ABD＝∠ACD．
A
D
E
C
B
F
3．已知：
如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，
．
求证：
（1）
；
（2）
．
4．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB=DC，求证：
EB=FC
5．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE=CF．
求证：
AD是△ABC的角平分线．
（六）角的平分线的性质
1．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，OB=OC．
求证∠1=∠2．
2．如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA交OA于D，PE⊥OB交OB于E．F是OC上的另一点，连接DF，EF．求证DF=EF．
3．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE=CF．
求证：
AD是△ABC的角平分线．
4．如图，在ABC中，∠A＝90°，BD平分B，DE⊥BC于E，且BE＝EC.
（1）求∠ABC与∠C的度数；
（2）求证：
BC＝2AB.
（七）倍长中线法与截长补短法
1．在△ABC中，AB=5，AC=3，AD为BC边的中线，则AD的长
的取值围是（）.
A.1<
<4B.3<
<5C.2<
<3D.0<
<5
2．AD是△ABC中BC边上的中线，AB=4，AC=6，则AD的取值围是.
3．如图，△ABD和△ACE是△ABC外两个等腰直角三角形，∠BAD=∠CAE=900.
（1）判断CD与BE有怎样的数量关系；
（2）探索DC与BE的夹角的大小；
（3）取BC的中点M，连MA，探讨MA与DE的位置关系.
4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD上一点，且AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC.
B
C
E
A
D
（1）求证：
AE⊥BE；
（2）求证：
E是CD的中点；
（3）求证：
AD+BC=AB.
5．如图△ABC中，∠A=500，AB>AC，D、E分别在AB、AC上，且BD=CE,∠BCD=∠CBE，BE、CD相交于O点，求∠BOC的度数.
6．△ABC中，D是BC中点，DE⊥DF，E在AB边上，F在AC边上，判断并证明BE+CF与EF的大小？
.
7．已知：
如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠1=∠2，求证：
BC=AB+AD．
（分别用截长法和补短法各证一次）
A
2
1
C
B
D
8．已知，如图，在正方形ABCD中AB=AD，∠B＝∠D＝90°．
（1）如果BE＋DF＝EF，求证：
①∠EAF＝45°；②FA平分∠DFE．
（2）如果∠EAF＝45°，求证：
①BE＋DF＝EF．②FA平分∠DFE．
（3）如果点F在DC的延长线上，点E在CB的延长线上，且DF－BE＝EF，求证：
①∠EAF＝45°；②FA平分∠DFE．（画图并证明）
（八）全等三角形检测
一、选择题：
1.在△ABC、△DEF中如果∠C=∠D，∠B=∠E，要使△ABC≌△FED，还需要的条件是（）
A.AB=EDB.AB=FDC.AC=FDD.∠A=∠F
2.如图：
AB∥CD，AD∥BC，AC、BD交于点O，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F点，那么图中全等三角形共有（）
A.5对B.6对C.7对D.8对
3.如图，D在AB上，E在AC上且∠B=∠C,那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是（）
A.AD=AEB.∠AEB=∠ADCC.BE=CDD.AB=AC
4.如图：
某同学把一块三角形玻璃打碎成了三块，现有要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）
A.带①去B.带②去
C.带③去D.带①和②去
5.下列说法中，正确的个数是（）
①两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；②两角及第三角的平分线对应相等的两个三角形全等；③两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；④有两边相等的直角三角形全等；⑤腰和一个角分别对应相等的两等腰三角形全等。
A.1个B.2个C.3个D.4个
6.在△ABC中，AB=5，AC=3，AD为BC边的中线，则AD的长
的取值围是（）.
A.1<
<4B.3<
<5C.2<
<3D.0<
<5
7.下列四个命题:
①直角三角形只有一条高线；②有两边对应相等的两个直角三角形一定全等；③两角之差等于第三个角的三角形必为直角三角形;④腰和底角对应相等的两个等腰三角形一定全等.其中正确的命题有（）.
A.1个B.2个C.3个D.4个
8.等腰三角形周长为
，一腰的中线将周长分成5:
3两部分,则它的底边长为（）.
A.
B.
C.
或
D.
9.下列条件中，能判断两个等腰三角形全等的条件的个数是（）.
①顶角和一条腰对应相等；②一条腰和底边对应相等；
③顶角和底边对应相等；④两条腰和底角对应相等．
A.1个B.2个C.3个D.4个
10.已知：
如图，BD为△ABC的的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足.下列结论：
①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=AE=EC；④BA+BC=2BF.其中正确的是（）.
A.①②③B.①③④C.①②④D.①②③④
11.如图：
已知AD⊥AB，AE⊥AC，AD=AB，AE=AC则下列结论：
①∠DAC=∠BAE；②△DAC≌△BAE；③DC⊥BE；④MA平分∠DME；⑤△BMC≌△CEA；正确个数是（）
A.2个B.3个C.4个D.5个
12.如图P是等腰Rt△ABC斜边AC上任意一点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，PG⊥EF于G，在GP的延长线上取一点D,使PD=PB,则BC与DC关系是（）
A.BC=DCB.BC=DC，且BC⊥DC
C.BC>DCD.BC⊥DC
二．填空题：
13.AD是△ABC中BC边上的中线，AB=4，AC=6，则AD的取值围是.
14.如图△ABC中，∠A=500，AB>AC，D、E分别在AB、AC上，且BD=CE，∠BCD=∠CBE，BE、CD相交于O点，则∠BOC的度数为.
F
15.已知：
如图，点A在线段DE上，点F在线段AB上，且∠1=∠2=∠3，要使得△ABC≌△EDC，需要添加的一个条件是
_____________（只需写出一个满足的条件）
16.已知△ABC中，高AD与高BE交于H点，BH=AC，则∠ABC的度数等于.
17.如图，∠1=∠2=25°，∠3=∠4，∠5=∠6，则∠7=.
18.有一等腰三角形纸片，若能从一个底角的顶点出发，将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的顶角为度.
三．解答题：
19．如图，已知：
AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE．
求证：
△ABD≌△ACE．
20．如图，AB＝AD，BC＝DE，∠1＝∠2.
求证：
（1）AC＝AE；
（2）∠CAE＝∠CDE.
21．已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F.
求证：
AF＝EF．
22．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过C作CE⊥AB于E，并且AE=
（AB＋AD）．
（1）求证：
BC=DC；
（2）求∠ABC＋∠ADC的度数．
23．如图，△ABE和△ACF分别是以△ABC的AB、AC为一边在形外所作的等边三角形，BF与CE相交于O．
①求证：
BF=EC．②求∠EOB的度数．③求证：
OA平分∠EOF．
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