流体力学教案第8章边界层理论.doc
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第八章边界层理论
§8-1边界层的基本概念
实际流体和理想流体的本质区别就是前者具有粘性。
对层流而言，单位面积摩擦力的大小，可以看出，对于确定的流体的等温流场，摩擦力的大小与速度梯度有关，其比例函数即动力粘度。
速度梯度大，粘性力也大，此时的流场称为粘性流场。
若速度梯度很小，则粘性力可以忽略，称为非粘性流场。
对于非粘性流场，则可按理想流体来处理。
则N-S方程可由欧拉方程代替，从而使问题大为简化。
当空气、蒸汽，水等小粘度的流体与其它物体作高速相对运动时，一般雷诺数很大。
由，则在这些流动中，惯性力>>粘性力，所以可略去粘性力。
但在紧靠物体壁面存在一流体薄层，粘性力却与惯性力为同一数量级。
所以，在这一薄层中，两者均不能略去。
这一薄层就叫边界层，或叫速度边界层，由普朗特在1904年发现。
图8-2空气沿平板边界层速度分布
外部区域
边界层
a．流体流过固体壁面，紧贴壁面处速度从零迅速增至主流速度，这一流体薄层，就叫边界层或速度边界层。
b．整个流场分为两部分
层外，，粘性忽略，无旋流动。
层内，粘性流，主要速度降在此，有旋流动。
c．由边界层外边界上，来定义d，d为边界层厚度。
d．按流动状态，边界层又分为层流边界层和紊流边界层。
由于在边界层内，流体在物体表面法线方向（即）速度梯度很大，所以，边界层内的流体具有相当大的旋涡强度；而在层外，由于速度梯度很小。
所以，即使对于粘度很大的流体，粘性力也很小，故可忽略不计，所以可认为，边界层外的流动是无旋的势流。
边界层的基本特征有：
（1）Þ薄层性质，其中L为物体的长度；沿流方向。
（2）层内很大，边界层内存在层流和紊流两种流态。
（3）边界层内，，即认为边界层内各截面上的压力等于同一截面上边界层外边界上的压力；惯性力和粘性力为同一数量级。
另外，边界层又分为层流边界层，紊流边界层以及超始部分为层流，然后是紊流的，为混合边界层。
层流边界层向紊流边界层过渡时，不是突然转变的。
层内的扰动随着边界层的增厚在某个部位出现并发展出来，直至充满整个边界层。
所以，从层流到紊流之间有一过渡区段.
边界层
层流边界层
紊流边界层
混合边界层
起始部分为层流
然后为紊流
层流边界层
过渡区
紊流边界层
图8-3平板上的混合边界层
边界层由层流向紊流的转变，决定了Re的大小，判别边界层层流和紊流的雷诺数为：
，
其中：
x—为所测点与物体前缘点的距离。
V—为边界层外边界上的速度V（x）。
对平板面言，层流转变为紊流的临界Re为：
，（来流紊流度，物体壁面粗糙度）
Rex临与边界层外势流的紊流度以及物体壁面的粗糙度有关。
实验证明，若使层外Re，或增加壁面粗糙度eÞRex临¯（相当于增加扰动），提前使边界层内的流动由层流转变为紊流。
工程上还常常遇到一种管流边界层。
如图所示。
流体从大容器流入管道，管道入口呈圆角，则在进口断面上处流速分布均匀。
由于粘性，流体在近壁处形成边界层，且边界层厚度沿流动方向增大。
根据流体流动的连续性，边界层内流速的减小，必将使中心部分流速增大，因此，沿流动方向的各断面上速度分布不断改变。
直至在离进口距离为L的c-c断面上，边界层基本上扩展至管轴，此时断面中心最大流速已等于完全扩展段的最大流速的0.98-0.99，则认为该断面上流动基本上已完全扩展。
从进口a-a至c-c断面的距离L称为管道的起始段长度，c-c断面以后则为充分发展的管流。
当起始段边界层为层流时，起始段长度L较大，约为L/d=0.058Re。
起始段除了摩擦损失之外，还有流体动能变化而导致的附加损失（从进口处的逐渐增大至）。
若设附加损失为，则起始段内的总压强损失为
理论分析和实验研究的结果表明：
k=1.16~1.33
若加大管道入口流速，使边界层由层流转变为紊流，由于紊流流体质点的脉动混杂，边界层比层流增长得快，因此起始段比层流时要小，约为L/d=30。
实际在距进口12d，边界层已扩展至接近管轴，之后边界层的继续扩展就很缓慢，在距进口12d，以后，沿程阻力系数已与充分扩展时相同，这就是说，紊流起始段很短，影响也小，一般情况下可以忽略不计，但在工程测量及管道阻力实验时，需避开起始段的影响。
§8-2不可压层流边界层方程
边界层特性的确定，关系到流动阻力、能量损失、传热传质等重要的工程实际问题。
德国人普朗特和匈牙利人冯·卡门（普朗特的学生）在这方面作出了巨大贡献。
他们除了提出边界层的概念以外，还推导了边界层的解析计算法和动量计算法。
前者算为边界层的微分方程式，后者称为边界层的积分方程式。
下面，我们首先讨论边界层的微分方程式。
由于在边界层以外，很小，可认为是无旋运动，则可利用理想流体的势流理论进行处理。
所以，对流体的流动阻力，我们可近似地认为全部发生在边界层以内。
（这就是研究边界层内的流动的意义之一）
x
x
图8-5不可压平板层流边界层
前提：
在边界层以内，取值范围：
0≤x≤l，0≤y≤l，由于x≥y，我们认为x的数量级是1，y的数量级是△，并且认为：
△比1低一个数量级。
所谓低一个数量级，一般可以这样认为，两个量之比，其中一个量可忽略时，则认为这个量比另一个量小一数量级。
即：
x~1，y~△
并且边界层内，由u≥υ，故认为或由连续方程，u~1，υ~△，
∵x~1并且我们认为u~1，而y~△，必然是υ~△，这样才能满足连续方程，
，。
注意：
导数又称为微商，例如，类似地在进行数量级比较时，我们可以写成，即1的数量级。
假定边界层内流动全是层流，且忽略质量力，那么，对于不可压流体定常二元绕流流动并忽略质量力时，N-S方程和连续方程为：
（1）
（2）
（3）
因为两方程联立，上式保留1的数量级项，低于1的数量级统统忽略。
①、②两式中右边括号内的两项相比，后一项要比前一项大得多，所以均可略去，又由①式由于惯性力和粘性力属于同一数量级，而惯性项的1的数量级，而粘性项必然为1，而为的数量级，则必有v为的数量级。
又②式与①式相比，又可略去三项。
至于压力梯度的数量级，我们后面再讨论。
故由：
边界条件中，y=0，u=υ=0；y=δ，u=u（x），对沿平壁面而言y=δ，u=1。
上式即为层流边界层微分方程，又称为普朗特边界层方程，由普朗特在1904年提出。
从（3）还可以得到一个重要结论，在边界层内，即边界层横截面上应点压力相等，即p=f（x），而边界层外界上及边界层以外，由势流伯努利方程：
求导，则：
说明层外压力项和惯性项具有同一数量级，而边界层以内，并且，由于在边界层以内惯性项和粘性项为同一数量级，所以压力梯度至多也只能是1的数量级，否则等式（3）不能成立。
当流体纵掠平板时，边界层外主流速度没有变化，此时，，则，则整个流场压力处处相等。
方程（3）虽然是在平壁的情况下导出的，但对曲率不太大的曲线壁面仍然适用。
此时，x轴沿壁面方向，y轴沿壁面法线方向。
边界层微分方程式是边界层计算的基本方程式。
显然，此方程比一般的N-S方程要简单，但是，由于它的非线性（例如，就并非一次函数），即使对于外形最简单的物体，求解也是十分困难的。
目前，只能对最简单的平板绕流层流边界层进行计算，对复杂物体的绕流以及紊流边界层还不能用微分方程求解。
为此，下一节讨论边界层问题的近似解法，即边界层动量积分关系式。
§8-3边界层动量积分方程
一、边界层动量积分方程
由卡门在1921年提出。
推导前提：
二元定常，忽略质量力，且u>>υ（由边界层微分方程的数量级比较可看出），所以只考虑x方向的动量变化，不引入y方向的流速υ。
tw
dd
pd
dx
x
A
C
B
D
x
y
y
dy
图8-6边界层微元控制体
取控制体如图所示，沿边界层取一块面积ABDC，AB、CD为两通直线，且垂直壁面的两者相距dx，BD为壁面，并且也为x轴。
AC为边界层的外边界线（并非流线）。
垂直纸面（黑板面）方向的尺寸为1，则单位时间内：
AB面流进的流体质量；
动量
CD面流出的流体质量；
同理动量
对定常流，由质量守恒：
流进控制面的流体质量=流出控制面的流体质量
又因边界层外边界线AC与流线并不平行，故AC面有质量流进。
则AC面流进的流体质量，由mAB+mAC=mCD
Þ
动量=质量流量×速度
Þ
其中Ue为边界层外边界上的速度。
则单位时间内通过控制面的x方向的动量变化为：
出口动量—入口动量
而控制体在x方向的受力为：
AB面：
FAB=p·δ·1
CD面：
AC面：
BD面：
负号是因为受力与x轴方向相反
则x方向外力之和为：
其中略去了二阶微量。
那么，由动量定理，得到：
定常运动条件下边界层的动量积分关系式。
由于在边界层内，，∴，p=p（x），且d=d（x），所以，上述偏导数可改写成：
上式即为边界层的动量积分关系式。
由于在推导过程中，未知对作任何本质的假设，所以上式适用于层、紊流。
对不可压流体，上式的未知数有三个，即u，，d，所以一个方程要解三个未知数，那么还要补充两个方程。
二、边界层的位移厚度和动量损失厚度
动量积分关系式
，
先改写动量积分关系式，由势流伯努到方程：
则，
再由于，
则
再对左边第二项做了变换，由乘积求导公式：
，令=h，
则
按上述变换代入，且左边第一项以及或边的得：
下面分析式中两次积分的物理意义：
第一项积分：
表示速度为V的理想流体，流经高度为d，垂直纸面尺寸为1的截面的流量与以实际流速u流过同样截面的流量之差。
图示如下：
d
V
x
y
d1
Ue-u
图8-7边界层位移厚度
而曲边三角形的面积总可用一个矩形面积来代替，令
d1就称为位移厚度。
比较同一平板表面的粘性流和理想势流流动，由于粘性流体边界层内的流动受阻，在无穷远处来流中每一条确定的流线在理想势流流场中的位置被向外排挤了一段距离。
方程第三项积分的物理意义为：
显然表示了因粘性影响而产生的流体动量的减少量。
令
称为动量损失厚度，它的物理意义为：
当理想流体流过平板时，某一断面处通过的质量流量为；若是粘性流体通过该断面，其质量流量为，因此在同一断面损失的理想流体的质量为，损失的动量为，把这部分动量损失折算为厚度d2，的理想势流所具有的动量，边界层内的流体动量损失，其数值相当于平板表面上的厚度为d2的一层理想流体的动量。
§8-4平板层流边界层的近似计算
作为应用边界层的积分关系式来决实际问题的例子，下面我们来研究不可压粘性流体定常流流经平板的问题。
如图所示：
外部速度
x
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