高三数学一轮复习教案第4讲 函数的基本性质.docx

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高三数学一轮复习教案第4讲函数的基本性质

学年第一学期高三年级数学学科

集体备课教案

课题

函数的基本性质（共课）

修改与创新

课标要求

．通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；

．结合具体函数，了解奇偶性的含义。

命题走向

从近几年来看，函数性质是高考命题的主线索，不论是何种函数，必须与函数性质相关联，因此在复习中，针对不同的函数类别及综合情况，归纳出一定的复习线索。

预测年高考的出题思路是：

通过研究函数的定义域、值域，进而研究函数的单调性、奇偶性以及最值。

预测明年的对本讲的考察是：

（）考察函数性质的选择题个或个填空题，还可能结合导数出研究函数性质的大题；

（）以中等难度、题型新颖的试题综合考察函数的性质，以组合形式、一题多角度考察函数性质预计成为新的热点。

教学准备

多媒体

教学过程

要点精讲:

．奇偶性

（）定义：

如果对于函数（）定义域内的任意都有（－）－（），则称（）为奇函数；如果对于函数（）定义域内的任意都有（－）（），则称（）为偶函数。

如果函数（）不具有上述性质，则（）不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则（）既是奇函数，又是偶函数。

注意：

函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；

由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个，则－也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。

（）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；

确定（－）与（）的关系；

作出相应结论：

若（－）（）或（－）－（），则（）是偶函数；

若（－）－（）或（－）＋（），则（）是奇函数。

（）简单性质：

①图象的对称性质：

一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于轴对称；

②设

，

的定义域分别是

，那么在它们的公共定义域上：

奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇

．单调性

（）定义：

一般地，设函数（）的定义域为，如果对于定义域内的某个区间内的任意两个自变量，，当<时，都有（）<（）（（）>（）），那么就说（）在区间上是增函数（减函数）；

注意：

函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

必须是对于区间内的任意两个自变量，；当<时，总有（）<（）

（）如果函数（）在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数（）在这一区间具有（严格的）单调性，区间叫做（）的单调区间。

（）设复合函数，其中（）,是定义域的某个区间，是映射:

→（）的象集：

①若（）在上是增（或减）函数，（）在上也是增（或减）函数，则函数在上是增函数；

②若（）在上是增（或减）函数，而（）在上是减（或增）函数，则函数在上是减函数。

（）判断函数单调性的方法步骤

利用定义证明函数（）在给定的区间上的单调性的一般步骤：

任取，∈，且<；

作差（）－（）；

变形（通常是因式分解和配方）；

定号（即判断差（）－（）的正负）；

下结论（即指出函数（）在给定的区间上的单调性）。

（）简单性质

①奇函数在其对称区间上的单调性相同；

②偶函数在其对称区间上的单调性相反；

③在公共定义域内：

增函数

增函数

是增函数；

减函数

减函数

是减函数；

增函数

减函数

是增函数；

减函数

增函数

是减函数。

．最值

（）定义：

最大值：

一般地，设函数（）的定义域为，如果存在实数满足：

①对于任意的∈，都有（）≤；②存在∈，使得（）。

那么，称是函数（）的最大值。

最小值：

一般地，设函数（）的定义域为，如果存在实数满足：

①对于任意的∈，都有（）≥；②存在∈，使得（）。

那么，称是函数（）的最大值。

注意：

函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在∈，使得（）；

函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的∈，都有（）≤（（）≥）。

（）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法：

利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；

利用图象求函数的最大（小）值；

利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：

如果函数（）在区间上单调递增，在区间上单调递减则函数（）在处有最大值（）；

如果函数（）在区间上单调递减，在区间上单调递增则函数（）在处有最小值（）；

．周期性

（）定义：

如果存在一个非零常数，使得对于函数定义域内的任意，都有（）（），则称（）为周期函数；

（）性质：

①（）（）常常写作

若（）的周期中，存在一个最小的正数，则称它为（）的最小正周期；②若周期函数（）的周期为，则（ω）（ω≠）是周期函数，且周期为

。

典例解析:

．（·陕西高考）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（　　）

．＝＋　　　　　　　　．＝－

．＝．＝

解析：

选　由函数的奇偶性排除，由函数的单调性排除、，由＝的图象可知此函数为增函数，又该函数为奇函数，故选.

．函数＝（＋）＋在（－∞，＋∞）上是减函数，则（　　）

．>．<

．>－．<－

解析：

选　函数＝（＋）＋是减函数，

则＋<，即<－.

．（教材习题改编）函数（）＝的最大值是（　　）

解析：

选　∵－（－）＝－＋＝＋≥，∴<≤.

．（教材习题改编）（）＝－（∈）的单调增区间为；（）＝.

解析：

函数（）的对称轴＝，单调增区间为，（）＝（－）＝（）＝.

答案：

．已知函数（）为上的减函数，若<，则（）（）；若<（），则实数的取值范围是．

解析：

由题意知（）>（）；

>，即<，且≠.

故－<<且≠.

答案：

>　（－）∪（）

.函数的单调性是局部性质

从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子

区间上的性质，是局部的特征．在某个区间上单调，在整

个定义域上不一定单调．

．函数的单调区间的求法

函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函

数的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等

函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、

对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函

数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，

再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间．

　单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．

函数单调性的判断

典题导入

　（理）判断函数（）＝＋（>）在（，＋∞）上的单调性．

　设>>，则

（）－（）＝－＝（－）＋＝（－）＋＝（－）.

当≥>>时，－>－<，

有（）－（）<，即（）<（），

此时，函数（）＝＋（>）是减函数；

当>≥时，－>－>，

有（）－（）>，即（）>（），

此时，函数（）＝＋（>）是增函数．

综上可知，函数（）＝＋（>）在（，]上为减函数；在[，＋∞）上为增函数．

　（文）证明函数（）＝－在（－∞，）上是增函数．

　设，是区间（－∞，）上的任意两个自变量的值，且<.

则（）＝－，（）＝－，

（）－（）＝－

＝（－）＋

＝（－）

由于<<，所以－<＋>，

因此（）－（）<，

即（）<（），

故（）在（－∞，）上是增函数．

由题悟法

对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法：

（）结合定义（基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断）证明；

（）可导函数则可以利用导数证明．对于抽象函数单调性的证明，一般采用定义法进行．

以题试法

．判断函数（）＝在（，＋∞）上的单调性．

解：

任取，∈（，＋∞），且<，

则（）－（）＝－

＝，

由于<<，

所以－<，（－）（－）>，

因此（）－（）<，即（）<（）．

故（）在（，＋∞）上是增函数．

求函数的单调区间

典题导入

　（·长沙模拟）设函数＝（）在（－∞，＋∞）内有定义．对于给定的正数，定义函数（）＝取函数（）＝－.当＝时，函数（）的单调递增区间为（　　）

．（－∞，）　　　　　　　．（，＋∞）

．（－∞，－）．（，＋∞）

　由（）>，得－<<.由（）≤，得≤－或≥.

所以（）＝

故（）的单调递增区间为（－∞，－）．

若本例中（）＝－变为（）＝，其他条件不变，则（）的单调增区间为．

解析：

函数（）＝，＝时，函数（）的图象如图所示，由图示可得函数（）的单调递增区间为（，]．

答案：

（，]

由题悟法

求函数的单调区间的常用方法

（）利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．

（）定义法：

先求定义域，再利用单调性定义．

（）图象法：

如果（）是以图象形式给出的，或者（）的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．

（）导数法：

利用导数的正负确定函数的单调区间．

以题试法

．函数（）＝－的单调减区间是（　　）

．．

．．．

单调性的应用

典题导入

　（）若（）为上的增函数，则满足（－）<（）的实数的取值范围是．

（）（·安徽高考）若函数（）＝＋的单调递增区间是　（）∵（）在上为增函数，∴－<.

∴＋－>.∴>或<－.

（）由（）＝可得函数（）的单调递增区间为，故＝－，解得＝－.

　（）（－∞，－）∪（，＋∞）　（）－

由题悟法

单调性的应用主要涉及利用单调性求最值，进行大小比较，解抽象函数不等式，解题时要注意：

一是函数定义域的限制；二是函数单调性的判定；三是等价转化思想与数形结合思想的运用．

以题试法

．（）（·孝感调研）函数（）＝在上的最小值为，最大值为．

（）已知函数（）＝－（>，>），若（）在上的值域为，则＝.

解析：

（）∵′（）＝－<，∴（）在上为减函数，∴（）＝（）＝＝，（）＝＝.

（）由反比例函数的性质知函数（）＝－（>，>）在上单调递增，

所以即解得＝.

答案：

（）　　（）

．（·广东高考）下列函数为偶函数的是（　　）

．＝．＝

．＝．＝

解析：

选　四个选项中的函数的定义域都是＝为奇函数．幂函数＝也为奇函数．指数函数＝为非奇非偶函数．令（）＝，得（－）＝＝＝（）．所以＝为偶函数．

．已知（）＝＋是定义在上的偶函数，那么＋的值是（　　）

．－

．－

解析：

选　∵（）＝＋是定义在上的偶函数，

∴－＋＝，∴＝.又（－）＝（），

∴＝，∴＋＝.

．（教材习题改编）已知定义在上的奇函数（），满足（＋）＝（），则（）的值为（　　）

．－．

．．

解析：

选　∵（）为奇函数且（＋）＝（），

∴（）＝，＝.

∴（）＝（）＝.

．若函数（）＝－＋为偶函数，则实数＝.

解析：

法一：

∵（－）＝（）对于∈恒成立，∴－＋＝＋对于∈恒成立，两边平方整理得＝，对于∈恒成立，故＝.

法二：

由（－）＝（），

得－＝＋，故＝.

答案：

．（·广东高考）设函数（）＝＋.若（）＝，则（－）＝.

解析：

观察可知，＝为奇函数，且（）＝＋＝，故＝.则（－）＝－＋＝－＋＝－.

答案：

－

.奇、偶函数的有关性质：

（）定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件；

（）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称；反之亦然；

（）若奇函数（）在＝处有定义，则（）＝；

（）利用奇函数的图象关于原点对称可知，奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同；利用偶函数的图象关于轴对称可知，偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反．

．若函数满足（＋）＝（），由函数周期性的定义可知是函数的一个周期；应注意（∈且≠）也是函数的周期．

函数奇偶性的判断

典题导入

　（·福州质检）设为有理数集，函数（）＝（）＝，则函数（）＝（）·（）（　　）

．是奇函数但不是偶函数

．是偶函数但不是奇函数

．既是奇函数也是偶函数

．既不是偶函数也不是奇函数

∵当∈时，－∈，∴（－）＝（）＝；当∈∁时，－∈∁，∴（－）＝（）＝－.综上，对任意∈，都有（－）＝（），故函数（）为偶函数．∵（－）＝＝＝－＝－（），∴函数（）为奇函数．∴（－）＝（－）·（－）＝（）·＝－（）（）＝－（），∴函数（）＝（）·（）是奇函数．∴（）＝（）·（）＝，（－）＝（－）·（－）＝×＝，（－）≠（），∴函数（）不是偶函数．

由题悟法

利用定义判断函数奇偶性的方法

（）首先求函数的定义域，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件；

（）如果函数的定义域关于原点对称，可进一步判断（－）＝－（）或（－）＝（）是否对定义域内的每一个恒成立（恒成立要给予证明，否则要举出反例）．

　判断分段函数的奇偶性应分段分别证明（－）与（）的关系，只有对各段上的都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．

以题试法

．判断下列函数的奇偶性．

（）（）＝＋；

（）（）＝－－；

（）（）＝；

（）（）＝

解：

（）∵由得＝±，

∴（）的定义域为{－}．

又（）＋（－）＝，（）－（－）＝，

即（）＝±（－）．

∴（）既是奇函数又是偶函数．

（）∵（）的定义域为，

∴（－）＝－－＝－（－－）＝－（），

所以（）为奇函数．

（）∵由得－≤≤且≠.

∴（）的定义域为，

∴（）＝＝＝，

∴（－）＝－（），∴（）是奇函数．

（）（）的定义域为，关于原点对称，当>时，（－）＝－（－）－＝－（＋）＝－（）；

当<时，（－）＝（－）＋＝－（－－）＝－（）；

当＝时，（）＝，也满足（－）＝－（）．

故该函数为奇函数．

函数奇偶性的应用

典题导入

　（）（·上海高考）已知＝（）＋是奇函数，且（）＝.若（）＝（）＋，则（－）＝.

（）（·烟台调研）设偶函数（）在（，＋∞）上为减函数，且（）＝，则不等式>的解集为（　　）

．（－）∪（，＋∞）　　　　．（－∞，－）∪（）

．（－∞，－）∪（，＋∞）．（－）∪（）

　（）∵＝（）＋是奇函数，且＝时，＝，∴当＝－时，＝－，即（－）＋（－）＝－，

得（－）＝－，所以（－）＝（－）＋＝－.

（）∵（）为偶函数，

∴＝>.

∴（）>.

∴或

又（－）＝（）＝，（）在（，＋∞）上为减函数，

故∈（）或∈（－∞，－）．

　（）－　（）

本例（）的条件不变，若≥且∈*，试比较（－），（－），（－），（＋）的大小．

解：

∵（）为偶函数，所以（－）＝（），

（－）＝（－）．

又∵函数＝（）在（，＋∞）为减函数，且<－<<＋，

∴（＋）<（）<（－）．

∴（＋）<（－）<（－）＝（－）．

由题悟法

函数奇偶性的应用

（）已知函数的奇偶性求函数的解析式．

利用奇偶性构造关于（）的方程，从而可得（）的解析式．

（）已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数．

常常采用待定系数法：

利用（）±（－）＝产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值．

（）奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．

以题试法

．（）（·徐州模拟）已知函数（）＝为奇函数，则＋＝.

（）已知定义在上的奇函数满足（）＝＋（≥），若（－）>（），则实数的取值范围是．

解析：

（）当<时，则－>，所以（）＝＋，（－）＝－，而（－）＝－（），即－－＝－，

所以＝－，＝，故＋＝.

（）因为（）＝＋在　（·山东高考）定义在上的函数（）满足（＋）＝（）．当－≤<－时，（）＝－（＋）；当－≤<时，（）＝.则（）＋（）＋（）＋…＋（）＝（　　）

．　　　　　　　　　．

．．

　由（＋）＝（）可知，函数（）的周期为，所以（－）＝（）＝－，（－）＝（）＝，（－）＝（）＝－，（）＝（）＝，（）＝，（）＝，所以在一个周期内有（）＋（）＋…＋（）＝＋－＋－＋＝，所以（）＋（）＋…＋（）＝（）＋（）＋×＝＋＋＝.

由题悟法

．周期性常用的结论：

对（）定义域内任一自变量的值：

（）若（＋）＝－（），则＝；

（）若（＋）＝，则＝；

（）若（＋）＝－，则＝.

．周期性与奇偶性相结合的综合问题中，周期性起到转换自变量值的作用，奇偶性起到调节符号作用．

以题试法

．设（）是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有（＋）＝－（）．当∈时，（）＝－.

（）求证：

（）是周期函数；

（）当∈时，求（）的解析式．

解：

（）证明：

∵（＋）＝－（），

∴（＋）＝－（＋）＝（）．

∴（）是周期为的周期函数．

（）∵∈，∴－∈，

∴－∈，

∴（－）＝（－）－（－）＝－＋－.

又∵（－）＝（－）＝－（），

∴－（）＝－＋－，

即（）＝－＋，∈．

函数的基本性质是函数的重要内容，复习时务必细致地回顾。

这部分内容应集合题目进行适当地归纳总结。

复合函数的单调性的判断仅作了解。

周期性是必修学习的内容，要求学生找到必修的相关内容，并超前复习。

通过具体问题，让学生理解函数的单调区间与函数在某个区间上单调的含义的不同。

通过此例，让学生回顾，巩固用定义证明单调性的步骤。

总结判断函数单调性的常见方法。

让学生分析、明确，求解抽象不等式，应根据单调性或图像化为具体不等式。

概况总结奇偶函数的性质，以让学生更好的把握这一知识。

此例、两题的奇偶性的判断，学生有一定的困难，教师应与学生共同探索，寻找解决的途径。

周期性常用的结论，在题目中容易出现，让学生自己利用定义证明这条结论。

板书设计

函数的基本性质

．奇偶性

（）定义：

如果对于函数（）定义域内的任意都有（－）－（），例

则称（）为奇函数；如果对于函

（）简单性质：

①图象的对称性质：

一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于例

原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于轴对称；

②设

，

的定义域分别是

，那么在它们的公共定义域上：

例

奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇

．单调性

（）定义：

例

（）判断函数单调性的方法步骤

任取，∈，且<；

作差（）－（）；

变形（通常是因式分解和配方）；

定号（即判断差（）－（）的正负）；

下结论（即指出函数（）在给定的区间上的单调性）。

．最值

．周期性

教学反思

函数的基本性质是函数应用的重要基础，复习时，应详细复习、回顾相关知识，并对单调性、周期性、奇偶性进行适当概况总结，在选择适量、适当难度的题目，使学生熟练掌握这些基本性质。

其中单调性，

学生在做相关题目时还有一点困难，后面还要适当强化训练。