最新中考数学折叠问题讲义资料.docx
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最新中考数学折叠问题讲义资料
中考数学——
六种类型折叠问题
类型1直角三角形的翻折或翻折后产生直角三角形的问题
例1.如图,Rt△ABC中,AB=9,BC=6,∠B=90°,将△ABC折叠,使点A与BC的中点D重合,折痕为MN,则线段BN的长为( )
【分析】设BN=x,则由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x,根据中点的定义可得BD=3,在Rt△BND中,根据勾股定理可得关于x的方程,解方程即可求解.
【解答】设BN=x,由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x,
∵D是BC的中点,∴BD=3,在Rt△NBD中,x+3=(9﹣x),
解得x=4.即BN=4.故选:
A.
例1变式1.如图,在Rt△ABC中,直角边AC=6,BC=8,将△ABC按如图方式折叠,使点B与点A重合,折痕为DE,则CD的长为( )
A.25/4B.22/3C.7/4D.5/3
【解析】由题意得DB=AD;设CD=x,则AD=DB=(8﹣x),
∵∠C=90°,∴AD﹣CD=AC,(8﹣x)﹣x=36,
解得x=7/4;即CD=7/4.故选:
C.
例1变式2.如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=6,点E为BC上一点,将△ABE沿AE折叠得到△AEF,点H为CD上一点,将△CEH沿EH折叠得到△EHG,且F落在线段EG上,当GF=GH时,则BE的长为_____.
【解析】由折叠可得∠AEH=1/2∠BEC=90°,进而得出Rt△AEH中,AE+EH2=AH,设BE=x,则EF=x,CE=6﹣x=EG,再根据勾股定理,即可得到方程x+4+(6﹣x)+(6﹣2x)=(2x﹣2)+6,解该一元二次方程,即可得到BE的长.BE的长为2.
【点评】本题主要考查的是翻折的性质、矩形的性质、勾股定理以及解一元二次方程的综合运用,解决问题的关键是连接AH构造直角三角形AEH,这种折叠问题常设要求的线段长为x,然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度,选择适当的直角三角形,运用勾股定理列出方程求出答案.
方法策略模式:
在折叠后产生的直角三角形中,把某条边设成未知数根据勾股定理列方程求解。
类型2翻折前有平行线这一条件的问题
例2.如图,在长方形纸片ABCD中,AD=4cm,把纸片沿直线AC折叠,点B落在E处,AE交DC于点O,若OC=5cm,则CD的长为( )
A.6cmB.7cmC.8cmD.10cm
【分析】由折叠的性质可得:
∠BAC=∠EAC=∠ACD,可得AO=CO=5cm,根据勾股定理可求DO的长,即可求CD的长.
【解答】∵折叠,∴∠BAC=∠EAC,
∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥CD,∴∠BAC=∠ACD,
∴∠EAC=∠ACD,∴AO=CO=5cm,
在直角三角形ADO中,利用勾股定理可求得DO=3cm,
∴CD=DO+CO=3+5=8cm.故选:
C.
例2变式.如图,矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=8,现将A、C重合,使纸片折叠压平,设折痕为EF,则图形中重叠部分△AEF的面积为_____.
【解析】设AE=x,由折叠可知,EC=x,BE=8﹣x,
在Rt△ABE中,AB+BE=AE,即4+(8﹣x)=x,解得:
x=5,
由折叠可知∠AEF=∠CEF,
∵AD∥BC,∴∠CEF=∠AFE,∴∠AEF=∠AFE,即AE=AF=5,
∴S△AEF=1/2×AF×AB=1/2×5×4=10.
故答案为:
10.
方法策略模式:
图形折叠后,相当于出现了角平分线,有角平分线,有平行,就会产生等腰三角形,我们去找那个等腰三角形一般就会使得问题得到解决。
类型3 直角三角形的翻折,利用三垂直模型解答
例3.如图,平面直角坐标系中,已知矩形OABC,O为原点,点A、C分别在x轴、y轴上,点B的坐标为(1,2),连接OB,将△OAB沿直线OB翻折,点A落在点D的位置,则cos∠COD的值是( )
A.3/5B.1/2C.3/4D.4/5
【分析】根据翻折不变性及勾股定理求出GD、CG的长,再根据相似三角形的性质,求出DF的长,OF的长即可解决问题;
【解答】作DF⊥y轴于F,DE⊥x轴于E,BD交OC于G.
∵在△BCG与△ODG中,
∠BCG=∠ODF,OD=BC,∠DOF=∠GBC,∴△BCG≌△ODG,
∴GO=GB,∴设GO=GB=x,则CG=GD=2﹣x,
于是在Rt△CGB中,(2﹣x)+1=x;解得x=5/4.
GD=2﹣x=2﹣5/4=3/4;
∵BC⊥y轴,DF⊥y轴,∴∠BCG=∠DFG,
∵∠BGC=∠DGF,∴△CBG∽△FDG,∴DF/BC=DG/BG,∴DF=3/5;
【点评】本题考查翻折变换、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造相似三角形解决问题,属于中考常考题型.
例3变式.如图,小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸,使得顶点D落在边BC上的点F处(折痕为AE).已知该纸片AB为8cm,BC为10cm,则EC的长度为( )
A.6cmB.5cmC.4cmD.3cn
【解析】由四边形ABCD是矩形,可得BC=AD=10cm,∠B=∠C=∠D=90°,又由由折叠的性质可得:
AF=AD=10cm,∠AFE=∠D=90°,利用勾股定理即可求得BF的长,继而可得FC的长,然后由△ABF∽△FCE,利用相似三角形的对应边成比例,即可求得EC的长度.EC=3cm,故选:
D.
方法策略模式:
如果图形中折叠的是一个直角,我们的处理方法一般是构造三垂直模型,找到一对相似三角形,根据相似的性质来解决问题。
类型4 等边三角形的翻折一线三等角
例4.如图,等边△ABC中,D是BC边上的一点,把△ABC折叠,使点A落在BC边上的点D处,折痕与边AB、AC分别交于点M、N,若AM=2,AN=3,那么边BC长为_____.
【分析】设BD=x,DC=y由△BMD∽△CDN,可得(BM+MD+BD):
(DN+NC+CD)=DM:
DN=2:
3,推出(2x+y):
(x+2y)=2:
3,推出y=4x,推出AB=BC=AC=5x,MB=5x﹣2,CN=5x﹣3,再根据BM/CD=DM/DN=2/3,构建方程即可解决问题;
【解答】解:
设BD=x,DC=y,
∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC=AC=x+y,∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,
由折叠的性质可知:
MN是线段AD的垂直平分线,
∴AM=DM=2,AN=DN=3,
∴BM+MD+BD=2x+y,DN+NC+DC=x+2y,
∵∠MDN=∠BAC=∠ABC=60°,
∴∠NDC+∠MDB=∠BMD+∠MBD=120°,∴∠NDC=∠BMD,
∵∠ABC=∠ACB=60°,∴△BMD∽△CDN,
∴(BM+MD+BD):
(DN+NC+CD)=DM:
DN=2:
3,
∴(2x+y):
(x+2y)=2:
3,
∴y=4x,∴AB=BC=AC=5x,MB=5x﹣2,CN=5x﹣3,
∵BM/CD=DM/DN=2/3,
∴(5x-2)/4x=2/3,∴x=6/7,∴BC=5x=30/7,故答案为30/7.
【点评】本题考查了等边三角形的性质、X相似三角形的判定和性质以及折叠的性质:
折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.
例4变式.如图所示,等边△ABC中,边长为4,P、Q为AB、AC上的点,将△ABC沿着PQ折叠,使得A点与线段BC上的点D重合,且BD:
CD=1:
3,则AQ的长度为________.
【解析】易得△BPD∽△CDQ,可得BD/CQ=DP/DQ=BP/CD,由BD:
DC=1:
4=3,BC=4,推出DB=1,CD=3,设AQ=x,则CQ=4﹣x,构建方程即可解决问题;AQ=13/5.
方法策略模式:
等边三角形折叠后,会出现三个60度的角,一般情况下我们会找到一对相似三角形,根据相似的性质来解决问题。
类型5 过一定点的翻折与隐形圆
例5.如图,在边长为8的菱形ABCD中,∠A=60°,M是边AD的中点,N是AB上一点,将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A'MN,连接A'B,则A'B的取值范围_________
【分析】连接BM,BD,依据M是边AD的中点,△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A'MN,即可得到点A'的轨迹为以AD为直径的半圆M,依据A'B+A'M≥BM,即可得出A'B≥BM﹣A'M=4√3﹣4,当点N与点A或点D重合时,A'B的最大值为8,即可得到A'B的取值范围.
【解答】如图所示,连接BM,BD,
∵M是边AD的中点,△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A'MN,
∴点A'的轨迹为以AD为直径的半圆M,A'M=AM=4,
∵∠A=60°,AB=AD,∴△ABD是等边三角形,
∴BM⊥AD,∠ABM=30°,∴BM=√3AM=4√3,
∵A'B+A'M≥BM,∴A'B≥BM﹣A'M=4√3﹣4,
当点N与点A或点D重合时,点A'与点A或点D重合,此时A'B的最大值为8,∴A'B的取值范围为:
4√3﹣4≤A'B≤8,
故答案为:
4√3﹣4≤A'B≤8.
例5变式.如图,在矩形ABCD中,AD=2,AB=3,点E是AD边的中点,点F是射线AB上的一动点,将△AEF沿EF所在的直线翻折得到△A′EF,连接A′C,则A′C的最小值为______.
【解析】根据点F是射线AB上的一动点,将△AEF沿EF所在的直线翻折得到△A′EF,可得点A'的运动路径为以E为圆心,AE长为半径的半圆,再根据两点之间线段最短,即可得出当点A'、C、E三点共线时,A′C的长最小,最后根据勾股定理进行计算即可.即A′C的最小值为√10-1
方法策略模式:
如果翻折的折痕是过一定点的,就会出现隐形圆,一般我们用点圆最值模型来求最值。
类型6折叠后图形不确定的多解的折叠问题
例6.如图,正方形ABCD的边长是2,点E是CD边的中点,点F是边BC上不与点B,C重合的一个动点,把∠C沿直线EF折叠,使点C落在点C′处.当△ADC′为等腰三角形时,FC的长为______ .
新材料手工艺品。
目前,国际上传统的金银、仿金银制成饰品的销售在逐步下降,与此形成鲜明对比的是,数年以前兴起的崇尚然风格、追求个性的自制饰品--即根据自己的创意将各种材质的饰珠,用皮、布、金属等线材串出的品,正在各国的女性中大行其道。
【分析】首先证明DC′≠DA,只要分两种情形讨论即可:
①如图1中,当AD=AC′=2时,连接AE.构建方程即可;②如图2中,当点F在BC中点时,易证AC′=DC′,满足条件;
众上所述,我们认为:
我们的创意小屋计划或许虽然会有很多的挑战和困难,但我们会吸取和借鉴“漂亮女生”和“碧芝”的成功经验,在产品的质量和创意上多下工夫,使自己的产品能领导潮流,领导时尚。
在它们还没有打入学校这个市场时,我们要巩固我们的学生市场,制作一些吸引学生,又有使学生能接受的价格,勇敢的面对它们的挑战,使自己立于不败之地。
【解答】由题意DE=EC=EC′=1,∴DC′<1+1
“漂亮女生”号称全国连锁店,相信他们有统一的进货渠道。
店内到处贴着“10元以下任选”,价格便宜到令人心动。
但是转念一想,发夹2.8元,发圈4.8元,皮夹子9.8元,好像和平日讨价还价杀来的心理价位也差不多,只不过把一只20元的发夹还到5元实在辛苦,现在明码标价倒也省心省力。
∴DC′≠DA,只要分两种情形讨论即可:
(2)东西全①如图1中,当AD=AC′=2时,连接AE.
虽然调查显示我们的创意计划有很大的发展空间,但是各种如“漂亮女生”和“碧芝”等连锁饰品店在不久的将来将对我们的创意小屋会产生很大的威胁。
∵AE=AE,AD=AC′,DE=DC′,
∴△ADE≌△AC′E,∴∠ADE=∠AC′E=90°,
∵∠C=∠FC′E=90°,∴∠AC′E+∠FC′E=180°,
三、主要竞争者分析∴A、C′、F共线,设CF=x,则BF=2﹣x,AF=2+x,
1、荣晓华、孙喜林《消费者行为学》东北财经大学出版社2003年2月在Rt△ABF中,2+(2﹣x)=(2+x),解得x=1/2.
②如图2中,当点F在BC中点时,易证AC′=DC′,满足条件,此时CF=1.
综上所述,满足条件的CF的长为1/2或1.
故答案为1/2或1.
【点评】本题考查翻折变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会用分类讨论的首先思考问题,属于中考填空题中的压轴题.
例6变式.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点E,F分别为AB,AC上一个动点,连接EF,以EF为轴将△AEF折叠得到△DEF,使点D落在BC上,当△BDE为直角三角形时,BE的值为______.
上海市劳动和社会保障局所辖的“促进就业基金”,还专门为大学生创业提供担保,贷款最高上限达到5万元。
【解析】分两种情形分别求解:
①如图1中,当∠EDB=90°时,设BE=x.则AE=ED=10﹣x.利用平行线的性质,构建方程即可解决问题;②如图2中,当∠DEB=90°,设BE=x,则AE=ED=10﹣x.根据tan∠DBE=DE/BE=AC/BC,构建方程即可;满足条件的BE的值为25/4或40/7.
方法策略模式:
此类题目往往涉及知识点多,综合性强,大部分情况下还需分类讨论。
同学们在这类题上得分率较低,反思其原因,无法准确画出所需要的图形是导致错误的重要原因之一,因此要明确分折叠操作后图形是否确定,可能出现情况有那些。
。
根本不知道□总结提升
经过以上六个类型问题分析,我们不难得到解决这类问题思维模式。
具体如下:
1.折叠后能够重合的线段相等,能够重合的角相等,能够重合的三角形全等,折叠前后的图形关于折痕对称,对应点到折痕的距离相等。
2.折叠类问题中,如果翻折的是直角,那么可以构造三垂直模型,利用三角形相似解决问题;
3.折叠类问题中,如果有平行线,那么翻折后就有可能出现等腰三角形,或者角平分;
据调查统计在对大学生进行店铺经营风格所考虑的因素问题调查中,发现有50%人选择了价格便宜些,有28%人选择服务热情些,有30%人选择店面装潢有个性,只有14%人选择新颖多样。
如图(1-5)所示4.折叠类问题中,如果有新的直角三角形出现,我们可以设未知数,根据勾股定理列方程求解;
5.折叠类问题中,如果折痕过某一定点,这是往往用辅助圆来解决问题,一般试题考查的是点圆最值问题。
6.折叠后图形不明确,应明确分析出可能出现情形,一次分析验证,可借助纸片模拟分析。