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数值分析习题集和答案解析

第一章绪论

习题一

1.设x>0,x*的相对误差为δ,求f(x)=lnx的误差限。

解:

求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限,由公式(1.2.4)有

已知x*的相对误差满足,而,故

2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值,试指出它们有几位有效数字,并给出其误差限与相对误差限。

解:

直接根据定义和式(1.2.2)则得

有5位有效数字,其误差限,相对误差限

有2位有效数字,

有5位有效数字,

3.下列公式如何才比较准确

(1)

(2)

解:

要使计算较准确,主要是避免两相近数相减,故应变换所给公式。

(1)

(2)

4.近似数x*=,是3位有数数字。

5.计算取,利用:

式计算误差最小。

四个选项:

第二、三章插值与函数逼近

习题二、三

1.给定的数值表

用线性插值与二次插值计算的近似值并估计误差限.

解:

仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计()。

线性插值时,用及两点,用Newton插值

误差限,因,故

二次插值时,用,,三点,作二次Newton插值

误差限,故

 

2.在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表,若用二次插值法求的近似值,要使误差不超过,函数表的步长h应取多少

解:

用误差估计式(),

3.若,求和.

解:

由均差与导数关系

于是

4.若互异,求的值,这里p≤n+1.

解:

,由均差对称性可知当有

而当P=n+1时

于是得

5.求证.

解:

解:

只要按差分定义直接展开得

6.已知的函数表

求出三次Newton均差插值多项式,计算f的近似值并用均差的余项表达式估计误差.

解:

根据给定函数表构造均差表

由式当n=3时得Newton均差插值多项式

N3(x)=++

由此可得

fN3=

由余项表达式可得

由于

7.给定f(x)=cosx的函数表

用Newton等距插值公式计算cos及cos的近似值并估计误差

解:

先构造差分表

计算,用n=4得Newton前插公式

误差估计由公式()得

其中

计算时用Newton后插公式(

误差估计由公式()得

这里仍为

8.求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足

解:

这种题目可以有很多方法去做,但应以简单为宜。

此处可先造使它满足

,显然,再令

p(x)=x2(2-x)+Ax2(x-1)2

由p

(2)=1求出A=,于是

9.令称为第二类Chebyshev多项式,试求的表达式,并证明是[-1,1]上带权的正交多项式序列。

解:

10.用最小二乘法求一个形如的经验公式,使它拟合下列数据,并计算均方误差.

解:

本题给出拟合曲线,即,故法方程系数

法方程为

解得

最小二乘拟合曲线为

均方程为

11.填空题

  

(1)满足条件的插值多项式p(x)=(  ).

  

(2),则f[1,2,3,4]=(  ),f[1,2,3,4,5]=(  ).

  (3)设为互异节点,为对应的四次插值基函数,则=(  ),=(  ).

  (4)设是区间[0,1]上权函数为ρ(x)=x的最高项系数为1的正交多项式序列,其中,则=(  ),=(  )

答:

(1)

(2)

(3)

(4)

第4章 数值积分与数值微分

习题4

1.分别用复合梯形公式及复合Simpson公式计算下列积分.

     

解  本题只要根据复合梯形公式()及复合Simpson公式()直接计算即可。

对,取n=8,在分点处计算f(x)的值构造函数表。

按式()求出,按式()求得,积分

2.用Simpson公式求积分,并估计误差

解:

直接用Simpson公式()得

由()式估计误差,因,故

3.确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精确度尽量高,并指明求积公式所具有的代数精确度.

  

(1)

  

(2)

  (3)

解:

本题直接利用求积公式精确度定义,则可突出求积公式的参数。

(1)令代入公式两端并使其相等,得

解此方程组得,于是有

再令,得

故求积公式具有3次代数精确度。

(2)令代入公式两端使其相等,得

解出得

而对不准确成立,故求积公式具有3次代数精确度。

(3)令代入公式精确成立,得

解得,得求积公式

故求积公式具有2次代数精确度。

4.计算积分,若用复合Simpson公式要使误差不超过,问区间要分为多少等分若改用复合梯形公式达到同样精确度,区间应分为多少等分

解:

由Simpson公式余项及得

即,取n=6,即区间分为12等分可使误差不超过

对梯形公式同样,由余项公式得

取n=255才更使复合梯形公式误差不超过

5.用Romberg求积算法求积分,取

解:

本题只要对积分使用Romberg算法(),计算到K=3,结果如下表所示。

于是积分,积分准确值为

6.用三点Gauss-Legendre求积公式计算积分.

   

解:

本题直接应用三点Gauss公式计算即可。

由于区间为,所以先做变换

于是

本题精确值

7.用三点Gauss-Chebyshev求积公式计算积分

解:

本题直接用Gauss-Chebyshev求积公式计算

于是,因n=2,即为三点公式,于是

,即

8.试确定常数A,B,C,及α,使求积公式

             

有尽可能高的代数精确度,并指出所得求积公式的代数精确度是多少.它是否为Gauss型的求积公式

解:

本题仍可根据代数精确度定义确定参数满足的方程,令对公式精确成立,得到

(2)(4)得A=C,这两个方程不独立。

故可令,得

(5)

由(3)(5)解得,代入

(1)得

则有求积公式

令公式精确成立,故求积公式具有5次代数精确度。

三点求积公式最高代数精确度为5次,故它是Gauss型的。

 

第五章 解线性方程组的直接法

习题五

1.用Gauss消去法求解下列方程组.

    

解 本题是Gauss消去法解具体方程组,只要直接用消元公式及回代公式直接计算即可。

2.用列主元消去法求解方程组并求出系数矩阵A的行列式detA的值

解:

先选列主元,2行与1行交换得

消元

3行与2行交换消元

回代得解

行列式得

3.用Doolittle分解法求的解.

解:

由矩阵乘法得

再由求得

由解得

4.下述矩阵能否作Doolittle分解,若能分解,分解式是否唯一

    

解:

A中,若A能分解,一步分解后,,相互矛盾,故A不能分解,但,若A中1行与2行交换,则可分解为LU

对B,显然,但它仍可分解为

分解不唯一,为一任意常数,且U奇异。

C可分解,且唯一。

 

5.用追赶法解三对角方程组Ax=b,其中

    

解:

用解对三角方程组的追赶法公式(3.1.2)和()计算得

6.用平方根法解方程组

解:

用分解直接算得

由及求得

7.设,证明  

解:

即,另一方面

8.设计算A的行范数,列范数及F-范数和2范数

解:

9.设为上任一种范数,是非奇异的,定义,证明

证明:

根据矩阵算子定义和定义,得

令,因P非奇异,故x与y为一对一,于是

10.求下面两个方程组的解,并利用矩阵的条件数估计.

    ,即

    ,即

解:

则的解,而的解

由()的误差估计得

表明估计略大,是符合实际的。

11.是非题(若"是"在末尾()填+,"不是"填-):

题目中

(1)若A对称正定,,则是上的一种向量范数  ( )

(2)定义是一种范数矩阵  ( )

(3)定义是一种范数矩阵  ( )

(4)只要,则A总可分解为A=LU,其中L为单位下三角阵,U为非奇上三角阵  ( )

(5)只要,则总可用列主元消去法求得方程组的解  ( )

(6)若A对称正定,则A可分解为,其中L为对角元素为正的下三角阵  ( )

(7)对任何都有  ( )

(8)若A为正交矩阵,则  ( )

答案:

 

(1)(+)

(2)(-)(3)(+)(4)(-)

    (5)(+)(6)(+)(7)(-)(8)(+)

第六章 解线性方程组的迭代法

习题六

1.证明对于任意的矩阵A,序列收敛于零矩阵

解:

由于而

2.方程组

        

  

(1)考查用Jacobi法和GS法解此方程组的收敛性.

  

(2)写出用J法及GS法解此方程组的迭代公式并以计算到为止

解:

因为

具有严格对角占优,故J法与GS法均收敛。

(2)J法得迭代公式是

取,迭代到18次有

GS迭代法计算公式为

3.设方程组

        

证明解此方程的Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法同时收敛或发散

解:

Jacobi迭代为

其迭代矩阵

,谱半径为,而Gauss-Seide迭代法为

其迭代矩阵

,其谱半径为

由于,故Jacobi迭代法与Gauss-Seidel法同时收敛或同时发散。

4.下列两个方程组Ax=b,若分别用J法及GS法求解,是否收敛

   

解:

Jacobi法的迭代矩阵是

即,故,J法收敛、

GS法的迭代矩阵为

故,解此方程组的GS法不收敛。

5.设,detA≠0,用,b表示解方程组Ax=f的J法及GS法收敛的充分必要条件.

解 J法迭代矩阵为

,故J法收敛的充要条件是。

GS法迭代矩阵为

由得GS法收敛得充要条件是

6.用SOR方法解方程组(分别取ω=,ω=1,ω=

      

精确解,要求当时迭代终止,并对每一个ω值确定迭代次数

解:

用SOR方法解此方程组的迭代公式为

取,当时,迭代5次达到要求

若取,迭代6次得

7.对上题求出SOR迭代法的最优松弛因子及渐近收敛速度,并求J法与GS法的渐近收敛速度.若要使那么J法GS法和SOR法各需迭代多少次

解:

J法的迭代矩阵为

,故,因A为对称正定三对角阵,最优松弛因子

J法收敛速度

由于,故

若要求,于是迭代次数

对于J法,取K=15

对于GS法,取K=8

对于SOR法,取K=5

8.填空题

  

(1)要使应满足().

  

(2)已知方程组,则解此方程组的Jacobi迭代法是否收敛().它的渐近收敛速度R(B)=().

  (3)设方程组Ax=b,其中其J法的迭代矩阵是().GS法的迭代矩阵是().

  (4)用GS法解方程组,其中a为实数,方法收敛的充要条件是a满足().

  (5)给定方程组,a为实数.当a满足(),且0<ω<2时SOR迭代法收敛.

答:

(1)

(2)J法是收敛的,

(3)J法迭代矩阵是,GS法迭代矩阵

(4)满足

(5)满足

第七章  非线性方程求根

习题七

1.用二分法求方程的正根,使误差小于

解 使用二分法先要确定有根区间。

本题f(x)=x2-x-1=0,因f

(1)=-1,f

(2)=1,故区间[1,2]为有根区间。

另一根在[-1,0]内,故正根在[1,2]内。

用二分法计算各次迭代值如表。

其误差

2.求方程在=附近的一个根,将方程改写成下列等价形式,并建立相应迭代公式.

  

(1),迭代公式.

  

(2),迭代公式.

  (3),迭代公式.

试分析每种迭代公式的收敛性,并选取一种收敛最快的方法求具有4位有效数字的近似根

解:

(1)取区间且,在且,在中,则L<1,满足收敛定理条件,故迭代收敛。

(2),在中,且,在中有,故迭代收敛。

(3),在附近,故迭代法发散。

在迭代

(1)及

(2)中,因为

(2)的迭代因子L较小,故它比

(1)收敛快。

(2)迭代,取,则

3.设方程的迭代法

     

 

(1)证明对,均有,其中为方程的根.

 

(2)取=4,求此迭代法的近似根,使误差不超过,并列出各次迭代值.

 (3)此迭代法收敛阶是多少证明你的结论

解:

(1)迭代函数,对有

(2)取,则有各次迭代值

取,其误差不超过

(3)

故此迭代为线性收敛

4.给定函数,设对一切x,存在,而且.证明对的任意常数,迭代法均收敛于方程的根

解:

由于,为单调增函数,故方程的根是唯一的(假定方程有根)。

迭代函数,。

令,则,由递推有

,即

5.用Steffensen方法计算第2题中

(2)、(3)的近似根,精确到

解:

(2)中,令,,则有

令,得

与第2题中

(2)的结果一致,可取,则满足精度要求.

对(3)有,原迭代不收敛.现令

6.用Newton法求下列方程的根,计算准确到4位有效数字.

  

(1)在=2附近的根.

  

(2)在=1附近的根

解:

(1)

Newton迭代法

取,则,取

(2)

令,则,取

7.应用Newton法于方程,求立方根的迭代公式,并讨论其收敛性.

解:

方程的根为,用Newton迭代法

此公式迭代函数,则,故迭代法2阶收敛。

还可证明迭代法整体收敛性。

设,对

一般的,当时有

这是因为当时成立。

从而,即,表明序列单调递减。

故对,迭代序列收敛于

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