例3.如图,在00中,有折线OABC.H中OA=8,AB=\2,ZA=ZB=60°,则弦BC的长为()。
A.19B.16C.18D.20
【变式训练】
1、“圆材埋壁”是我国古代《九章算术》中的问题:
“今有圆材,埋在壁冲,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,间径几何”.用数学语言可表述为如图,CD为00的直径,弦AB丄CD于点E,CE=1寸,AB二10寸,则直径CD的长为()
A・12・5寸B.13寸C.25寸D・26寸
图23-14
2、任直径为52cm的圆柱形汕桶内装入一些汕后,截而如图23-16所示,如果油的最
3.如图23-14,00的直径为10,弦AB=8,P是弦AB上
一个动点,那么0P的长的取值范围是・
4、O0的半径为10cm,弦AB〃CD,AB=12cm,CD=16cm,则AB和CD的距离为()
A.2cmB.14cm
C.2cm或14cmD.10cm或20cm
6.
圆心角定理
圆心角定理:
同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相
等。
此立理也称1推3左理,即上述四个结论中,
只要知道其中的1个相等,则可以推出其它的3个结论,
即:
①ZAOB=ZDOE;②AB=DE;
®OC=OFx④弧84=弧。
£
7.圆周角定理
1、圆周角定理:
同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
即:
•••ZAOB和ZAC3是弧AB所对的圆心角和圆周角
•••ZAOB=2ZACB
2、圆周角沱理的推论:
推论1:
在同圆或者等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等:
即:
在00中,TZC、ZD都是所对的圆周角
:
、ZC=ZD
推论2:
半圆或直径所对的圆周角是直角:
圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径(90的圆周角所对的弦是直径);
即:
在00中,•••AB是直径或•・・ZC=90。
AZC=90°/.AB是直径
例1.如图,A、B、C是O0上的三点,ZBAC二30°
则ZBOC的大小是()
A.60°B.45°C.30°D.15°
2、如图,在00中,已知ZACB=ZCDB=60°•AC=3,
则AABC的周长是・
【变式训练】
1•如图,在00中,弦AB=1.8m,圆周角ZACB二30°,则00的直径等于cm.
2•如图,O0内接四边形ABCD中,AB二CD
则图中和Z1相等的角有
3.
用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形,根据图所表示的情形,四个工件哪一个肯左是半圆环形()
4.00的半径是5,AB、CD为00的两条弦,且AB〃CD・AB二6,CD=8,求AB及CD之间的距离.
八、圆内接四边形圆的内接四边形左理:
圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角。
即:
在0O中,
•・•四边形ABCD是内接四边形
:
.ZC+ABAD=180°ZB+ZD=180°
ZDAE=ZC
例1•如图,四边形ABCD内接于00,若ZB0D=100°,
则ZDAB的度数为()
A.50°B.80°C.100°D.130°
2•如图,四边形ABCD为00的内接四边形,点E在CD的延长线上,如果ZBOD二120°,那么ZBCE等于()
A.30°B.60°C.90°D.120°
九、切线的性质及判泄左理
考查形式:
对切线的判立和性质的考查是圆中常见的题目类型,常以解答题的形式出现.题目经常及翻折、旋转、平移等动态过程相结合,以探索的形式出现.
(1)切线的判左立理:
过半径外端且垂直于半径的直线是切线;
两个条件:
过半径外端且垂直半径,二者缺一不可
即:
•••MN丄OA且过半径04外端
:
・MN是OO的切线
(2)性质泄理:
切线垂直于过切点的直径(如上图)
推论1:
过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2:
过切点垂直于切线的直线必过圆心。
即:
①过圆心:
②过切点:
③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
例1.如图,PA、PB是00的切线•切点分别为A.B,点C在
00上.如果ZP=50°,那么ZACB等于()
A.40°B.50°
C.65D.130'
2、如图,MP切00于点直线PO交00于点A.B,弦AC〃MP,求证:
MO/7BC.
3、已知:
如图,AABC中,AC=BC,以BC为直径的00交AB于点D,过点D作DE丄AC于点E,交BC的延长线于点F.(10分)
求证:
(1)AD=BD:
(2)DF是00的切线.
课后习题:
1・已知一个圆的半径为3cm,另一个圆及它相切,且圆心距为2cm,则另一个圆的半径是()
4.髙速公路的隧道和桥梁最多.如图3是一个隧道的横截面,若它的形状是以O为圆心的圆的一部分,路面
AB=10米,
净髙CD=7米,
则此圆的半径04二(
)
-37
37
A.5
B.7
C.—
D.—
5
7
5•如图5,将半径为2cm的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O,则折痕A8的长为()
A.2cmB.a/3cmC・2>/JcmD・2>/5cm
6•已知<90的半径为R,弦AB的长也是R,则ZA0B的度数是・
7•如图6,43为00的直径,点C,D在00上,ZBAC=509则ZADC=
8•如图7,00中,0A丄BC,ZAOB=60。
则ZADC=.
9•如图8,00中,MAN的度数为320°,则圆周角ZMAN=
10.
如图12,AB为©0的直径,D是QO上的一点,过0点作AB的垂线交AD于点E,交BD的延长线于点C,F为CE上一点,且FD=FE.
(1)请探究FD及OO的位置关系,并说明理由:
(2)
若G»O的半径为2,BD=、/J,求BC的长.
11、如图,已知AB为00的直径,CD是弦,且AB丄CD于点E。
连接AC、OC、BC。
(1)求证:
ZACO=ZBCDo
(2)若EB二8,CD二24,求00的直径。
12•如图,00的直径AB二10,DE丄AB于点H,AH二2・
(1)求DE的长:
(2)延长ED到P,过P作00的切线,切点为C,
若PC二22亦,求PD的长.
附加基础题:
1.
下列五个命题:
(1)两个端点能够重合的弧是等弧:
(2)圆的任意一条弧必左把
圆分成劣弧和优弧两部分:
(3)经过平而上任意三点可作一个圆;(4)任意一个圆有且只有一个内接三角形;(5)三角形的外心到各顶点距离相等.其中真命题有().
A・1个B.2个C・3个D.4个
2.如图1,00外接于△ABC,AD为00的直径,ZABC二30°,则ZCAD=()・
A.30°B・40°C.50°D.60°
3.
0是AABC的外心,且ZABC+ZACB二100°,则ZBOC=()・
A.100°B.120°C.130°D.160°
4.如图2,ZkABC的三边分别切00于D,E,F,若ZA=50°,则ZDEF=()・
A.65°B・50°C.130°D.80°
5.RtAABC中,ZC二90°,AB二5,内切圆半径为1,则三角形的周长为().
A.15B・12C.13D.14
6.已知两圆的圆心距为3,两圆的半径分别是方程丘-4x+3二0的两根,那么这两个圆的位置关系是().
A.外离B.外切C.相交D.内切
7.00的半径为3cm,点M是00外一点,0M=4cm,则以M为圆心且及O0相切的圆的半径一泄是().
A・1cm或7cmB・lcmC・7cmD・不确定
8.一个扇形半径30cm,圆心角120°,用它作一个圆锥的侧而,则圆锥底而半径为().
A.5cmB・10cmC.20cmD.30cm
二、填空题.
1.O0中,弦MN把00分成两条弧,它们的度数比为4:
5,如果T为MN中点,则ZTM0二,则弦MN
所对的圆周角为.
2.00到直线L的距离为d,00的半径为R,当d,R是方程x=4x+in二0的根,且L及00相切时•m的值为.
3.
如图3,ZkABC三边及。
0分别切于D,E,F,已知AB二7cm,AC二5cm,AD二2cm,则
BC=・
4.已知两圆外离,圆心距"12,大圆半径R二7,则小圆半径r的所有可能的正整数
值为.
十、切线长上理
切线长立理:
从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即:
-PA.PB是的两条切线
:
.PA=PB
PO平分ZBPA
例1、如图2,AABC的三边分别切00于D,E,F,若ZA=50°,则ZDEF二(
A.65°B.50°C.130°D.80°
2、如图3,ZkABC三边及€>0分别切于D,E,F,已知AB二7cgAC二5cmAD二2cm,
则BC=
【变式训练】
3、如图,正三角形的内切圆半径为1,那么三角形的边长为(
A.2B.2^3J厲D.3
4、如图,从点P向。
0引两条切线PA,PB,切点为A,B,AC为弦,BC为00的直径,若ZP二60°,PB=2cm,求AC的长.
十一、两圆公共弦立理
圆公共弦立理:
两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。
如图:
垂直平分A3。
即:
•••00“00?
相交于A.B两点
AOp2垂直平分AB
十二、圆内正多边形的计算
(1)正三角形
在OO中4ABC是正三角形.有关计算在RtABOD中进行:
OD:
BD:
OB=\:
*:
2;
(2)正四边形
同理,四边形的有关计算在Rt^OAE中进行,OE:
AE:
OA=1:
1:
V2:
(3)正六边形
同理,六边形的有关计算在R临OAB中进行,AB:
OB:
OA=i:
^-2.
例1、两等圆半径为5,圆心距为8,则公共弦长为.
例2、正六边形内接于圆.它的边所对的圆周角是()
A.60°B.120°C.60或120D.30°或150°
例3、如图,O0是等边三角形ABC的外接圆,的半径为2,则等边三角形A3C的边长为()
A.2、/5B・C・*D・2>/5
【变式训练】
K半径分别为8和6且圆心距为10的公共弦长为
2、如果圆的内接正六边形的边长为6cm,则其外接圆的半径为•
3、如图5,00的半径为少,ZkABC是O0的内接等边三角形,将ZkABC折叠,使点A落
在O0上,折痕EF平行BC,则EF长为
十三、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式(P132)
Ar厂>25^p-
考查形式:
考査运用弧长公式(/=△)以及扇形而积公式(S=」一和
180360
S=-lr)进行有关的il•算,常以填空题或选择题的形式进行考查.
2
1、扇形:
(1)弧长公式:
1=空;
(2)扇形而积公式:
S='^-=-lR
1803602
H:
圆心角/?
:
扇形多对应的圆的半径/:
扇形弧长S:
扇形面积
2、圆柱:
(1)圆柱侧而展开图
S&=S侧+2S底二2兀rh+Mr1
(2)圆柱的体积:
V=nrh
3、圆锥:
(2)圆锥侧面展开图
(1)S\,=S“(+=jtRf+7TK
(2)圆锥的体积:
V=-nrh
例:
L已知扇形的圆心角为120°,弧长等于半径为5cm的圆的周长,则扇形的而积为()
A^75cm:
B、75^cm:
C、150cm:
D^150/Tcm,
例2、底而面积为髙为3的圆柱的表而积和体积分别为:
例3、圆锥的母线长5cm,底而半径长3cm,那么它的侧而展开图的圆心角是()
A.180°B.200°C.225°D.216。
例4.AB为G>0的直径,点C在OO上,过点C作。
O的切线交的延长线于点D,已知ZD=30°.⑴求ZA的度数:
⑵若弦CF丄AB,垂足为&且CF=4V3,求图中阴影部分的而积.(15分)
【变式训练】
/
4
1.方格纸中4个小正方形的边长均为1,则图中阴影部分三个小扇形的而积
和为(结果保留兀)・
2、已知00的半径为8cm,点A为半径0B的延长线上一点,射线AC切O0于点C,弧BC
8的长为—龙cm,求线段AB的长。
3
综合复习题:
1.下列命题中,正确命题的个数为()・
①平分弦的直径垂直于弦;②圆周角的度数等于圆心角度数的一半;③90。
的圆周角所对的弦是直:
④圆周角相
等,则它们所对的弧相等.
3、如图1,四个边长为2的小正方形拼成一个大正方形,A、B、O是小正方形顶点,
00的半径为2,P是0O上的点,且位于右上方的小正方形内,则ZAPB等于()
A.30°B.45。
C・60°D・90。
4、一条弦把半径为8的圆分成长度为1:
2的两条弧,则这条弦长为(
A、4巧B、8>/3C.8D.16
5、如图,以AB为直径的半圆O上有两点D、E,ED及BA的延长线
交于点C,且有DC=OE,若ZC=20°,则ZEOB的度数是()
A.40°B.50°C.60°D.80c
)
6、在半径为1的圆中,弦AB、AC分别是苗和则ZBAC的度数为
1、如图,CD是00的直径,弦AB丄CD,连接OA,OB,BD.若ZAOB=100°,则ZABD=度.
8、如图,AB是。
0的直径,CD丄AB于点E,交00于点D,0F丄AC于点F.
ZD=30°,BC=1,求圆中阴影部分的而积为:
9、如图,AB为半0O的直径,C为半圆弧的三等分点,过B,C两点的半QO的
切线交于点几若的长是则用的长
10、如图,PA.切00于A,3两点,CD切O0于点E,分别交PA.PB
及点C、D,若PA,PB的长是关于关于X的一元二次方程X?
—〃!
%+(加一1)=0的两个根,求血0的周长.
11、如图,在OM中,弧AB所对的圆心角为120°,已知圆的半径为2cm,并建立如图所示的直角坐标系,点C是y轴及弧AB的交点。
(1)求圆心H的坐标:
(2)若点D是弦AB所对优弧上一动点,求四边形ACBD的最大而积
课后习题:
一、选择题:
1、下列说法正确的是()
A.垂直于半径的直线是圆的切线B.经过三点一定可以作圆
C.圆的切线垂直于圆的半径D.每个三角形都有一个内切圆
2、两个半径不等的圆相切,圆心距为6cm,且大圆半径是小圆半径的2倍,则小圆的半径为()
A.3B.4C.2或4D.2或6
3、已知圆锥的底而半径为3,髙为4,则圆锥的侧而积为()。
6、半径相等的圆内接正三角形.正方形.正六边形的边长之比为
C.V3:
VI:
1D.3:
2:
1
7、在ZkABC中,AB是00的直径,ZB=60°,ZC=70°,则ZB0D的度数是・
8、如图,以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦A3是小圆的切线,点P为切点,且AB=4,OP=2,连
结Q4交小圆于点E,则扇形的而积为
9、如图0A,OB,0C两两不相交,且它们的半径都是0.5cm,则图中三个扇形的而积之和为()
A.—an"B・—c〃广C.—cm"D・—cm
12864
10、如图,已知扇形OAB的半径为12,0A丄OB,C为0B上一点,以0A为直径的半圆0’和以BC为直径的半圆0:
相切于点D,则图中阴影部分的而积为:
()
A.6兀B.10兀C.12兀D.20%
11、矩形ABCD中,对角线AC=4,ZACB=30°,以直线AB为轴旋转一周得到圆柱的表而积是
12.扇形的圆心角度数60。
而积6n,则扇形的周长为
三.解答题:
13、如图,BC为OO的直径,AD丄BC,垂足为D.弧AB等于弧AF,BF和AD相交于E・证明:
AE=BE
16、已知AB是00的直径,AP是的切线,A是切点,BP及00交于点C.
(1)如图①若AB二2,ZP二30°,求AP的长(结果保留根号):
(2)如图②,若D为AP的中点,求证:
直线CD是O0的切线.
17、线段AB及00相切于点C,连接0A、OB,0B交00于点D,已知0A二0B二6cm,AB二求:
(1)<30的半径;
(2)圆中阴影部分而积.
18、如图,在RtAABC中,ZC=90°,0为直角边BC上一点,以0为圆心,0C为半径的圆P合好及斜边AB相切
于点D,及BC交于另一点E.
(1)求证:
AAOC^AAOD:
(2)若BE=LBD二3,求©0的半径及图中阴影部分的面积S・
19、如图,AB、BC、CD分别及00切于E、F>G,且AB〃CD・连接OB、0C,延长CO交00于点M,
过点M作MN〃OB交CD于N・
⑴求证:
MN是00的切线;
⑵当0B二6cm,0C=8cm时,求O0的半径及MN的长.