数值分析习题集和答案解析.docx

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数值分析习题集和答案解析

第一章绪论

习题一

1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f（x）=lnx的误差限。

解：

求lnx的误差极限就是求f（x）=lnx的误差限，由公式（1.2.4）有

已知x*的相对误差满足，而，故

即

2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。

解：

直接根据定义和式（1.2.2）则得

有5位有效数字，其误差限，相对误差限

有2位有效数字，

有5位有效数字，

3.下列公式如何才比较准确

（1）

（2）

解：

要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。

（1）

（2）

4.近似数x*=,是3位有数数字。

5.计算取，利用：

式计算误差最小。

四个选项：

第二、三章插值与函数逼近

习题二、三

1.给定的数值表

用线性插值与二次插值计算的近似值并估计误差限.

解：

仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（）。

线性插值时，用及两点，用Newton插值

误差限，因，故

二次插值时，用，，三点，作二次Newton插值

误差限，故

2.在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h应取多少

解：

用误差估计式（），

令

因

得

3.若，求和.

解：

由均差与导数关系

于是

4.若互异，求的值，这里p≤n+1.

解：

，由均差对称性可知当有

而当P＝n＋1时

于是得

5.求证.

解：

解：

只要按差分定义直接展开得

6.已知的函数表

求出三次Newton均差插值多项式，计算f的近似值并用均差的余项表达式估计误差.

解：

根据给定函数表构造均差表

由式当n=3时得Newton均差插值多项式

N3（x）=++

由此可得

fN3=

由余项表达式可得

由于

7.给定f（x）=cosx的函数表

用Newton等距插值公式计算cos及cos的近似值并估计误差

解：

先构造差分表

计算，用n=4得Newton前插公式

误差估计由公式（）得

其中

计算时用Newton后插公式（

误差估计由公式（）得

这里仍为

8．求一个次数不高于四次的多项式p（x）,使它满足

解：

这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。

此处可先造使它满足

，显然，再令

p（x）=x2（2-x）+Ax2（x-1）2

由p

（2）=1求出A＝，于是

9.令称为第二类Chebyshev多项式，试求的表达式，并证明是［-1,1］上带权的正交多项式序列。

解：

因

10.用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它拟合下列数据，并计算均方误差.

解：

本题给出拟合曲线，即，故法方程系数

法方程为

解得

最小二乘拟合曲线为

均方程为

11.填空题

（1）满足条件的插值多项式p（x）=（　　）.

（2）,则f［1,2,3,4］=（　　），f［1,2,3,4,5］=（　　）.

　　（3）设为互异节点，为对应的四次插值基函数，则＝（　　），＝（　　）.

　　（4）设是区间［0,1］上权函数为ρ（x）=x的最高项系数为1的正交多项式序列，其中，则＝（　　），＝（　　）

答：

（1）

（2）

（3）

（4）

第4章　数值积分与数值微分

习题4

1.分别用复合梯形公式及复合Simpson公式计算下列积分.

解　　本题只要根据复合梯形公式（）及复合Simpson公式（）直接计算即可。

对，取n=8,在分点处计算f（x）的值构造函数表。

按式（）求出，按式（）求得，积分

2.用Simpson公式求积分，并估计误差

解：

直接用Simpson公式（）得

由（）式估计误差，因，故

3.确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度.

（1）

（2）

　　（3）

解：

本题直接利用求积公式精确度定义，则可突出求积公式的参数。

（1）令代入公式两端并使其相等，得

解此方程组得，于是有

再令，得

故求积公式具有3次代数精确度。

（2）令代入公式两端使其相等，得

解出得

而对不准确成立，故求积公式具有3次代数精确度。

（3）令代入公式精确成立，得

解得，得求积公式

对

故求积公式具有2次代数精确度。

4.计算积分，若用复合Simpson公式要使误差不超过，问区间要分为多少等分若改用复合梯形公式达到同样精确度，区间应分为多少等分

解：

由Simpson公式余项及得

即，取n=6，即区间分为12等分可使误差不超过

对梯形公式同样，由余项公式得

即

取n=255才更使复合梯形公式误差不超过

5.用Romberg求积算法求积分，取

解：

本题只要对积分使用Romberg算法（），计算到K＝3，结果如下表所示。

于是积分，积分准确值为

6．用三点Gauss-Legendre求积公式计算积分.

解：

本题直接应用三点Gauss公式计算即可。

由于区间为，所以先做变换

于是

本题精确值

7．用三点Gauss-Chebyshev求积公式计算积分

解：

本题直接用Gauss-Chebyshev求积公式计算

即

于是，因n=2,即为三点公式，于是

，即

故

8.试确定常数A，B，C，及α，使求积公式

有尽可能高的代数精确度，并指出所得求积公式的代数精确度是多少.它是否为Gauss型的求积公式

解：

本题仍可根据代数精确度定义确定参数满足的方程，令对公式精确成立，得到

由

（2）（4）得A=C，这两个方程不独立。

故可令，得

（5）

由（3）（5）解得，代入

（1）得

则有求积公式

令公式精确成立，故求积公式具有5次代数精确度。

三点求积公式最高代数精确度为5次，故它是Gauss型的。

第五章　解线性方程组的直接法

习题五

1.用Gauss消去法求解下列方程组.

解　本题是Gauss消去法解具体方程组，只要直接用消元公式及回代公式直接计算即可。

故

2.用列主元消去法求解方程组并求出系数矩阵A的行列式detA的值

解：

先选列主元，2行与1行交换得

消元

3行与2行交换消元

回代得解

行列式得

3.用Doolittle分解法求的解.

解：

由矩阵乘法得

再由求得

由解得

4.下述矩阵能否作Doolittle分解，若能分解，分解式是否唯一

解：

A中，若A能分解，一步分解后，，相互矛盾，故A不能分解，但，若A中1行与2行交换，则可分解为LU

对B，显然，但它仍可分解为

分解不唯一，为一任意常数，且U奇异。

C可分解，且唯一。

5.用追赶法解三对角方程组Ax=b，其中

解：

用解对三角方程组的追赶法公式（3.1.2）和（）计算得

6.用平方根法解方程组

解：

用分解直接算得

由及求得

7.设，证明　　

解：

即，另一方面

故

8．设计算A的行范数，列范数及F-范数和2范数

解：

故

9．设为上任一种范数，是非奇异的，定义，证明

证明：

根据矩阵算子定义和定义，得

令，因P非奇异，故x与y为一对一，于是

10.求下面两个方程组的解，并利用矩阵的条件数估计.

　　　　，即

　　　　，即

解：

记

则的解，而的解

故

而

由（）的误差估计得

表明估计略大，是符合实际的。

11.是非题（若"是"在末尾（）填+,"不是"填-）：

题目中

（1）若A对称正定,,则是上的一种向量范数　　（　）

（2）定义是一种范数矩阵　　（　）

（3）定义是一种范数矩阵　　（　）

（4）只要，则A总可分解为A=LU,其中L为单位下三角阵，U为非奇上三角阵　　（　）

（5）只要，则总可用列主元消去法求得方程组的解　　（　）

（6）若A对称正定,则A可分解为，其中L为对角元素为正的下三角阵　　（　）

（7）对任何都有　　（　）

（8）若A为正交矩阵，则　　（　）

答案：

（1）（＋）

（2）（－）（3）（＋）（4）（－）

　　　　（5）（＋）（6）（＋）（7）（－）（8）（＋）

第六章　解线性方程组的迭代法

习题六

1.证明对于任意的矩阵A，序列收敛于零矩阵

解：

由于而

故

2.方程组

（1）考查用Jacobi法和GS法解此方程组的收敛性.

（2）写出用J法及GS法解此方程组的迭代公式并以计算到为止

解：

因为

具有严格对角占优，故J法与GS法均收敛。

（2）J法得迭代公式是

取，迭代到18次有

GS迭代法计算公式为

取

3.设方程组

证明解此方程的Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法同时收敛或发散

解：

Jacobi迭代为

其迭代矩阵

，谱半径为，而Gauss-Seide迭代法为

其迭代矩阵

，其谱半径为

由于，故Jacobi迭代法与Gauss-Seidel法同时收敛或同时发散。

4.下列两个方程组Ax=b，若分别用J法及GS法求解，是否收敛

解：

Jacobi法的迭代矩阵是

即，故，J法收敛、

GS法的迭代矩阵为

故，解此方程组的GS法不收敛。

5.设，detA≠0，用,b表示解方程组Ax=f的J法及GS法收敛的充分必要条件.

解　J法迭代矩阵为

，故J法收敛的充要条件是。

GS法迭代矩阵为

由得GS法收敛得充要条件是

6.用SOR方法解方程组（分别取ω=,ω=1,ω=

精确解，要求当时迭代终止，并对每一个ω值确定迭代次数

解：

用SOR方法解此方程组的迭代公式为

取，当时，迭代5次达到要求

若取，迭代6次得

7.对上题求出SOR迭代法的最优松弛因子及渐近收敛速度，并求J法与GS法的渐近收敛速度.若要使那么J法GS法和SOR法各需迭代多少次

解：

J法的迭代矩阵为

，故，因A为对称正定三对角阵，最优松弛因子

J法收敛速度

由于，故

若要求，于是迭代次数

对于J法，取K＝15

对于GS法，取K＝8

对于SOR法，取K＝5

8.填空题

（1）要使应满足（）.

（2）已知方程组，则解此方程组的Jacobi迭代法是否收敛（）.它的渐近收敛速度R（B）=（）.

　　（3）设方程组Ax=b,其中其J法的迭代矩阵是（）.GS法的迭代矩阵是（）.

　　（4）用GS法解方程组，其中a为实数，方法收敛的充要条件是a满足（）.

　　（5）给定方程组,a为实数.当a满足（），且0＜ω＜2时SOR迭代法收敛.

答:

（1）

（2）J法是收敛的，

（3）J法迭代矩阵是，GS法迭代矩阵

（4）满足

（5）满足

第七章　　非线性方程求根

习题七

1.用二分法求方程的正根，使误差小于

解　使用二分法先要确定有根区间。

本题f（x）=x2-x-1=0,因f

（1）=-1,f

（2）=1,故区间[1,2]为有根区间。

另一根在[-1,0]内，故正根在[1,2]内。

用二分法计算各次迭代值如表。

其误差

2.求方程在=附近的一个根，将方程改写成下列等价形式，并建立相应迭代公式.

（1），迭代公式.

（2）,迭代公式.

　　（3），迭代公式.

试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛最快的方法求具有4位有效数字的近似根

解：

（1）取区间且，在且，在中，则L<1，满足收敛定理条件，故迭代收敛。

（2），在中，且，在中有，故迭代收敛。

（3），在附近，故迭代法发散。

在迭代

（1）及

（2）中，因为

（2）的迭代因子L较小，故它比

（1）收敛快。

用

（2）迭代，取，则

3.设方程的迭代法

（1）证明对,均有,其中为方程的根.

（2）取=4,求此迭代法的近似根，使误差不超过,并列出各次迭代值.

　（3）此迭代法收敛阶是多少证明你的结论

解：

（1）迭代函数，对有

，

（2）取，则有各次迭代值

取，其误差不超过

（3）

故此迭代为线性收敛

4.给定函数，设对一切x,存在，而且.证明对的任意常数,迭代法均收敛于方程的根

解：

由于，为单调增函数，故方程的根是唯一的（假定方程有根）。

迭代函数，。

令，则，由递推有

，即

5.用Steffensen方法计算第2题中

（2）、（3）的近似根，精确到

解:

在

（2）中,令,,则有

令,得

与第2题中

（2）的结果一致,可取,则满足精度要求.

对（3）有,原迭代不收敛.现令

令

6.用Newton法求下列方程的根，计算准确到4位有效数字.

（1）在=2附近的根.

（2）在=1附近的根

解：

（1）

Newton迭代法

取，则，取

（2）

令，则，取

7.应用Newton法于方程,求立方根的迭代公式，并讨论其收敛性.

解：

方程的根为，用Newton迭代法

此公式迭代函数，则，故迭代法2阶收敛。

还可证明迭代法整体收敛性。

设，对

一般的，当时有

这是因为当时成立。

从而，即，表明序列单调递减。

故对，迭代序列收敛于