北师大版届九年级数学中考专题复习添加辅助线构造圆来解决几何问题 专题复习教案.docx

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北师大版届九年级数学中考专题复习添加辅助线构造圆来解决几何问题专题复习教案

2019届九年级数学中考专题复习

添加辅助线构造圆来解决几何问题专题复习教案

学情分析：

学生已经复习完了第一轮，掌握了初中阶段的基本数学知识和基本技能以及基本解决问题的能力，对于直线形中常见的几何问题形成了一些基本的解题策略,但从辅助圆这个新的视角解决问题还显得弱了很多．学生对于一些数学问题容易产生想法，但欠缺的是归纳总结提升,而本节课想要达到的目的，就是引导学生学会归纳总结,将以前学过的一些知识从一个新的视角研究，简化证明过程，初步形成构造辅助圆的意识．　

设计意图：

对于平面几何问题，学生常常想到的是构造直线形辅助线来转化条件，从而利用三角形、四边形的知识来解决问题．但辅助线的添加就被局限在直线形，实际上利用曲线形辅助线，在一些特定条件下，更有利于条件的集中，辅助圆是曲线形辅助线的代表；利用辅助圆，就会让图形的条件更丰富，而学生对此又很少了解，故想借此节课，和学生一起探究，通过多种解题方法的对比，来感受辅助圆的独特．

教学目标：

1.进一步巩固圆的定义和性质，能够正确利用圆的定义找到符合条件的点所在的位置；

2.通过对例题条件和结论的分析，体会利用圆解决点的轨迹问题，进而掌握利用作圆解决分类讨论问题的方法；

3.逐步建立从圆的观点看问题的意识，能够多角度认识事物，全面还原事物的本质，形成几何直观．　

教学重点：

利用辅助圆解决有关问题；

教学难点：

建立用圆的观点看问题的意识，能够判断出构造圆的条件．

教学过程：

情景引入：

一些学生正在做投圈游戏,他们呈“一”字型排开，这样的队形对每个人公平吗?

你认为他们应当排成什么样的队形?

理论依据：

圆周上的点到圆心的距离处处相等．

我们今天来学习构造辅助圆的问题：

题中无圆，心中有圆，“圆”来很完美.

一、利用圆的定义来构造辅助圆

定义：

圆是所有到定点的距离等于定长的点的集合．

例1、如图，已知AB＝AC＝AD，

∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，则∠CAD的度数为（）．

A.68°B.88°C.90°D.112°

分析：

根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC＝∠ACB，由AB＝AC＝AD，可知点B、C、D是在以A为圆心的圆周上，利用同弧上的圆周角与圆心角的关系来求解．

解析：

∵AB＝AC＝AD，∴∠ABC＝∠ACB，点B、C、D是在以A为圆心的圆周上，∴∠BDC＝

∠BAC，∠CAD＝2∠CBD，∵∠BAC＝44°，∴∠BDC＝22°，∵∠CBD＝2∠BDC，∴∠CBD＝44°，∴∠CAD＝88°，故应选B．

解题策略：

利用圆的定义构造圆

（圆是所有到定点的距离等于定长的点的集合）

建立模型：

纵观例题及其变式，其共同之处都存在着同一个

结构，如图所示，即共端点的三条等线段，不妨形象地称为“等线

段三爪图”，让我们联想到“到定点距离等于定长的所有点的集合

是圆”，即“见三爪，构建圆”．

二、利用90°的圆周角所对弦是直径构造辅助圆

解题策略：

通过构造辅助圆，巧妙地将线段的最值问题转化为圆外一点与圆上的点的最大距离与最小距离问题，实质是90°的圆周角所对弦是直径，巧妙构造圆后，求线段最值．

三、利用“四点共圆”构造辅助圆

例3、如图，四边形ABCD为矩形，BE平分∠ABC，交AD于点F，∠AEC=90°．

（1）

A、B、C、E四点共圆吗？

（2）求∠ACE的度数；

（3）求证：

BE⊥ED．

解：

（1）A、B、C、E四点共圆.

理由如下：

∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°；

又∵∠AEC=90°，∴∠ABC+∠AEC=180°；

∴A、B、C、D四点共圆．

（2）∵∠ABC=90°，BE平分∠ABC，

∴∠ABE=45°，∴∠ACE=∠ABE=45°．

（3）证明：

连接BD；

∵四边形ABCD是矩形，∴A、B、C、D四点共圆，并且BD是直径.

又∵A、B、C、E四点共圆，∴A、B、C、D、E五点共圆.

∴∠BED为直角，即BE⊥ED.

四、当需确定等腰三角形的个数时构造圆

例4.在平面直角坐标系

中，

已知点A（2，3），在坐标轴上找一点P，使得△AOP

是等腰三角形，则这样的点P共有个．

分析：

先分类：

①OA＝OP；②PO＝PA；③AO＝AP；

再画图．

①OA＝OP：

以O为圆心，以OA为半径画弧，

与x轴交于P1、P2、P3、P4四个点；如图：

②PO＝PA：

OA的垂直平分线与x轴、y轴的交点分别为点P5、点P6；如图：

③AO＝AP：

以A为圆心，以AO为半径画弧，与x轴、y轴的交点分别为点P7、点P8；

解析：

如图：

所以，符合题意的点共有8个点．故答案为8．

P4

P8

P6

【答案】8

解题策略：

在解决这类等腰三角形问题时，通常要分三种情况讨论：

（1）求作某边等于已知边（线段）时，以已知线段的一端点为圆心，以线段长为半径作圆，在此圆上寻找符合题意的点；

（2）求作另某边等于已知边（线段）时，以另一端点为圆心，以线段长为半径作圆，在此圆上寻找符合题意的点；（3）使已知线段为底边，未知两边为两腰时，作已知线段的垂直平分线，在垂直平分线上找符合题意的点．

变式：

如图，点A（1，-1），点B（2，1）与点C组成以AB为腰的等腰三角形，点C在坐标轴上，求C点的坐标．

C1（0，1），C2（-1，0），C4（3，0），C5（0，2），C6（4，0），C7（0，0）．

四、总结提升

1．数学方法：

构造辅助圆

（1）当遇有公共端点的等线段长时，通常以公共端点为圆心，等线段长为半径，构造辅助圆．

（2）可以利用直径所对的圆周角是直角，以斜边为直径，构造辅助圆．

（3）当四边形中出现对角互补时，利用四点共圆构造辅助圆．

（4）当需确定等腰三角形的个数时，以已知线段的一端点为圆心，以线段长为半径作圆．

2.数学思想：

建模思想、转化思想、分类讨论思想

利用构造辅助圆解决分类讨论问题，可以很快找到符合条件的点，并可以将问题转化为圆中求线段、求角度的问题.

3.深入挖掘题目中的隐含条件；善于联想所学定理，巧妙地构造符合题意特征的辅助圆，再利用圆的有关性质来解决问题，往往能起到化隐为显、化难为易的解题效果！

正所谓:

有“圆”千里来相会，无“圆”对面不相识，“隐圆模型”的题的关键突破口就在于能否看出这个“隐藏的圆”，一旦“圆”形毕露，则答案手到擒来！

那么构造隐圆的方法还有哪些？

比如：

定弦定角构造圆、圆幂定理构造圆等，在后面的课程中将继续完善这个话题.

若有一固定线段AB及线段AB所对的∠C大小固定，根据圆的知识可知：

点C并不是唯一固定的点，点C在⊙O的优弧ACB上均可.

例如补充：

定弦定角构造辅助圆

在⊙O中，若弦AB长度固定，则弦AB所对的圆周角相等.

例、如图，边长为3的等边△ABC，D、E分别为边BC、AC上的两个动点，且BD＝CE，AD、BE交于P点，求P点的运动路径长？

并求CP的最小值？

解：

∵在等边△ABC中，

∠ABC＝∠C＝60°，AB＝BC，BD＝CE，

∴△ABD≌△BCE，

∴∠CBE＝∠BAP，

而∠CBE+∠ABP＝60°，

∴∠BAP+∠ABP＝∠APE＝60°，

∴∠APB＝120°，

∴点P在以AB为弦的⊙O上，连接OC

交⊙O于点

，此时

最小.

∵∠APB＝120°，∴∠AOB＝120°，

∵AB=3，∴

，

；

∴

，∴P点运动路径长为

.

五、课后思考：

1、如图，四边形ABCD中，AB∥CD,BC=1，AB=AC=AD=2，则BD的长为（）

A．

B．

C．

D．

解：

四边形ABCD中，AB∥CD，

∴∠BDC=∠DBF，∴BC=DF=1，

在RtΔBDF中，BF=2AB=4，DF=1，

∴BD=

．

2、已知AB=AC=AD,∠DAC=30°，∠BAC=80°，则∠CBD的度数为.

同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，∠CBD=

∠CAD=15°.

3、同类试题：

如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为（　　）.

A．

B．

C．

D．4

解析：

如图，∵AE⊥BE，∴点E在以AB为直径的半⊙O上，连接CO交⊙O于点E′，∴当点E位于点E′位置时，线段CE

取得最小值，

∵AB=4，∴OA=OB=OE′=2，

∵BC=6，∴OC=

，

则CE′=OC﹣OE′=

，故选：

B．

4、已知点A（0，4），B（7，0），C（7，4），

连接AC，BC得到矩形AOBC，点D的边AC上，将边OA

沿OD折叠，点A的对应边为A′，若点A′到矩形较长两对边

的距离之比为1∶3，则点A′的坐标为____________．

答案：

（

，3）或（

，1）或（

，－2），

解析：

根据题意，点A′的坐标存在以下三种情况：

①如图1，当A′M∶A′N=1∶3时，又MN=4，所以A′M=1，A′N=3，因为OA′=OA=4，在Rt△OA′N中，ON=

=

，所以点A′的坐标为（

，3）；

②如图②，当A′M：

A′N=3:

1时，又MN=4，所以A′M=3，A′N=1，因为OA′=OA=4，在Rt△OA′N中，ON=

=

，所以点A′的坐标为（

，1）；

③如图③，当A′M：

A′N=3:

1时，即（A′N+4）：

A′N=3:

1，解得A′N=2，在Rt△OA′N中，ON=

=

，所以点A′的坐标为（

，－2）.

5.在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（-6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA=45°时，点C的坐标为.

【答案】（0，12）或（0，-12）

解析：

（1）如图1，过点E在第二象限作EP⊥BA，且EP=

AB=5,则易知△PAB为等腰直角三角形，∠BAP=90°，PA=PB=

以点P为圆心，PA（或PB）长为半径作⊙P，与y轴正半轴交于点C，

∵∠BCA为⊙P的圆周角，∴∠BCA=

∠BPA=45°,即点C即为所求.

过点P作PF⊥y轴于点F，则OF=PE=5，PF=1

在Rt△PFC中，PF=1，PC＝

，由勾股定理得：

；

∴OC=OF+CF=5+7=12，∴点C的坐标为（0，12）

（2）如图2，在第三象限可参照

（1）作同样的操作，同理求得y轴负半轴上的点C的坐标为（0，－12）

综上所述，点C的坐标为（0，12）或（0，－12）.

6、如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°,AB=2，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，求P、D（P、D两点不重合）两点间的最短距离.

解：

当点时P、B、D三点在一条直线上时，PD最短，BD与AC交于点,

∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2，∴BO=

，即BD=2

；

∵BP=BA，∴BP=2，∴PD最小=

.