建模思想在数学教学中的应用.docx

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建模思想在数学教学中的应用

分类号UDC单位代码10644密级公开学号2008040222

四川文理学院

学士学位论文

论文题目浅谈新课改下数学建模思想在

中学数学教学中的创新应用

论文作者：

刘洋

指导教师：

苟格

学科专业：

数学与应用数学

研究方向：

数学建模思想的应用研究

提交论文日期：

2012年5月16日

论文答辩日期：

2012年5月20日

学位授予单位：

四川文理学院

中国达州

2012年5月

目录

摘要

ABSTRACTII

第一章绪论1

1.1引言1

第二章数学模型、数学建模和数学建模思想的定义1

第三章数学建模的过程2

3.1数学建模的特点2

3.2数学建模的基本步骤2

第四章数学建模的常用方法3

4.1机理分析法3

4.2随机分析法4

4.3系统分析法4

第五章数学建模在教育教学中的作用4

5.1锻炼学生用计算机解决实际问题的能力5

5.2培养学生的自学能力5

5.3开发学生分析问题的洞察力5

5.4发挥学生的想象能力，培养学生的直觉思维5

5.5构建建模意识，培养学生的转换能力6

5.6以“构造”为载体，培养学生的创新能力6

第六章数学建模的常见模式6

6.1统一问题——研究报告模式7

6.2调查报告模式7

6.3优秀建模案例研读模式7

6.4“导学探索，自主解决”模式8

6.5课外活动的“四步模式”8

第七章建模意识及培养建模意识的基本途径9

第八章高中数学教学中研究式数学建模教学的现状10

第九章高中教学中的数学模型教学的实现形式11

第十章大学数学建模方法教学策略在中学的有效应用12

10.1大学与中学在数学建模教学上的联系12

10.2可应用于中学数学建模中的大学教学策略12

10.2.1充分利用教材，对教材进行深度把握13

10.2.2利用案例教学，设计精良的案例13

10.2.3强化课堂教学效果，课后进行实践14

10.2.4开展数学建模活动，鼓励学生积极参与14

10.2.5巩固学生基础，开发学生学习兴趣14

第十一章进一步推行研究式数学建模教学的对策15

第十二章数学建模思想应用于中学数学教学的教学原则16

12.1“再创造”原则16

12.2“数学化”原则16

12.3“数学现实性”原则16

12.4“严谨性”原则16

第十三章数学建模的类型及应用举例17

13.1方程或不等式模型17

13.2函数模型18

13.3统计型模型19

13.4几何模型20

第十四章在中学数学的教学中渗透数学建模思想应注意的问题20

参考文献21

致谢22

浅谈新课改下数学建模思想在中学数学教学中的创新应用

学生：

刘洋指导教师：

苟格

摘要目前在很多高校都已经开设了“数学建模”课程，大学数学建模方法教学策略也逐渐成熟，那么在中学可设“数学建模”课程或进行教学也成为了新课改下的热门话题，但如何把大学数学建模方法教学策略应用到中学教学中，还需要加以研究。

培养学生的数学创新精神和加强学生的数学实践能力，成为新一轮数学教育改革的灵魂，而数学建模教学正是培养学生以及加强数学实践的重要手段，呼唤数学应用意识，提高数学应用教学质量，已成为广大数学教育工作者的共识，开展中学数学建模教学与应用的研究，对提高学生数学应用意识，培养学生灵活的思维能力，分析问题、解决问题的能力，促进中学数学教学改革，全面推进中学数学素质教育有十分重要的意义。

本文在对数学模型、数学建模和数学建摸思想研究的基础上，开展对中学数学建模教学活动的理论依据和教学原则的探讨，并对中学的方程、不等式、函数、统计、三角等教学内容进行数学建模教学进行了一些研讨。

因此本文认为数学建模的教学将为中学数学课堂教学改革提供一条新路，将为培养更多更好的“创造型”人才提供一个全新的舞台。

关键词：

数学模型；数学建模；数学建模思想；课程改革；中学数学教学

ONTHEINNOVATIVEAPPLICATIONOFMATHEMATICALMODELINGINTHENEWCURRICULUMOFSECONDARYSCHOOLMATHEMATICSTEACHING

Student:

LiuYangSupervisor:

GouGe

ABSTRACTAtpresent,inmanyuniversitieshavesetupthe"mathematicalmodeling"curriculum,universitymathematicalmodelingteachingstrategyalsograduallymature,theninhighschoolcanbearrangedin"mathematicalmodeling"curriculumorteachinghasbecomeanewclasschangesthepopulartopic,buthowdoestheuniversitymathematicalmodelingmethodisappliedtothemiddleschoolteaching,butalsoneedtostudy.Trainthestudent'smathematicsinnovativespiritandstrengthenthestudents'practicalability,becomeanewroundofreformofmathematicaleducationsoul,whilemathematicalmodelingteachingistocultivatestudents'mathematicalpracticeandstrengthentheimportantmeans,callingformathematicsapplicationconsciousness,improvingtheteachingqualityofmathematicsapplyingmathematics,hasbecomeavastnumberofeducatorsconsensus,developmathematicalmodelingofmiddleschoolteachingandappliedresearch,toimprovestudents'mathematicsapplicationconsciousness,trainstudentsthinkingability,theanalysisproblem,problem-solvingability,topromotethereforminmathematicsteaching,comprehensivepromotionofqualityeducationinmiddleschoolmathsisveryimportant.Basedonthemathematicalmodel,mathematicalmodelingandmathematicalmodelingthoughtonthebasisoftheresearch,carriedoutonmathematicalmodelingofmiddleschoolteachingtheoryandteachingprinciples,andforsecondaryequations,inequalities,functions,statistics,trigonometryteachingcontentsofmathematicalmodelingteachingcarriedoutsomeresearch.Thereforeinthisarticlethatthemathematicalmodelingteachingformiddleschoolmathematicsclassroomteachingreforminanewway,willfostermore"creative"talentsprovideanewstage.

Keywords:

Mathematicalmodel；mathematicalmodeling；theideaof​​mathematicalmodeling；curriculumreform；themiddleschoolMathematicsTeaching

第一章绪论

1.1引言

进入新世纪后，培养学生的数学创新精神和加强学生的数学实践能力，成为数学教育改革的灵魂。

数学教学的主要目的也是开发学生的智力，发展学生的能力，现代数学教学论认为数学教学是数学思维活动的教学，教师要在教学活动中,根据学生的思维特点，有意识的对学生的创新能力与实践能力进行引导和训练，逐步形成探究和利用数学解决实际问题的能力。

随着课程改革的不断深入，数学教学转变了传统的观念，教材编写背景也结合了生活实际和社会实践，突出了理论与知识结合，理论与实践结合，强调学生对数学知识的应用，呼唤数学应用意识。

而中学数学最常用和最有效的教学方法之一是探索法，这一方法与数学建模有很多共同特征，目前很多高校都开设了“数学建模”课程，可见数学建模课程的开设对高校教育改革起到了很大的作用，在新课改的背景下，数学建模也将被引入到中学教育之中。

因此研究大学数学建模方法教学策略并探讨其在中学教学中的应用很有必要。

本文通过对数学模型、数学建模和数学建模思想的研究，探讨数学建模思想应用于中学数学教学的可行性，为中学数学课堂教学改革寻找一条可行之路。

第二章数学模型、数学建模和数学建模思想的定义

所谓数学模型，是指针对或参照某种事物的特征或数量相依关系，采用形式化的数学语言，概括地或近似地表述出来一种数学结构。

广义的解释：

凡是一切数学概念、数学理论体系、各种数学公式、各种方程（代数方程、函数方程、微分方程、……）以及由公式系列构成的算法系统等等都称之为数学模型。

而创建一个数学模型的全过程称为数学建模，即用数学的语言、方法去近似地刻画该实际问题，并加以解决的全过程。

总之，数学模型与数学建模较为严格的定义是，对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据对象特有的内在规律，在做出问题分析和一些必要、合理的简化假设后，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构就称为该特定对象的数学模型。

数学建模的思想就是用数学模型的思路、方法去数学建模，解决实际生产、生活当中所遇到的问题在的思想和方法的统称。

第三章数学建模的过程

3.1数学建模的特点

（1）数学建模不一定有唯一正确的答案；

（2）数学建模没有统一的方法；

（3）模型的逼真性与可行性；

（4）模型的渐进性；

（5）模型的可转移性

3.2数学建模的基本步骤

数学建模的基本步骤可如图1所示：

修改

不合乎实际

图1

解题步骤如下：

（1）审读实际问题当我们为了某个目的而建立一个数学模型时，直接面对的是一个实际问题，但是实际问题错综复杂，涉及面广，这时我们需要做的就是简缩问题，并掌握以下几点：

第一，必须对它的整体有比较准确客观全面的理解和把握分析实际问题的本质，分清主要因素和次要因素。

第二，必须弄清和掌握实际问题的所有已知条件，特别是要揭露隐含的已知条件。

第三，必须弄懂和理解所给问题要我们求解什么？

解决此实际问题有哪些重要意义？

（2）提出问题，通过对原问题的简缩，理解原问题，找出原问题的数学语言，提出问题。

（3）建模，根据提出的问题，找出问题与数据之间的联系，建立数学关系式，建立初步模型然后联系实际中的因素（所可能遇到的问题，影响所设的变量等）改进模型。

（4）合理求解纯数学问题。

（5）通过所求出的解放到实际中去验证，检验，如果不符合实际情况，重新审题，确定最终模型。

（6）最终得到可用结果，并附上参考文献。

当我们面临新的建模问题时，这个流程是极具指导意义的。

应当注意的是，不是每个建模问题都要一个不差地经过这六个步骤，其顺序也不是一成不变的。

一个具体建模问题要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与实际问题的性质、建模的目的等有关。

我们可以对一个问题得到不同的分析和答案，但是最主要的是结果和实际情况的误差程度，可以把一些较为抽象的问题，通过现象除去非本质的因素，从中构造出最基本的数学模型，使问题回到已知的数学知识领域。

第四章数学建模的常用方法

不同性质问题我们采取的分析处理方法也不同按求解实际问题的性质我们将分析问题的数学方法分类为：

机理分析法、随机分析法和系统分析法等。

4.1机理分析法

现实世界中有一类问题，它的各个量都是常量或一般变量，各个量之间的联系都是完全确定的这类问题我们称为确定性问题对于确定性问题常用的分析处理方法为机理分析法所谓机理分析法简单地说，就是对确定性问题的各个量进行分析处理，根据已知规律寻找各个量之间的内在联系，建立各个量之间的数学描述，并揭示问题的本质。

机理分析法的基本步骤为：

（1）分析变量；

（2）分析变量服从的已知的规律；（3）建立数学描述。

4.2随机分析法

对于统计问题常用的分析处理方法为随机分析法。

随机分析法就是，分析统计问题中的各个随机变量之间的联系，根据统计规律给各个随机变量的均值、方差等数字特征进行数学描述，以用来研究和揭示问题的本质。

随机分析法的基本步骤为：

（1）分析随机变量；

（2）抽样分析；（3）建立随机变量的统计规律。

4.3系统分析法

在研究的问题中还有一类复杂的系统问题，它的各个因素（量）在系统中所起的作用是不确定的或不完全确定的，我们只对各个因素（量）有一些定性的了解或过去的经验资料。

这类问题我们称为系统问题。

分析系统问题的方法称为系统分析法。

所谓系统分析法，即是分析系统中各个因素之间的定性和定量联系，给各个因素进行量化处理，以确定各个因素（量）在系统中的地位，建立各个因素（量）对系统贡献的数学描述层次分析法（AHP方法）是我们常用的系统分析法。

系统分析法的基本步骤为：

（1）分析各个因素之间的定性和定量关系；

（2）对各个因素进行量化；（3）建立各个因素对系统“贡献”的数学描述。

值得说明的是，这些方法或原理在应用中也没有严格界线，而往往是交织在一起使用。

第五章数学建模在教育教学中的作用

数学除了锻炼学生敏锐的理解力、发现真理以外，还有一个训练全面考虑科学系统的头脑的开发功能。

学生从数学学习中能获得的最重要的东西是达到较高的智力水平。

数学建模在培养大学生运用数学的思维、方法及理论解决实际问题能力方面有很突出的作用，在提高学生各种素质和开发能力方面，主要有以下几点。

5.1锻炼学生用计算机解决实际问题的能力

数学建模不光要求学生具备扎实的数学功底，还要求学生具备用计算机解决实际问题的能力。

通过数学建模可以加大学生用计算机解决实际问题的机会，锻炼解决实际问题的能力。

5.2培养学生的自学能力

数学建模涉及面很广，需要用到拓扑学、图论、运筹学和规划等理论知识，并且绝大部分都是直接来源于实际的问题，而大学生在大学里学的知识很有限，即使学习了也比较肤浅。

因此，他们必须在平时多观察实际中的问题，并将问题数学化和理论化，通过自己的课外学习来寻找解决问题的方法。

通过这种自我启发式的学习方法切实能最大限度地开发学生们的自学能力，彻底打碎他们惯有的被动学习的心理定势，从而培养他们的自学能力。

5.3开发学生分析问题的洞察力

传统的数学教育方式过分注重知识的理论性，但对数学应用则讲得很少。

这就造成我们的学生数学理论基础雄厚，却不知道它有什么用。

而数学建模所涉及到的问题基本上都是实际问题，在解决问题过程中，首先需要的是分析问题的洞察力。

数学较其他学科来讲，更讲究思维推理的逻辑性和严谨性，它不允许有一丝一毫的差错。

但是在实际问题的分析中，既要注重思维推理的逻辑性、严谨性，更要注意问题的特点和本质，如果过分拘泥于推理的严谨性，往往会造成思维的“中断”。

由于实际问题复杂多变，因此，能否从纷乱的问题中抓住本质性的东西，变成为解决问题的第一步。

要敢于大胆且合理地去假设，去粗取精，去伪存真，进而使繁杂的问题得以简化。

5.4发挥学生的想象能力，培养学生的直觉思维

众所周知，数学史上不少的数学发现来源于直觉思维，如笛卡尔坐标系、费尔马大定理、歌德巴赫猜想、欧拉定理等，应该说它们不是任何逻辑思维的产物，而是数学家通过观察、比较、领悟、突发灵感发现的。

通过数学建模教学，使学生有独到的见解和与众不同的思考方法，如善于发现问题，沟通各类知识之间的内在联系等是培养学生直觉思维的核心。

5.5构建建模意识，培养学生的转换能力

恩格斯曾说过：

“由一种形式转化为另一种形式不是无聊的游戏而是数学的杠杆，如果没有它，就不能走很远。

”由于数学建模的主体思想就是把实际问题转换成数学问题，因此通过数学建模这根有力的杠杆可以培养学生转换能力的灵活性和创造性，提高解决问题的速度。

5.6以“构造”为载体，培养学生的创新能力

“一个好的数学家与一个蹩脚的数学家之间的差别，就在于前者有许多具体的例子，而后者则只有抽象的理论。

”“建模”就是构造模型，但模型的构造又需要有足够强的构造能力，而学生构造能力的提高则是学生创造性思维和创造能力的基础：

创造性地使用已知条件，创造性地应用数学知识。

数学建模竞赛题目均来自于有实际意义的课题中，一般都没有设定的标准答案。

在评审时，评审者并不拘泥于论文中推导和计算的正误，而着重思路。

方法是否正确是否有创新思维，尤其在正确的前提下，评审者更青睐那些有独创新意的论文。

因此，通过数学建模可以很好的培养学生的创新能力。

总之，数学建模的重要意义为：

（1）将数学紧密地与实际问题联系在一起，培养学生应用数学解决实际问题的能力，具有实际可行性，锻炼学生的创造性能力。

（2）将数学与计算机紧密地结合成一体，培养学生应用计算机解决实际问题的能力。

（3）在大学里开展数学建模活动能培养大学生解决实际问题的能力、应用数学知识能力、运用计算机的能力等等。

第六章数学建模的常见模式

数学建模的研究性学习是学生探究问题的过程，主要由学生自己完成，学生具有高度的主体性，注重学生在学习过程中体验，是一种建构活动，是一种形成活动，一种反思活动；研究性学习具有实践性，能使学生更好地理解数学在实际中的应用；研究性学习具有开放性。

教学实践中，我采用的具体模式有以下几种：

6.1统一问题——研究报告模式 

教师认真选择或者构造实际问题或实际问题系列，给出解决问题要求或主要线索，由学生个人或小组按照教师的要求或提示，用一个较长的作业周期（一般不少于一星期），独立完成求解任务。

条件合适时，还可以组织交流和答辩。

6.2调查报告模式 

调查报告模式是课外活动课内交流的形式。

一般分两种情况，一是要求学生自己利用休息时间，在现实生活中寻找与此部分知识相关的问题，并写成调查报告，用于课上交流；二是统一内容，一起针对一个实际问题，选择课题学习方式，并提出解决问题方案，写成调查报告，用于课上交流。

两种方式有不同侧重点，对学生能力的培养也不尽相同。

前者着重于发现生活中处处有数学，后者侧重于对同一实际问题，不同的课题学习、建模方案。

在这个过程中，学生把学习知识、应用探索发现、使用计算机或其他测量工具等有机的结合起来。

在他们自主地解决问题的过程，学数学、用数学、获得“微科研”的体验，培养了协作精神和关注社会，关注生活的社会责任感和主人翁意识；培养了不因循守旧的创新意识和实践能力。

回到课堂上，同学们畅所欲言，真正实现了师生互动、生生互动，学生的认知情绪和探求事物的心理得到满足；同时开放的问题情景和开放性命题，供学生思维和探求的悬念较多，激发了学生的学习兴趣和成就感。

6.3优秀建模案例研读模式 

此模式是一种课下阅读，课内交流。

选定一篇学生数学建模优秀论文，学生课下阅读。

首先，对学生提出如下要求：

了解原作所提的问题背景；理解原作建模思想、方法，求解方式；了解原作的结论，如果你拥有原作者的实际问题，你将如何解决？

其次，指定两名同学作为主讲人，主持课上的学习与讨论。

教师对主讲人的指导分两个方面：

一是语言文字关，要提醒学生用准确、简练的文字表述以及适当的语速语调；二是论文整体结构的把握，各部分在全篇的地方作用是什么？

要求主讲的学生对原作不仅下工夫去读，甚至去计算、重新组合；为了能正确回答同学们的问题，需查阅大量的相关书籍，应该说，主讲人最辛苦，收获也最大，因此是最好的数学学习。

学习和研究别人的数学建模成果，虽然不同于自己做课题，但这对于培养学生自主学习的能力，以及从他人的思路和方法中学到如何做课题无疑具有积极的意义，这样做充分利用了学生优秀论文这一宝贵的教育资源。

这种课堂上的老师，不再是编剧、导演、主演和正确的化身，而是动态的变换自己角色，成为学生学习的参与者、参谋和欣赏者。

6.4“导学探索，自主解决”模式 

该模式主要通过如下几个过程完成：

（1）设置问题或构造问题环境 

（2）通过探索讨论，提炼数学模型，形成猜想或分解成有目标的“小任务” 

（3）激励学生自主地尝试解决问题 

（4）引导评价，及时总结，巩固成果 

（5）求异探新，把问题的探索和发现解决的过程延续到课外 

6.5课外活动的“四步模式” 

数学课外活动是课堂的延伸，是拓展学生知识面，提高学生多方面数学素质能力的好形式。

我常常把每学期的数学建模活动按教学周期设计，在每一个教学周期中都基本含有以下四个阶段：

第一阶段：

让学生感受到研究生活中的数学问题是十分有益而又有趣的事。

在这个阶段由浅入深安排一些用数学知识巧妙解决的问题，如投资，经营，赞助中的问题，二进制的应用，体育赛制等内容。

这些内容贴近学生实际，能有效地调动学生的积极性。

第二阶段：

随着学习的深入，问题难度加大了，在学生感到问题棘手，知识匮乏时可以向他们介绍有关知识。

有目的地学习，学生学习积极性高，效果好。

第三阶段：

前面两个阶段研究的问题还是比较容易找到相应的数学工具解决的实际问题，有大部分是为了训练学生应用意识和能力而将实际问题简化而编成的题，离真正的数学建模学习还有很大的差距。

我们所以提出条件更模糊，解决方向也不明确的实际问题，带领学生一起去解决。

第四阶段：

在接触了一些数学应用的实例之后，学生已跃跃欲试，希望自己能够独立解决一些实际问题。

但往往由于问题涉及的因素较为复杂，学生社会经验贫乏及多种学科综合运用的能力不足使他们在解决问题时困难重重。

这时我们或者指导学生去有目的地学习有关知识，鼓励他们去向专家咨询，逐步明确解决的方向。

第七章建模意识及培养建模意识的基本途径

我们的数学教学说到底实际上就是教给学生前人给我们构建的一个个数学模型和怎样构建模型的思想方法，以使学生能运用数学模型解决数学问题和实际问题。

 由此，我们可以看到，培养学生运用数学建模解决实际问题的能力关键是把实际问题抽象为数学问题，必须首先通过观察分析、提炼出实际问题的数学模型，然后再把数学模型纳入某