概率论与数理统计复习题解析.docx

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概率论与数理统计复习题解析

概率论与数理统计大题类型

0：

古典概率（10页，例子）排列和组合的区别

一：

全概率公式和贝叶斯公式（14页）

例：

某厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，它们的产量之比为3：

2：

1，各车间产品的不合格率依次为8％，9%,12%。

现从该厂产品中任意抽取一件，求：

（1）取到不合格产品的概率；

（2）若取到的是不合格品，求它是由甲车间生产的概率。

解：

设A1，A2，A3分别表示产品由甲、乙、丙车间生产，B表示产品不合格，

则A1，A2，A3为一个完备事件组。

P（A1）=1/2,P（A2）=1/3,P（A3）=1/6,

P（B|A1）＝0.08，P（B|A2）＝0.09，P（B|A3）＝0.12。

由全概率公式P（B）=P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）=0.09

由贝叶斯公式：

P（A1|B）＝P（A1B）/P（B）=4/9

练习：

市场上出售的某种商品由三个厂家同时供货，其供应量第一厂家为第二厂家的2倍，第二、三两厂家相等，而且第一、二、三厂家的次品率依次为2％，2％，4％。

若在市场上随机购买一件商品为次品，问该件商品是第一厂家生产的概率是多少？

练习：

设两箱内装有同种零件，第一箱装50件，有10件一等品，第二箱装30件，有18件一等品，先从两箱中任挑一箱，再从此箱中前后不放回地任取2个零件，求：

（1）取出的零件是一等品的概率；

（2）在先取的是一等品的条件下，后取的仍是一等品的条件概率。

解：

设事件={从第i箱取的零件}，={第i次取的零件是一等品}

（1）P（）=P（）P（|）+P（）P（|）=

（2）P（）=,则P（|）==0.485

二、连续型随机变量的综合题（期望（76页），方差（82页），分布函数（41页），概率和参数求法（37页）（第二章，第三章））

例：

设随机变量X的概率密度函数为

求：

（1）常数λ；

（2）EX；（3）P{1

解：

（1）由得到λ＝1/2

（2）（3）

（4）当x<0时，

当0x<2时，

当x2时，F（x）=1

故

练习：

已知随机变量X的密度函数为

且E（X）=7/12。

求：

（1）a,b；

（2）X的分布函数F（x）（3）P{-1

练习：

已知随机变量X的密度函数为

求：

（1）X的分布函数F（x）；

（2）P{0.3

三、离散型随机变量和分布函数（期望，方差，分布函数，概率，参数求法）

例：

设X的分布函数F（x）为：

则X的概率分布为（）。

分析：

其分布函数的图形是阶梯形，故x是离散型的随机变量

[答案：

P（X=-1）=0.4,P（X=1）=0.4,P（X=3）=0.2.]

练习：

设随机变量X的概率分布为P（X=1）=0.2,P（X=2）=0.3,P（X=3）=0.5,

写出其分布函数F（x）。

当x＜1时，F（x）=0;

当1≤x＜2时，F（x）=0.2;

当2≤x＜3时，F（x）=0.5;

当3≤x时，F（x）=1

四、二维连续型随机向量（未知参数求法，边缘概率，独立性，联合概率密度与边缘概率密度的关系，某个区间的概率）

例：

设与相互独立，且服从的指数分布，服从的指数分布.

（1）联合概率密度与联合分布函数；

（2）；

（3）在取值的概率。

解:

（1）依题知

所以联合概率密度为

当时，有

所以联合分布函数

（2）；

（3）

练习：

设二元随机变量（X，Y）的联合密度是

求：

（1）关于X的边缘密度函数fX（x）；

（2）P{X≥50，Y≥50}

五、二维离散型随机向量（边缘分布，独立性，联合分布与边缘分布的关系，函数的分布求法）（重点：

书里例题）

设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机向量（X,Y）的联合分布律及

关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值,试将其他数值填入表中的空白处。

[答案：

]

六、协方差和相关系数（86页），期望（80页）和方差（84页）的性质（公式）

例：

已知随机向量（X,Y）的协差矩阵V为

计算随机向量（X＋Y,X－Y）的协差矩阵

解：

DX=4,DY=9,COV（X,Y）=6

D（X＋Y）=DX+DY+2COV（X,Y）=25

D（X-Y）=DX+DY-2COV（X,Y）=1

COV（X＋Y,X－Y）=DX-DY=-5

故（X＋Y,X－Y）的协差矩阵

练习：

随机向量（X,Y）服从二维正态分布，均值向量及协差矩阵分别为

计算随机向量（9X＋Y,X－Y）的协差矩阵

解：

E（9X+Y）=9EX+EY＝9μ1+μ2

E（X－Y）=EX－EY＝μ1－μ2

D（9X＋Y）=81DX+DY+18COV（X,Y）=81σ12＋18ρσ1σ2＋σ22

D（X－Y）=DX+DY－2COV（X,Y）=σ12－2ρσ1σ2＋σ22

COV（9X＋Y,X－Y）=9DX-DY－8COV（X,Y）=9σ12－8ρσ1σ2－σ22

然后写出它们的矩阵形式（略）

七、随机变量函数的密度函数（离散型（所有函数都会求，特别MAX，MIN函数）和连续型（简单函数会求））（63页）

重点：

书里相应例题。

例：

设XU（0,2）,则Y=在（0,4）内的概率密度（）。

[答案填：

]

解：

XU（0,2），，

求导出=（）

练习：

设随机变量X在区间[1，2]上服从均匀分布，求Y=的概率密度f（y）。

[答案：

当时，f（y）=，当y在其他范围内取值时，f（y）=0.]

八、中心极限定理（109页）（正态分布的标准化（101页），及其可加性公式（105页））

例：

设对目标独立地发射400发炮弹，已知每一发炮弹地命中率等于0.2。

请用中心极限定理计算命中60发到100发的概率。

解：

设X表示400发炮弹的命中颗数，则X服从B（400,0.2）,EX=80，DX=64,

由中心极限定理：

X服从正态分布N（80,64）

P{60

练习：

袋装食盐，每袋净重为随机变量，规定每袋标准重量为500克，标准差为10克，一箱内装100袋，求一箱食盐净重超过50250克的概率。

九、最大似然估计（148页），矩估计法（146页）（书本）

例：

设总体X的概率密度为

其中未知参数，是取自总体的简单随机样本，用极大似然估计法求的估计量。

解：

设似然函数

对此式取对数，即：

且

令可得，此即的极大似然估计量。

例：

设总体的概率密度为

据来自总体的简单随机样本，求未知参数的最大似然估计量。

解：

由

得总体的样本的似然函数

再取对数得：

再求对的导数：

令，得

所以未知参数的最大似然估计量为。

练习：

设总体X的密度函数为

X1,X2,…,Xn是取自总体X的一组样本，求参数α的最大似然估计。

十、无偏性和有效性（153页，154页）

十、区间估计（书本）

总体X服从正态分布N（μ,σ2）,X1,X2,…,Xn为X的一个样本

1：

σ2已知,求μ的置信度为1-α置信区间

2：

σ2未知,求μ的置信度为1-α置信区

3：

求σ2置信度为1-α的置信区间

例：

设某校学生的身高服从正态分布，今从该校某班中随机抽查10名女生，测得数据经计算如下：

。

求该校女生平均身高的95％的置信区间。

解：

由样本数据得

查表得：

t0.05（?

）=2.2622,故平均身高的95％的置信区间为

例：

从总体X服从正态分布N（μ，σ2）中抽取容量为10的一个样本，样本方差S2＝0.07,试求总体方差σ2的置信度为0.95的置信区间。

解：

因为,所以的95%的置信区间为:

其中S2＝0.07,,所以=

=（0.033,0.233）

例：

已知某种材料的抗压强度,现随机地抽取10个试件进行抗压试验,测得数据如下:

482,493,457,471,510,446,435,418,394,469.

（1）求平均抗压强度的点估计值;

（2）求平均抗压强度的95%的置信区间;

（3）若已知=30,求平均抗压强度的95%的置信区间;

（4）求的点估计值;

（5）求的95%的置信区间;

解:

（1）0

（2）因为,故参数的置信度为0.95的置信区间是:

经计算,s=35.276,n=10,

查自由度为9的分位数表得,,故

=={432.30,482.70}

（3）若已知=30,则平均抗压强度的95%的置信区间为:

=

={438.90,476.09}

（4）=S2=1240.28

（5）因为,所以的95%的置信区间为:

其中S2=1240.28,,所以=

={586.79,4134.27}

十一、假设检验（书本）

1．已知方差σ2,关于期望μ的假设检验

2．未知方差σ2,关于期望μ的假设检验

3．未知期望μ,关于方差σ2的假设检验

例：

已知某铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N（4.55,0.112）,现在测定了9炉铁水，含碳量平均数，样本方差S2＝0.0169。

若总体方差没有变化，即σ2＝0.121，问总体均值μ有无显著变化？

（α＝0.05）

解：

原假设H0：

μ＝4.55

统计量，当H0成立时，U服从N（0，1）

对于α＝0.05，U0.025=1.96

故拒绝原假设，即认为总体均值μ有显著变化

练习：

某厂生产某种零件，在正常生产的情况下，这种零件的轴长服从正态分布，均值为0.13厘米。

若从某日生产的这种零件中任取10件，测量后得

厘米，S=0.016厘米。

问该日生产得零件得平均轴长是否与往日一样？

（α＝0.05）

例：

设某厂生产的一种钢索,其断裂强度kg/cm2服从正态分布.从中选取一个容量为9的样本,得kg/cm2.能否据此认为这批钢索的断裂强度为800kg/cm2（）.

解：

H0：

u=800.

采用统计量U=

其中σ=40,u0=800,n=9,

，查标准正态分布表得=1.96

|U|=,

|U|<,应接受原假设,即可以认为这批钢索的断裂强度为800kg/cm2.

练习：

某厂生产铜丝，生产一向稳定。

现从该厂产品中随机抽出10段检查其折断力，测后经计算：

。

假定铜丝折断力服从正态分布，问是否可相信该厂生产的铜丝的折断力方差为16？

（α＝0.1）

十二、证明题：

例：

总体,其中是未知参数,又为取自该总体的样本,为样本均值.证明:

是参数的无偏估计.

证明:

因为=,故是参数的无偏估计.

例：

设是参数的无偏估计量,,证明:

不是的无偏估计量.

证明：

因为是参数的无偏估计量，所以，,即,

故不是的无偏估计量.

其它证明题见同步练习46页五、50页五、

十三、其它题目

例：

设随机变量X在区间[2，5]上服从均匀分布，求对X进行的三次独立观测中，至少有两次的观测值大于3的概率。

解：

P（X＞3）=d=,则所求概率即为

练习：

设测量误差X～N（0，100），求在100次独立重复测量中至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率，并用泊松分布求其近似值（精确到0.01）。

解：

由于X～N（0，100），则

P（|X|＞19.6）=1-P（|X|19.6）=2[1-（1.96）]=0.05且显然Y～B（100,0.05）,故P（Y3）

=1-P（Y2）=1-

设=np=100×0.05=5，且YP（5）,则

P（Y3）=1-P（Y2）=1-=0