数学实验第1次作业差值与数值积分.docx
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数学实验第1次作业差值与数值积分
插值与数值积分
——大学数学实验报告
一实验目的
1、掌握用MATLAB计算拉格朗日、分段线性、三次样条三种插值的方法，改变节点的数目，对三种插值结果进行初步分析。
2、掌握用MATLAB及梯形公式、辛普森公式计算数值积分。
3、通过实例学习用插值和数值积分解决实际问题。
二实验内容
预备：
编制计算拉格朗日插值以及分段线性插值的M文件，对于数值给出的函数，编制用辛普森公式计算定积分的程序，命名为simp.m文件。
程序编制如下：
（1）拉格朗日插值：
（2）分段线性插值：
（3）辛普森公式：
（4）梯形公式：
第一题：
对于下面的函数，在n个节点上（n不要太大，如5-11）用拉格朗日、分段线性、三次样条三种插值方法，计算m个插值点的函数值（m值要适中，例如50-100）。
通过数值和图形输出，将三种插值结果与精确值进行比较。
适当增加n，再作比较，由此作初步分析。
该函数为
初步解决：
设定初值为n=5，m=50，分别用三种计算插值的方法计算，数据如下所示。
并将三个图像与精确值的图像绘制在一张图上以作比较。
节点为x=linspace（-1,1,5），即：
（-1，0），（-0.5，0.866），（0，1），（0.5，0.866），（1，0）。
插值点为（除开-1,0,1之外为50个插值点）：
X0=linspace（-1,1,53），即：
数据值如下面几张图所示：
精确值：
拉格朗日插值：
分段线性插值：
三次样条插值：
下面将三种插值与精确值在同一张图中表示出来：
在Command中输入：
plot（x0,y1,x0,y2,x0,y3,x0,y4）%四条曲线在同一张图中
由图中可以看出，由于n和m的值较小，所以除了几个节点意外，误差均比较大，而这其中又数分段线性插值的误差最大，三次样条插值次之，拉格朗日插值误差最小。
增大n与m的值，令n=8，m=83，做出图形后放大其中一部分如下：
再次改变n和m的值，令n=8，m=103，做出图形后放大其中一部分如下：
再次改变n和m的值，令n=11，m103，做出图形后放大其中一部分如下：
再增大n的值，m=103，使n=20，30，作出部分图形如下：
n=20：
n=30：
由图中可以看出，随着n的值的提高，各种插值方法与精确值已经接近吻合，说明在n值很大的时候，三种插值方法都是可行的。
但是不可忽略的是，各种差值方法之间还是有很大的差异，拉格朗日插值的精度较高，三次样条插值的精度次之，而分段线性插值是相对来说精度最差的。
第二题：
对于下面的函数，用梯形、辛普森和Gauss-Lobatto三种方法计算积分。
改变步长（对梯形），改变精度要求（对辛普森和Gauss-Lobatto），进行比较、分析。
函数为
初步解决：
首先通过计算确定精确值。
于是带入题目中的数据可以求得：
精确值
。
利用MATLAB：
通过三种不同的求数值积分的方法求该积分值。
在Command中输入：
x0=linspace（0,2,8）;
y0=（1+x0.^2）.^0.5;
z=sqrt（5）+log（sqrt（2+sqrt（5）））;
z1=simp（x0,y0）;%辛普森公式计算
z1-z%误差
z2=txqj（x0,y0）;%梯形求积公式计算
z2-z%误差
z3=quadl（‘sqrt（1+x.^2）’,0,2）;%自适应Gauss-Lobatto公式计算
z3-z%误差
屏幕上的输出如下：
z1=2.7571，ans=-0.2008；
z2=2.9640，ans=0.0061；
z3=2.9579，ans=5.0543e-007；
初步结论：
从第一次的输出结果可以看出，辛普森公式求出的值的误差相对较大，梯形公式的误差次之，但是Gauss-Lobatto公式的误差更小，更加精确。
（1）下面改变梯形公式的步长，将n设定为50，100，500。
n
z2
ans（误差）
50
2.9580
1.2417e-004
100
2.9579
3.0420e-005
500
2.9579
3.0420e-005
从其中可以看出，当n的值逐渐增大，得到的数值也更加精确，而当n的值达到一定程度之后，得到的值也趋于稳定，不会再精确。
（2）下面改变辛普森公式的精度要求，此处为步长，将n设定为50,100,500，1000。
n
z1
ans（误差）
50
2.9277
-0.0302
100
2.9429
-0.0150
500
2.9549
-0.0030
1000
2.9564
-0.0015
从结果可以看出，增加了步长以后，误差随之减小，但是误差相对来说还是偏大，即使n值很大了，到了1000左右，误差的数量级还是停留在10-3左右，所以辛普森公式计算数值积分误差较大。
（3）下面改变Gauss-Lobatto的精度要求。
将tol设定为10-6，10-8，10-10，10-12。
tol
z3
ans（误差）
10-6
2.9579
5.0543e-007
10-8
2.9579
4.1744e-014
10-10
2.9579
4.1744e-014
10-12
2.9579
-7.1054e-015
从结果可以看出，自适应Gauss-Lobatto公式计算得数值已经十分精确，当逐渐提高精度要求之后，误差会越来越小，逐渐接近精确值。
第三题：
如书上图（P66T11）是一个欧洲国家的地图，为了算出它的国土面积，首先是对地图作如下测量：
以由西向东方向为x轴，由南到北方向为y轴，选择方便的原点，并将从最西界点到最东界点在x轴上的区间适当地划分为若干段，在每个分点的y方向测出南边界点和北边界点的y坐标y1和y2，，这样就得到了如下表所示的数据。
地图边界点数据
x
7.0
10.5
13.0
17.5
34.0
40.5
44.5
48.0
56.0
61.0
68.5
76.5
80.5
91
y1
44
45
47
50
50
38
30
30
34
36
34
41
45
46
y2
44
59
70
72
93
100
110
110
110
117
118
116
118
118
x
96.0
101.0
104.0
106.5
111.5
118.0
123.5
136.5
142.0
146.0
150.0
157.0
158.0
y1
43
37
33
28
32
65
55
54
52
50
66
66
68
y2
121
124
121
121
121
122
116
83
81
82
86
85
68
根据地图的比例我们知道18mm相当于40km，试由测量数据计算该国国土的近似面积，与它的精确值41288km2作比较。
初步解决：
直接利用MATLAB编制程序计算面积。
直接在Command中输入以下内容：
得到结果：
面积约为4.2414e+04m2，与实际值的误差约为1125.6km2。
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