届湖南长郡中学高三第二次调研考试数学理试题.docx
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届湖南长郡中学高三第二次调研考试数学理试题
2020届湖南长郡中学高三第二次调研考试
数学试卷（理）
★祝考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：
高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：
每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：
用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合
，则
A.
B.
C.
D.
2．复数
在复平面内对应的点为
A．
B．
C．
D．
3．已知角
的终边经过点
，则
的值为
A.
B.
C.
D.
4．下列函数中，既是奇函数，又在区间
上单调递增的函数是
A．
B．
C.
D．
5．《张丘建算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中卷上第二十三问：
“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈．问日益几何？
”其意思为“有个女子织布，每天比前一天多织相同量的布，第一天织五尺，一个月（按30天计）共织390尺．问：
每天多织多少布？
”已知1匹＝4丈，1丈＝10尺，估算出每天多织的布约有
A．0.55尺B．0.53尺C．0.52尺D．0.5尺
6．
的展开式中常数项为
A.
B.
C.
D.
7．设
是两条不同的直线，
是两个不同的平面，若
，则“
”是“
”的
A.充分不必要条件B．必要不充分条件
C.充要条件D．既不充分也不必要条件
8．如图，图中的大、小三角形分别为全等的等腰直角三角形，向图中任意投掷一飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率为
A．
B．
C．
D．
9．执行如图所示的程序框图，输出的结果为
A．
B．
C．
D．
10．将函数
的图像向右平移
个周期后，所得图像对应的函数为
，则函数
的单调递增区间为
A.
B.
C.
D.
11．已知抛物线
的准线与双曲线
的两条渐近线分别交于
、
两点，
为坐标原点，若
的面积等于
，则双曲线的离心率为
A．3B．
C．
D．4
12．已知函数
，若函数
与直线
有2个交点，则实数
的取值范围为
A.（-∞,l] B.[2,+∞） C.（-∞,2） D.（0,+∞）
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．若
满足约束条件
，则
的最小值为_______________．
14．已知向量
，且
的夹角为
，则
_______________．
15．知
为奇函数，当
时，
，则曲线
在点
处的切线斜率为____________．
16．数列
且
，若
为数列
的前
项和，则
______．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（本小题满分12分）
在
中，
是
的边上的点，
.
（1）求
的值；
（2）若
，求
的长.
18．（本小题满分12分）某市第三中学高三年级统计学生的最近20次数学周测成绩（满分150分），
现有甲乙两位同学的20次成绩如茎叶图所示；
（1）根据茎叶图求甲乙两位同学成绩的中位数，并将同学乙的成绩的频率分布直方图补充完整；
（2）根据茎叶图比较甲乙两位同学数学成绩的平均值及稳定程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；
（3）现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩，设选出的2个成绩中含甲的成绩的个数为X，求X的分布列及数学期望.
19．（本小题满分12分）已知正方形
和矩形
所在的平面互相垂直，
，点
在线段
上.
（1）若
为
的中点，求证：
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
20．（本小题满分12分）已知椭圆
经过点
，且右焦点
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）若直线
与椭圆
交于
，
两点，当
最大时，求直线
的方程．
21．（本小题满分12分）设函数
.
（1）求曲线
在点
处的切线方程；
（2）讨论函数
的单调性；
（3）设
当
时,若对任意的
，存在
，使得
≥
，求实数
的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22．（本小题满分10分）选修4-4：
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系
中，曲线C的参数方程为
，以坐标原点
为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线
的极坐标方程为
，若直线
与曲线
相切．
（1）求曲线
的极坐标方程；
（2）在曲线
上取两点
与原点
构成
，且满足
，求
面积的最大值．
23．（本小题满分10分）选修4-5：
不等式选讲
已知
.设
的最小值为
.
（1）求
的值；
（2）解不等式
.
理科数学答案及评分标准
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，满分60分.
1.C2.B3.B4.A5.A6.D7.C8.B9.D10.B11.C12.C
13.
14.
15.
16.
三.解答题
17.（本小题满分12分）
解：
（1）∵
，
∴
，……………………
∵
，∴
.……………………
∴
，
.………………………
（2）在
中,由正弦定理得：
，即
，∴
.……………
在
中，由余弦定理得：
，∴
.………
18.（本小题满分12分）
（1）甲的中位数是119，乙的中位数是128；
图如下……………………4分
（2）乙的平均数大于甲的，乙的成绩比甲的更稳定；……………………6分
（3）甲乙不低于140分的成绩共5个，
则X的取值为0,1,2
；……7分
；……………………8分
……………………9分
所以X的分布列为……………………11分
P
0
1
2
X
……………………12分
19.（本小题满分12分）
（1）设
，连结
，
因为正方形
，所以
为
中点
又矩形
为
的中点
所以
且
……………………………..2分
所以
为平行四边形
所以
……………………………..4分
又
平面
，
平面
所以
平面
……………………………5分
（2）以
为原点，分别以
为
轴建立坐标系
-
则
设平面
的法向量为
，
由
得
则
……………9分
易知平面
的法向量
……………10分
由图可知二面角
为锐角
所以二面角
的余弦值为
……………12分
20.（本小题满分12分）
解:
（1）设椭圆
的左焦点
，则
，
又
，所以椭圆
的方程为
．……………………4分
（2）由
，设
，
，
由
，且
，
，……………………8分
．
设
，则
，
，
当
，即
时，
有最大值
，此时
．……………………12分
21.（本小题满分12分）
解：
（1）解:
因为
且
所以曲线
在点
处的切线方程为
……………………4分
（2）解:
函数
的定义域为
令
，由
，知
讨论:
当
时，
，此时
在
上单调递减，在
上单调递增.
当
时，
，此时
在
上单调递增，在
上单调递减……………………8分
（3）解:
由（Ⅱ）知，当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增.
则对任意的
，有
≥
，即
.
又已知存在
使得
≥
所以
≥
，即存在
，使得
≤
，
即
≥
.因为
时，
，
所以
≥
，即
≥
.所以实数
的取值范围是
.……………………12分
22.（本小题满分10分）
解：
（1）由题意可知直线l的直角坐标方程为y＝
x＋2,
曲线C是圆心为
，半径为r的圆，直线l与曲线C相切，可得：
r＝
＝2；可知曲线C的方程为
＋
＝4,
所以曲线C的极坐标方程为ρ2－2
ρcosθ－2ρsinθ＝0，即ρ＝4sin
.（5分）
（2）由（Ⅰ）不妨设M（ρ1，θ），N
，（ρ1>0，ρ2>0），
S△MON＝
sin
，
＝
ρ1·ρ2＝4sin
·sin
＝2sinθcosθ＋2
cos2θ
＝sin2θ＋
cos2θ＋
＝2sin
＋
，
当θ＝
时，S△MON＝2＋
，所以△MON面积的最大值为2＋
.（10分）
23（本小题满分10分）
解：
（Ⅰ）
.
∵
，∴
，∴
当且仅当
，即
时取等号，∴
最小值为
，∴
.…………
（Ⅱ）
.
当
时，原不等式化为
，解得
；
当
时，原不等式化为
，解得
；
当
时，原不等式化为
，无解.
综上，原不等式的解集为
.………………
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