高考数学大一轮复习 第四章 三角函数练习 文.docx
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高考数学大一轮复习第四章三角函数练习文
第四章 三角函数
第21课 弧度制与任意角的三角函数
A 应知应会
1.下列说法,正确的是 .（填序号）
①终边落在第一象限内的角为锐角;
②锐角是第一象限角;
③第二象限角为钝角;
④小于90°的角一定为锐角;
⑤角α与角-α的终边关于x轴对称.
2.已知α为第二象限角,那么-的值为 .
3.若α=k·180°+45°,k∈Z,则α为第 象限角.
4.已知某扇形的周长是8cm,面积为4cm2,那么该扇形的圆心角的弧度是 .
5.已知sinα<0,tanα>0.
（1）求角α的集合;
（2）求角的终边所在的象限;
（3）试判断tansincos的符号.
6.已知角α的终边上有一点P（3a,4a）,其中a≠0,求sinα,cosα,tanα.
B 巩固提升
1.已知cosx=,x是第二或第三象限角,那么实数a的取值范围为 .
2.已知角α的终边上有一点P（t,t2+1）（t>0）,那么tanα的最小值为 .
3.（2016·合肥调研）函数y=lg（3-4sin2x）的定义域为 .
4.若点P从点（1,0）出发,沿单位圆x2+y2=1按逆时针方向运动弧长到达点Q,则点Q的坐标为 .
5.已知角θ的终边经过点P（-,m）（m≠0）,且sinθ=m,试判断角θ的终边在第几象限,并求cosθ和tanθ的值.
6.已知扇形AOB的周长为8cm.
（1）若此扇形的面积为3cm2,求圆心角的大小;
（2）当此扇形的面积取到最大值时,求圆心角的大小和弦长AB.
第22课 同角三角函数间基本关系式
A 应知应会
1.（2015·福建卷）若sinα=-,且α为第四象限角,则tanα的值为 .
2.已知tanα=,且α∈,那么sinα= .
3.若角α的终边落在第三象限,则+= .
4.已知sinα-cosα=,且α∈（0,π）,那么tanα= .
5.已知sinθ=,<θ<π.
（1）求tanθ的值;
（2）求的值.
6.
（1）已知cosα=-,求sinα,tanα的值.
（2）已知α∈,且sinα+2cosα=,求tanα的值.
B 巩固提升
1.已知2tanα·sinα=3,且-<α<0,那么sinα= .
2.已知sinx=2cosx,那么sin2x+1= .
3.（2016·苏州期末）已知θ是第三象限角,且sinθ-2cosθ=-,那么sinθ+cosθ= .
4.计算:
sin21°+sin22°+…+sin290°= .
5.化简:
.
6.已知sinθ,cosθ是方程x2-（-1）x+m=0的两根.
（1）求m的值;
（2）求+的值.
第23课 三角函数的诱导公式
A 应知应会
1.计算:
cos（-420°）= .
2.计算:
tan= .
3.若sin=,且α∈,则tanα= .
4.若=2,则sin（θ-5π）sin= .
5.已知sin（α-3π）=2cos（α-4π）,求的值.
6.已知函数f（x）=.
（1）求函数f（x）的定义域;
（2）若tanα=-,求f（α）的值.
B 巩固提升
1.已知sin=,那么cos的值为 .
2.化简:
= .
3.已知f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx-β）,其中α,β,a,b均为非零实数.若f（2018）=-1,则f（2017）= .
4.若cos（-80°）=k,则tan100°= .
5.已知cos=,求cos-sin2
α-
的值.
6.已知函数f（α）=.
（1）求f的值;
（2）若2f（π+α）=f,求+cos2α的值.
第24课 两角和与差的三角函数
A 应知应会
1.已知sinα=,且α∈,那么cos
α+
的值为 .
2.（2015·扬州期末）已知α∈（0,π）,cosα=-,那么tan= .
3.若cos=,且θ∈,则cosθ= .
4.求值:
tan10°+tan50°+tan10°tan50°= .
5.已知α,β均为锐角,sinα=,cosβ=,求α+β的值.
6.已知cos=-,sin=,且<α<π,0<β<,求cos的值.
B 巩固提升
1.计算:
= .
2.已知α+β=,那么（1+tanα）（1+tanβ）的值为 .
3.（2016·镇江中学）若0<α<,-<β<0,cos=,cos=,则cos= .
4.已知sinα=,sin（α-β）=-,且α,β均为锐角,那么β= .
5.（2016·南京模拟）已知α∈,sin=,求sin的值.
6.已知向量a=（cosα,sinα）,b=（cosβ,sinβ）.
（1）若α-β=,求a·b的值;
（2）若a·b=,α=,且α-β∈,求tan（α+β）的值.
第25课 二倍角的正弦、余弦与正切
A 应知应会
1.计算:
sin15°cos15°= .
2.已知sin=,cos=-,那么角θ在第 象限.
3.已知α为锐角,cosα=,那么tan= .
4.已知cos4α-sin4α=,且α∈,那么cos= .
5.求-2sin10°·tan80°的值.
6.已知α∈,sinα=.
（1）求sin的值;
（2）求cos的值.
B 巩固提升
1.计算:
sin15°sin30°sin75°= .
2.已知sin2α=,那么cos2= .
3.若tan=,且-<α<0,则= .
4.（2016·江西师大附中）已知sin=,且θ∈,那么tan2θ= .
5.若α为锐角,cos=,求sin
2α+
的值.
6.（2016·苏州、无锡、常州、镇江调研）已知函数f（x）=cos2x+sinxcosx,x∈R.
（1）求f的值;
（2）若sinα=,且α∈,求f的值.
第26课 三角变换
A 应知应会
1.已知cosθ=,且270°<θ<360°,那么cos= .
2.函数f（x）=1-2sin2的最小正周期是 ,奇偶性是 .
3.化简:
= .
4.在△ABC中,若tanA+tanB+=tanA·tanB,则C= .
5.已知-（1）求sinx-cosx的值;
（2）求的值.
6.已知函数f（x）=2sin,x∈R.
（1）求f的值;
（2）若α,β∈,f=,f（3β+2π）=,求cos（α+β）的值.
B 巩固提升
1.函数y=sin2x-sin2x的最小正周期为 .
2.已知tan=3,那么sin2θ-2cos2θ的值为 .
3.求值:
= .
4.（2016·苏州模拟）已知sinα+3cosα=,那么tan2α的值为 .
5.（2016·淮阴中学）已知函数f（x）=sin+acosx（a∈R,a≠0）.
（1）若函数f（x）的最大值为1,求实数a的值;
（2）若α∈,f=,f=,求f（2α）的值.
6.（2015·南京二模）已知函数f（x）=sin2x+msinsin.
（1）当m=0时,求f（x）在区间上的值域;
（2）当tanα=2时,f（α）=,求m的值.
第27课 三角函数的图象和性质
A 应知应会
1.函数y=tan的定义域是 .
2.函数y=的值域为 .
3.函数f（x）=sin图象的对称轴方程是 .
4.（2016·天一中学）已知函数f（x）=-2sin（2x+φ）（|φ|<π）.若f=-2,则函数f（x）的单调减区间是 .
5.求函数y=2cos2x+5sinx-4的值域.
6.已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x-2.
（1）求函数f（x）图象的对称轴方程;
（2）求函数f（x）的单调增区间;
（3）当x∈时,求函数f（x）的最大值和最小值.
B 巩固提升
1.若函数f（x）=2sinωx（0<ω<1）在区间上的最大值为,则ω= .
2.（2015·徐州、连云港、宿迁三检）已知函数f（x）=sin（0<ω<2）.若f=1,则函数f（x）的最小正周期为 .
3.（2016·扬州期末）已知函数f（x）=sin（0≤x<π）,且f（α）=f（β）=（α≠β）,那么α+β= .
4.若函数f（x）=sin（x+θ）的图象关于直线x=对称,则θ= .
5.（2016·启东中学）已知函数f（x）=sin2.
（1）求f（x）的最小正周期及其图象的对称轴方程;
（2）求f的单调减区间.
6.（2016·苏南名校联考）已知a>0,函数f（x）=-2asin+2a+b,且当x∈时,-5≤f（x）≤1.
（1）求常数a,b的值;
（2）若g（x）=f,且lgg（x）>0,求g（x）的单调区间.
第28课 函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象
A 应知应会
1.要得到函数y=sin的图象,只需将函数y=sin4x的图象向 平移 个单位长度.（只需填写一组正确的答案即可）
2.（2015·浙江卷）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期为 ,最小值为 .
3.（2016·无锡期末）若将函数f（x）=2sin2x图象上的每一点向右平移个单位长度后得到函数y=g（x）的图象,则g（x）= .
4.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）图象上的两个相邻的最高点和最低点间的距离为2,且函数f（x）的图象过点,那么f（x）= .
5.已知函数f（x）=cos（ωx+φ）
ω>0,-<φ<0
的最小正周期为π,且f=.
（1）求ω和φ的值;
（2）在给定的坐标系中作出函数f（x）在[0,π]上的图象;
（3）若f（x）>,求x的取值范围.
（第5题）
6.（2016·南京、盐城一模）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示.
（1）求函数y=f（x）的解析式;
（2）当x∈时,求f（x）的取值范围.
（第6题）
B 巩固提升
1.（2016·如皋联考）若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位长度后所得的图象关于y轴对称,则φ的最小正值是 .
2.若将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位长度后所得的图象对应的函数是奇函数,则函数f（x）在上的最小值为 .
（第3题）
3.（2016·苏北四市期末）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω>0）的部分图象如图所示,若AB=5,则ω的值为 .
4.已知函数f（x）=sin（ω>0）,f=f,且f（x）在区间上有最小值,无最大值,那么ω= .
5.（2016·徐州一中）已知函数f（x）=2sin（0<φ<π,ω>0）为偶函数,且函数f（x）图象的两条相邻对称轴间的距离为.
（1）求f的值;
（2）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位长度后,再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的4倍（纵坐标不变）,得到函数g（x）的图象,求g（x）的解析式,并写出g（x）的单调减区间.
6.已知函数f（x）=sinωx·cosωx+cos2ωx-（ω>0）,其最小正周期为.
（1）求f（x）的解析式.
（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后,再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）,得到函数g（x）的图象.若关于x的方程g（x）+k=0在区间上有且只有一个实数解,求实数k的取值范围.
第29课 三角函数模型及其应用
A 应知应会
1.若某人的血压满足函数关系式p（t）=110+20sin（150πt）,其中p（t）为血压（单位:
mmHg）,t为时间（单位:
min）,则此人每分钟心跳的次数为 .
2.已知电流I（单位:
A）随时间t（单位:
s）变化的函数I=Asin（ωt+φ）
A>0,ω>0,0<φ<
的图象如图所示,则当t=s时,电流为 A.
（第2题）
3.如图,某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数关系式y=Asin（ωx+φ）+b,那么8时的近似温度为 ℃.
（第3题）
4.一根长为lcm的线的一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆动时离开平衡位置的位移s（单位:
cm）与时间t（单位:
s）之间的函数关系式为s=3cos,其中g是重力加速度,那么当小球摆动的周期为1s时,线长l等于 .
5.如图,在直径为1的圆O中,作一个关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形,其中y>x>0.
（1）将十字形的面积表示为θ的函数;
（2）试问:
当θ满足什么条件时,十字形的面积最大?
最大面积是多少?
（第5题）
6.某实验室一天的温度（单位:
℃）与时间t（单位:
h）之间近似满足函数关系式f（t）=10-cost-sint,t∈[0,24）.
（1）求实验室这一天的最大温差;
（2）若要求实验室温度不高于11℃,则在哪段时间实验室需要降温?
B 巩固提升
（第1题）
1.如图,这是某简谐运动的图象,则这个简谐运动需要 s才能往返一次.
2.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm,秒针绕点O匀速旋转.当时间t=0时,点A与钟面上标12点的点B重合.将A,B两点的距离d（单位:
cm）表示成t（单位:
s）的函数,则d= ,其中t∈[0,60].
3.用作调频无线电信号的载波以y=Asin（1.83×108πt）（A>0）为模型,其中t的单位是s,则此载波的周期为 ,频率为 .
4.某星星的亮度变化周期为10天,此星星的平均亮度为3.8星等,最高亮度距离平均亮度0.2星等,则可近似地描述此星星的亮度y（单位:
星等）与时间t（单位:
天）之间的关系的一个三角函数为 .
5.（2016·无锡期末）在一个直角边长为10m的等腰直角三角形的草地ABC上,铺设一个也是等腰直角三角形的花地PQR,要求P,Q,R三点分别在△ABC的三条边上,且要使△PQR的面积最小.现有两种设计方案:
方案一:
直角顶点Q在斜边AB上,R,P分别在直角边AC,BC上;
方案二:
直角顶点Q在直角边BC上,R,P分别在直角边AC,斜边AB上.
请问:
应选用哪一种方案?
并说明理由.
（第5题）
6.（2016·盐城中学）如图,在平面直角坐标系xOy中,角α的顶点在原点,始边与x轴的正半轴重合,终边交单位圆于点A,且α∈.将角α的终边绕原点按逆时针方向旋转,交单位圆于点B,过点B作BC⊥y轴于点C.
（1）若点A的纵坐标为,求点B的横坐标;
（2）求△AOC面积S的最大值.
（第6题）
第四章 三角函数
第21课 弧度制与任意角的三角函数
A 应知应会
1.②⑤ 【解析】命题①错,如:
390°角的终边在第一象限内,但不是锐角;命题③错,如:
480°角的终边在第二象限内,但不是钝角;命题④错,如:
-30°小于90°,但不是锐角.
2.2 【解析】由α为第二象限角,得|sinα|=sinα,|cosα|=-cosα,所以-=2.
3.一或三 【解析】当k=2n时,α=n·360°+45°,故α为第一象限角;当k=2n+1时,α=n·360°+225°,故α为第三象限角.因此α为第一或第三象限角.
4.2 【解析】设扇形的半径为r,所对的弧长为l,则有解得故α==2.
5.【解答】
（1）由sinα<0,得角α的终边在第三、四象限或y轴的负半轴上;由tanα>0,得角α的终边在第一、三象限.故角α的终边在第三象限,其集合为.
（2）由2kπ+π<α<2kπ+,k∈Z,得kπ+<（3）当角的终边在第二象限时,tan<0,sin>0,cos<0,所以tansin·cos>0;当角的终边在第四象限时,tan<0,sin<0,cos>0,所以tansincos>0.
综上,tansincos的符号为正.
6.【解答】由题意知r==5|a|.
当a>0时,r=5a,
所以sinα===,cosα===,tanα===;
当a<0时,r=-5a,
所以sinα=-,cosα=-,tanα=.
综上可知,当a>0时,sinα=,cosα=,tanα=;
当a<0时,sinα=-,cosα=-,tanα=.
B 巩固提升
1. 【解析】由题知-12.2 【解析】由题意知tanα==t+≥2,当且仅当t=1时等号成立,故tanα的最小值为2.
3.,k∈Z 【解析】因为3-4sin2x>0,所以sin2x<,所以-kπ-,kπ+
k∈Z.
4. 【解析】由弧长公式l=|α|·r,l=,r=1,得点P按逆时针方向转过的角度α=,所以点Q的坐标为,即.
5.【解答】由题意得r=,
所以sinθ==m.
因为m≠0,所以m=±,故θ是第二或第三象限角.
当m=时,r=2,点P的坐标为（-,）,
所以cosθ===-,tanθ===-.
当m=-时,r=2,点P的坐标为（-,-）,
所以cosθ===-,tanθ===.
综上可知,cosθ=-,tanθ=-或cosθ=-,tanθ=.
6.【解答】设扇形AOB的半径为r,弧长为l,圆心角为α.
（1）由题设可得解得或所以α==或α==6.
（2）因为2r+l=2r+αr=8,所以r=,所以S扇=αr2=α·=≤4,当且仅当α=,即α=2时,此扇形的面积取到最大值4,此时r==2（cm）,所以AB=2×2sin1=4sin1（cm）.
第22课 同角三角函数间基本关系式
A 应知应会
1.- 【解析】由sinα=-且α为第四象限角,得cosα==,所以tanα==-.
2.- 【解析】因为tanα=>0,且α∈,所以sinα<0.又sin2α====,所以sinα=-.
3.-3 【解析】由角α的终边落在第三象限,得sinα<0,cosα<0,故原式=+=+=-1-2=-3.
4.-1 【解析】由sinα-cosα=,得1-2sinαcosα=2,所以（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=0,所以sinα=-cosα,所以tanα=-1.
5.【解答】
（1）因为sin2θ+cos2θ=1,
所以cos2θ=.
又<θ<π,所以cosθ=-,
所以tanθ==-.
（2）由
（1）知=
=-.
6.【解答】
（1）因为cosα=-<0,所以α是第二或第三象限角.
①如果α是第二象限角,那么sinα===,tanα===-;
②如果α是第三象限角,那么sinα=-=-=-,tanα===.
（2）因为
解得或
所以tanα=或.
B 巩固提升
1.- 【解析】由2tanα·sinα=3,得=3,即2cos2α+3cosα-2=0,解得cosα=或cosα=-2（舍去）,又-<α<0,故sinα=-.
2. 【解析】由sinx=2cosx,得tanx=2,所以sin2x+1==
==.
3.- 【解析】由得5cos2θ-cosθ-=0,解得cosθ=或cosθ=-.因为θ是第三象限角,所以cosθ=-,从而sinθ=-,所以sinθ+cosθ=-.
4. 【解析】原式=sin21°+sin289°+sin22°+sin288°+…+sin244°+sin246°+sin245°+sin290°=（sin21°+cos21°）+（sin22°+cos22°）+…+（sin244°+cos244°）++1=44×1+=.
5.【解答】原式=
·
-
=
=·=.
当sinα·cosα>0,即α为第一或第三象限角时,原式=4;
当sinα·cosα<0,即α为第二或第四象限角时,原式=-4.
综上,原式=4或-4.
6.【解答】
（1）由韦达定理可得
由①得1+2sinθ·cosθ=4-2.
将②代入得m=-,满足Δ=（-1）2-4m≥0,故m的值为-.
（2）+
=+
=+=
=cosθ+sinθ=-1.
第23课 三角函数的诱导公式
A 应知应会
1. 【解析】cos（-420°）=cos（360°+60°）=cos60°=.
2. 【解析】tan=tan
-+4π
=tan=.
3.-2 【解析】因为sin=,α∈,所以cosα=,sinα=-,则tanα=-2.
4. 【解析】由=2,得sinθ+cosθ=2（sinθ-cosθ）,两边平方得1+2sinθcosθ=4（1-2sinθcosθ）,故sinθcosθ=,所以sin（θ-5π）·sin=sinθcosθ=.
5.【解答】因为sin（α-3π）=2cos（α-4π）,
所以-sin（3π-α）=2cos（4π-α）,
所以-sin（π-α）=2cos（-α）,
所以sinα=-2cosα且cosα≠0,
所以原式====-.
6.【解答】
（1）由cosx≠0,得x≠+kπ,k∈Z,所以原函数的定义域是.
（2）因为tanα=-,所以f（α）=
==-1-tanα=.
B 巩固提升
1.- 【解析】因为sin=,所以cos=cos
α++
=-sin=-.
2.sin2-cos2 【解析】原式===|sin2-cos2|=sin2-cos2.
3.1 【解析】由题意知f（2018）=asin（2018π+α）+bcos（2018π-β）=asinα+bcosβ=-1,所以f（2017）=asin（2017π+α）+bcos（2017π-β）=-asinα-bcosβ=-（-1）=1.
4.- 【解析】由题意知cos80°=k,所以sin80°=,tan80°=,所以tan100°=tan（180°-80°）=-tan80°=-.
5.【解答】由题设知cos=cos=-cos=-,
sin2=sin2=1-cos2=1-=,
所以cos-sin2=--=-.
6.【解答】
（1）f（α）==cosα,
所以f=cos=cos=cos=.
（2）2f（π+α）=2cos（π+α）=-2cosα,
f=cos=-sinα,
所以-2cosα=-sinα,所以tanα=2.
原式=+
=+
=+=.
第24课 两角和与差的三角函数
A 应知应会
1. 【解析】由sinα=,α∈,得cosα=,故cos=cosαcos-sinαsin
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