高考数学复习第1课 集合的概念与运算.docx

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高考数学复习第1课集合的概念与运算

第1课集合的概念与运算

（本课时对应学生用书第2~3页）

自主学习　回归教材

1.（必修1P9习题3改编）有下列表示:

①a⊆{a};　　　　　　　②{1}∈{1,2,3};

③{a,b}⊆{b,a};　　　　④π∉Q;

⑤

∈R;　　　　　　⑥ϕ⊆{1}.

其中正确的是　　　　.（填序号）

[答案]③④⑤⑥

2.（必修1P13习题5改编）设集合A={x|x=2k-1,k∈Z},B={x|x=2k,k∈Z},则A∩B=　　　,A∪B=　　　.

[答案]ϕ　Z

3.（必修1P13习题4改编）设集合A={（x,y）|y=-4x+6},B={（x,y）|y=5x-3},则A∩B=　　　　.

[答案]{（1,2）}

[解析]

⇒

且A,B为点集.

4.（必修1P17习题8改编）满足{1,3}∪A={1,3,5}的集合A共有　　　　个.

[答案]4

[解析]集合A必须含有元素5,元素1和3不确定,所以集合A的本质是{1,3}的所有子集与元素

5组成的集合,共4个.

5.（必修1P10习题9改编）已知数集A={0,1,x+2},则实数x不能取到的值为　　　　　.

[答案]-2,-1

[解析]根据集合中元素的互异性知x+2≠0且x+2≠1⇒x≠-2且x≠-1,所以实数x不能取到的值为-2,-1.

1.集合的概念

（1）一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合,集合中的每一个对象称为该集合的元素.

（2）集合中元素的三个特性:

确定性、互异性、无序性.

（3）集合的表示方法:

列举法、描述法、韦恩图等.

（4）集合按含有元素的个数可分为有限集、无限集、空集.

（5）特别地,自然数集记作　N　,正整数集记作　N*　或　N+　,整数集记作　Z　,有理数集记作　Q　,实数集记作　R　,复数集记作　C　.

2.两类关系

（1）元素与集合的关系,用　∈　或　∉　表示.

（2）集合与集合的关系,用　⊆　、　⊈　或　=　表示.

3.集合的运算

（1）全集:

如果集合S含有我们所研究的各个集合的全部元素,那么这个集合就可以看作一个全集,通常用U表示.一切所研究的集合都是这个集合的子集.

（2）交集:

由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合,称为A与B的交集,记作A∩B,即A∩B={x|x∈A且x∈B}.

（3）并集:

由所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合,称为A与B的并集,记作A∪B,即A∪B={x|x∈A或x∈B}.

（4）补集:

设A⊆S,由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集,记作∁SA,即∁SA={x|x∈S且x∉A}.

4.常见结论

（1）ϕ⊆A,A∪B=B∪A,A⊆A∪B,A∩B⊆A.

（2）A∩B=A⇔A⊆B;A∪B=A⇔B⊆A.

（3）∁U（A∩B）=（∁UA）∪（∁UB）;∁U（A∪B）=（∁UA）∩（∁UB）.

要点导学　各个击破

集合间的基本关系

例1　已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}.

（1）若B⊆A,求实数m的取值范围;

（2）当x∈R时,没有元素x使x∈A与x∈B同时成立,求实数m的取值范围.

[解答]

（1）①当m+1>2m-1,即m<2时,B=ϕ,满足B⊆A.

②当m+1≤2m-1,即m≥2时,要使B⊆A成立,

则

得2≤m≤3.

综上,实数m的取值范围为{m|m≤3}.

（2）因为x∈R,且A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},没有元素x使x∈A与x∈B同时成立,即A∩B=ϕ.

①若B=ϕ,即m+1>2m-1,得m<2时满足条件.

②若B≠ϕ,则要满足的条件有

或

解得m>4.

综上,m<2或m>4.

故实数m的取值范围为{m|m<2或m>4}.

[精要点评]

（1）空集是任何集合的子集,因此,当B⊆A时需考虑B=ϕ的情形;

（2）当A∩B=ϕ时也需考虑B=ϕ的情形,当集合B不是空集时,要保证B⊆A,可以利用数轴,这样既直观又简洁;（3）虽然本题的难度不大,但都需要分两种情况讨论,在

（1）中解不等式组时需求交集,而最终结果又都要求两种讨论结果的并集,因此本题还是综合性很强的.

练习1　已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1

[答案]（-∞,4]

[解析]因为A∪B=A,所以B⊆A.若B=ϕ,则m+1≥2m-1,即m≤2;若B≠ϕ,则

解得2

练习2　已知集合A={x|x2-ax+a2-19=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2+2x-8=0}.

（1）若A∩B=A∪B,求a的值;

（2）若ϕ

A∩B,A∩C=ϕ,求a的值.

[解答]由已知得B={2,3},C={2,-4}.

（1）因为A∩B=A∪B,所以A=B,

所以2,3是一元二次方程x2-ax+a2-19=0的两个根,

则有

解得a=5.

（2）由ϕ

A∩B⇒A∩B≠ϕ,又A∩C=ϕ,

所以3∈A,2∉A,-4∉A,

由3∈A,得32-3a+a2-19=0,解得a=5或a=-2.

当a=5时,A={x|x2-5x+6=0}={2,3},与2∉A矛盾;

当a=-2时,A={x|x2+2x-15=0}={3,-5},符合题意.

所以a=-2.

集合间的运算

例2　设全集U={x|x≤20的质数},M∩∁UN={3,5},N∩∁UM={7,19},（∁UM）∩（∁UN）={2,17},求集合M与N.

（例2）

[解答]由（∁UM）∩（∁UN）={2,17},

可知M,N中都没有元素2,17.

由N∩∁UM={7,19},

可知N中有元素7,19,M中没有元素7,19.

由M∩∁UN={3,5},

可知M中有元素3,5,N中没有元素3,5.

如图所示,由图象知剩下的元素11,13不在M∩∁UN、N∩∁UM、（∁UM）∩（∁UN）三部分中,只能11∈（M∩N）,13∈（M∩N）,所以M={3,5,11,13},N={7,11,13,19}.

[精要点评]集合问题大都比较抽象,对连续数集间的运算,要借助数轴的直观性,进行合理转化;对离散数集间的运算,要借助Venn图,这是数形结合思想的具体体现.运算结果要注意端点能否取得.当然本题还要注意的就是1既不是质数也不是合数.

【题组强化·重点突破】

1.（2014·南京学情调研）已知集合A={x|x<2,x∈R},集合B={x|1

[答案]{x|1

[解析]因为A={x|x<2,x∈R},B={x|1

2.（2014·淮安、宿迁摸底）已知全集U={1,2,3,4},集合A={2,3},B={3,4},则∁U（A∪B）=　　　.

[答案]{1}

[解析]由题意可得A∪B={2,3,4},故∁U（A∪B）={1}.

3.设[x]表示不超过x的最大整数,若集合A={x|x2-[x]=2},B={x||x|≤1},则A∩B=　　　　　.

[答案]{-1}

[解析]由B=

得-1≤x≤1.当-1≤x<0时,[x]=-1,所以A={x|x2+1=2}={-1};当0≤x<1时,[x]=0,所以A={x|x2=2}={-

},不合题意.当x=1时,[x]=1,所以A={x|x2-1=2}={-

},不合题意.所以A∩B={-1}.

4.已知集合A={-4,2a-1,a2},B={a-5,1-a,9},分别求适合下列条件的a的值.

（1）9∈（A∩B）;

（2）{9}=A∩B.

[解答]

（1）因为9∈（A∩B）,所以9∈B且9∈A.

所以2a-1=9或a2=9,所以a=5或a=±3.

根据集合中元素的互异性检验知a=5或a=-3.

（2）因为{9}=A∩B,所以9∈（A∩B）,

所以a=5或a=-3.

当a=5时,A={-4,9,25},B={0,-4,9},

此时A∩B={-4,9},与A∩B={9}矛盾,故舍去.

当a=-3时,A={-4,-7,9},B={-8,4,9},

此时A∩B={9},满足题意.

综上,a的值为-3.

5.已知集合A={x|x2-2x-3≤0},B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈R,m∈R}.

（1）若A∩B=[0,3],求实数m的值;

（2）若A⊆∁RB,求实数m的取值范围.

[解答]由已知得A={x|-1≤x≤3},B={x|m-2≤x≤m+2}.

（1）因为A∩B=[0,3],

所以

所以m=2.

（2）∁RB={x|xm+2},

因为A⊆∁RB,

所以m-2>3或m+2<-1,即m>5或m<-3.

故m的取值范围是（-∞,-3）∪（5,+∞）.

集合中元素的性质

例3　已知不等式（kx-k2-4）（x-4）>0,其中k∈R.

（1）当k变化时,试求不等式的解集A.

（2）对于不等式的解集A,若满足A∩Z=B.试探究集合B能否为有限集,若能,求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值,并用列举法表示集合B;若不能,请说明理由.

[思维引导]

（1）由二次项的系数k的符号对解集的影响→对应方程的根的大小→确定讨论标准→求得解集.

（2）由不等式的解集→当k<0时,集合B中的元素的个数有限→由k+

≤-4,知当k=-2时,集合B的元素个数最少→用列举法表示集合.

[解答]

（1）当k=0时,A=（-∞,4）;

当k>0且k≠2时,A=（-∞,4）∪

;

当k=2时,A=（-∞,4）∪（4,+∞）;

当k<0时,A=

.

（2）由

（1）知,当k≥0时,集合B中的元素的个数无限;

当k<0时,集合B中的元素的个数有限,此时集合B为有限集.

因为k+

≤-4,当且仅当k=-2时取等号,

所以当k=-2时,集合B中的元素个数最少,此时A=（-4,4）,

故集合B={-3,-2,-1,0,1,2,3}.

[精要点评]

（1）描述法表示集合时要注意集合中的代表元素是什么,代表元素满足的条件是什么.

（2）分类讨论是一种重要的数学思想,它是思维是否严谨的重要体现.在分类讨论的过程中,要从简单的讨论着手,并注意讨论的完整性,最后更不要忘记总结结论.

练习　集合M中的元素为自然数,且满足:

如果x∈M,则8-x∈M,试回答下列问题:

（1）写出只有一个元素的集合M;

（2）写出元素个数为2的所有集合M;

（3）满足题设条件的集合M共有多少个?

[解答]

（1）M中只有一个元素,

根据题意知必须满足x=8-x,所以x=4.

故含有一个元素的集合M={4}.

（2）当M中只含两个元素时,其元素只能是x和8-x,

从而含两个元素的集合M应为{0,8},{1,7},{2,6},{3,5}.

（3）满足条件的M是由集合{4},{0,8},{1,7},{2,6},{3,5}中的元素组成,它包括以下五种情况:

①由以上1个集合组成的有{4},{0,8},{1,7},{2,6},{3,5},共5个.

②由2个集合组成的有{4,0,8},{4,1,7},{4,2,6},{4,3,5},{0,8,1,7},{0,8,2,6},{0,8,3,5},{1,7,2,6},{1,7,3,5},{2,6,3,5},共10个.

③由3个集合组成的有{4,0,8,1,7},{4,0,8,2,6},{4,0,8,3,5},{4,1,7,2,6},{4,1,7,3,5},{4,2,6,3,5},{0,8,1,7,2,6},{0,8,1,7,3,5},{1,7,2,6,3,5},{0,8,2,6,3,5},共10个.

④由4个集合组成的有{4,0,8,1,7,2,6},{4,0,8,1,7,3,5},{4,0,8,2,6,3,5},{4,1,7,2,6,3,5},{0,8,1,7,2,6,3,5},共5个.

⑤由5个集合组成的有{4,0,8,1,7,2,6,3,5},1个.

综上可知,满足题设条件的集合M共有31个.

集合的创新型问题

例4　在整数集Z中,被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”,记为[k],即[k]={5n+k|n∈Z},k=0,1,2,3,4.给出如下四个结论:

①2015∈[1];

②-3∈[3];

③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4];

④“整数a,b属于同一‘类’”的充要条件是“a-b∈[0]”.

其中,结论正确的是　　　　　　.（填序号）

[思维引导]由在整数集Z中“类”的定义→[0]表示5的倍数组成的集合,[1]={5n+1|n∈Z},[2]={5n+2|n∈Z}等,逐一判断.

[答案]③④

[解析]因为2015=5×403,则2015∉[1],结论①不正确.

因为-3=5×（-1）+2,则-3∈[2],结论②不正确.

因为所有的整数被5除的余数为0,1,2,3,4五类,则Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4],结论③正确.

若整数a,b属于同一“类”[k],可设a=5n1+k,b=5n2+k（n1,n2∈Z）,则a-b=5（n1-n2）∈[0];

反之,若（a-b）∈[0],可设a=5n1+k1,b=5n2+k2（n1,n2∈Z）,则a-b=5（n1-n2）+（k1-k2）∈[0],所以k1=k2,则整数a,b属于同一“类”,结论④正确.

[精要点评]创新是高考数学命题不变的主题,所以每年的高考必定有一些全新背景的试题,以集合为背景的创新试题是其中常见的题型,对学生的能力起了很好的检测作用.对于集合问题,首先要确定集合的元素是什么（数集、点集或某类图形）,然后确定处理此类问题的方法.

1.（2014·无锡期末）已知集合A={0,m},B={1,2},A∩B={1},则A∪B=　　　　　　.

[答案]{0,1,2}

[解析]由题意得m=1,从而A={0,1},A∪B={0,1,2}.

2.（2014·徐州、宿迁三模）已知集合M={3,2a},N={a,b}.若M∩N={4},则M∪N=　　　　　　　.

[答案]{2,3,4}

[解析]因为M∩N={4},所以2a=4,即a=2,从而b=4,因此M∪N={2,3,4}.

3.已知全集U=R,集合A={x|0

（第3题）

[答案]4

[解析]∁RA={x|x≥9或x≤0},所以阴影部分表示的集合为B∩∁RA={x|-4

4.定义:

满足任意元素x∈A,且|4-x|∈A的集合称为优集,若集合A={1,a,7}是优集,则实数a的值为　　　　　　.

[答案]3

[解析]依题意,当x=1时,|4-x|=3∈A,当x=7时,|4-x|=3∈A,所以a=3时符合条件.

5.若集合A=

则集合A的真子集的个数为　　　　.

[答案]15

[解析]依题意,要使

+

+

=

为整数,n的值等于1,2,3,6,所以集合A中共有4个元素,故有15个真子集.

趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第1~2页.

第一章　集合与常用逻辑用语

第1课　集合的概念与运算

一、填空题

1.（2014·苏锡常镇调研）若函数y=

的定义域为A,函数y=lg（2-x）的定义域为B,则A∩B=　　　　.

2.（2014·苏北四市期末）已知集合A={2+

a},B={-1,1,3},且A⊆B,那么实数a的值是　　　　.

3.（2014·四川卷）已知集合A={x|x2-x-2≤0},集合B为整数集,那么A∩B=　　　　　.

4.已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,那么P的子集共有　　　　个.

5.对于集合M,N,定义M-N={x|x∈M且x∉N},M􀱇N=（M-N）∪（N-M）.若A={y|y=3x,x∈R},B={y|y=-（x-1）2+2,x∈R},则A􀱇B=　　　　.

6.（2014·福建卷）若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四个关系:

①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4中有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数组（a,b,c,d）的个数是　　　　.

7.设A,B是两个非空集合,定义运算A×B={x|x∈A∪B,且x∉A∩B}.已知A={x|y=

},B={y|y=2x,x>0},那么A×B=　　　　.

8.已知集合A={x|x2+2x-3>0},集合B={x|x2-2ax-1≤0,a>0}.若A∩B中恰好含有一个整数,则实数a的取值范围是　　　　.

二、解答题

9.已知集合M={0,1},A={（x,y）|x∈M,y∈M},B={（x,y）|y=-x+1}.

（1）请用列举法表示集合A;

（2）求A∩B,并写出集合A∩B的所有子集.

10.已知集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|x2-6x+8<0},C={x|2x2-9x+m<0}.若对任意的x∈A∩B都有x∈C,求实数m的取值范围.

11.已知U为全集,集合A={x|x2+px+q=0},B={x|qx2+px+1=0}同时满足:

①A∩B≠⌀,②A∩∁UB={-2},其中p,q均为不等于零的实数,求p,q的值.

高考总复习一轮课后限时作业配套检测与评估

数学理科（提高版）详解详析

第一章　集合与常用逻辑用语

第1课　集合的概念与运算

1.[1,2）　[解析]由题意可得A=[1,+∞）,B=（-∞,2）,故A∩B=[1,2）.

2.1　[解析]当a=1时,A={1,3},B={-1,1,3},满足题意;当a=3时,A={3,2+

},B={-1,1,3},不满足题意.所以实数a的值为1.

3.{-1,0,1,2}　[解析]由题意可知集合A={x|-1≤x≤2},其中的整数有-1,0,1,2,故A∩B={-1,0,1,2}.

4.4　[解析]P=M∩N={1,3},子集有22=4个.

5.（-∞,0]∪（2,+∞）　[解析]由题可知集合A={y|y>0},B={y|y≤2},所以A-B={y|y>2},B-A={y|y≤0},所以A⊕B=（-∞,0]∪（2,+∞）.

6.6　[解析]若①正确,则②③④不正确,可得b≠1不正确,即b=1,与a=1矛盾,故①不正确.若②正确,则①③④不正确,由④不正确,得d=4,由a≠1,b≠1,c≠2,a=3,b=2,c=1,d=4或a=2,b=3,c=1,d=4.若③正确,则①②④不正确,由④不正确,得d=4,由②不正确,得b=1,则a=3,b=1,c=2,d=4.若④正确,则①②③不正确,由②不正确,得b=1,由a≠1,c≠2,d≠4,得a=2,b=1,c=4,d=3或a=3,b=1,c=4,d=2或a=4,b=1,c=3,d=2.综上所述,满足条件的有序数组的个数为6.

7.[0,1]∪（2,+∞）　[解析]A=[0,2],B=（1,+∞）,A∪B=[0,+∞）,A∩B=（1,2],所以A×B=[0,1]∪（2,+∞）.

8.

　[解析]A={x|x2+2x-3>0}={x|x>1或x<-3},因为函数y=f（x）=x2-2ax-1的对称轴为x=a>0,f（0）=-1<0,根据对称性可知要使A∩B中恰好含有一个整数,则这个整数解为2,所以有f

（2）≤0且f（3）>0,即

所以

即实数a的取值范围是

.

9.

（1）A={（0,0）,（0,1）,（1,0）,（1,1）}.

（2）集合A中元素（0,0）,（1,1）∉B,且（0,1）,（1,0）∈B,

所以A∩B={（1,0）,（0,1）}.

集合A∩B的所有子集为⌀,{（1,0）},{（0,1）},{（1,0）,（0,1）}.

10.因为A={x|x2-4x+3<0}=（1,3）,B={x|x2-6x+8<0}=（2,4）,所以A∩B=（2,3）.

令f（x）=2x2-9x+m,

则对任意的x∈A∩B都有x∈C,即f（x）<0在（2,3）上恒成立,

则

解得m≤9.

综上,实数m的取值范围是（-∞,9].

11.设x0∈A,则x0≠0,否则q=0与题设矛盾.

由

+px0+q=0两边同除以

得q

+p

+1=0,知

∈B,

故集合A,B中的元素互为倒数.

由①知存在x0∈A,使得

∈B,且x0=

得x0=1或x0=-1.

由②知A={1,-2}或A={-1,-2}.

若A={1,-2},则B=

得p=1,q=-2.

同理,若A={-1,-2},则B=

得p=3,q=2.

综上,p=1,q=-2或p=3,q=2.