沪科版八年级数学下册第十九章四边形专题训练.docx
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沪科版八年级数学下册第十九章四边形专题训练
专题训练
（一） 借助平行四边形的性质巧解题
类型之一 求线段的长或证明线段相等
1．如图4－ZT－1，已知▱ABCD的周长为60cm，对角线AC，BD相交于点O，△AOB比△BOC的周长长8cm，则▱ABCD较长边的长为________．
图4－ZT－1
2．如图4－ZT－2，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，AB＝10cm，AD＝8cm，AC⊥BC，则OB＝________cm.
图4－ZT－2
3．2017·山西已知：
如图4－ZT－3，在▱ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，使得BE＝DF.连接EF，与对角线AC交于点O.
求证：
OE＝OF.
图4－ZT－3
类型之二 求角的度数或证明角相等
4．如图4－ZT－4所示，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，且AE＝BE，求▱ABCD各内角的度数．
图4－ZT－4
5．如图4－ZT－5，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC.求证：
∠BAC＝∠BFC.
图4－ZT－5
类型之三 证明两直线平行
6．如图4－ZT－6，在▱ABCD中，连接BD，在BD的延长线上取一点E，在DB的延长线上取一点F，使BF＝DE，连接AF，CE.
求证：
AF∥CE.
图4－ZT－6
7．已知：
如图4－ZT－7，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，直线EH经过点O，交AB于点E，交CD于点H，直线FG经过点O，交BC于点F，交AD于点G，连接EF，HG.
求证：
EF∥GH.
图4－ZT－7
专题训练
（二） 特殊平行四边形性质与判定的应用
类型之一 求线段长度或证明线段相等
1．如图5－ZT－1，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边的正方形ACEF的周长为（ ）
图5－ZT－1
A．14B．15C．16D．17
2．如图5－ZT－2，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC.若AC＝4，则四边形CODE的周长是________．
图5－ZT－2
3．如图5－ZT－3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，连接DE交AC于点O.
求证：
（1）四边形ADCE为菱形；
（2）DE＝BC.
图5－ZT－3
类型之二 求角度或证明角相等
3．如图5－ZT－4，在菱形ABCD中，∠ADC＝72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数是（ ）
图5－ZT－4
A．108°B．72°C．90°D．100°
4．如图5－ZT－5，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE.若∠ADB＝30°，则∠E＝________°.
图5－ZT－5
6．已知：
如图5－ZT－6，在正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，AE分别交DC，BD于点F，G，H为EF的中点．
求证：
（1）∠DAG＝∠DCG；
（2）GC⊥CH.
图5－ZT－6
类型之三 判断或证明四边形的形状
7．在平面中，下列命题为真命题的是（ ）
A．四个角都相等的四边形是矩形
B．对角线垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．四边相等的四边形是正方形
8．如图5－ZT－7，在△ABC中，AC＝BC，D，E分别是边AB，AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是（ ）
图5－ZT－7
A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形
9．如图5－ZT－8，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知O是AC的中点，AE＝CF，DF∥BE.
（1）求证：
△BOE≌△DOF；
（2）若OD＝
AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？
请证明你的结论．
图5－ZT－8
类型之四 有关特殊平行四边形的开放探究题
10．如图5－ZT－9，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点O；以AB，AO为邻边作▱AOC1B，对角线交于点O1；以AB，AO1为邻边作▱AO1C2B；…，依此类推，则▱AO4C5B的面积为（ ）
图5－ZT－9
A.
cm2B.
cm2C.
cm2D.
cm2
11．如图5－ZT－10，在矩形ABCD中，AB＝6，第1次平移将矩形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位，得到矩形A1B1C1D1，第2次平移将矩形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位，得到矩形A2B2C2D2，…，第n次平移将矩形An－1Bn－1Cn－1Dn－1沿An－1Bn－1的方向向右平移5个单位，得到矩形AnBnCnDn（n＞2）．
图5－ZT－10
（1）求AB1和AB2的长；
（2）若ABn的长为56，求n的值．
专题训练（三） 特殊平行四边形中的折叠
类型之一 把一个顶点折叠到一条边上
1．如图6－ZT－1所示，在矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC上的点F处．若AE＝5，BF＝3，求CD的长．
图6－ZT－1
2．如图6－ZT－2，已知矩形纸片ABCD，AD＝2，AB＝4.将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AB，CD交于点G，F，AE与FG交于点O.求证：
以A，G，E，F四点为顶点的四边形是菱形．
图6－ZT－2
类型之二 把一条边折叠到对角线上
3．如图6－ZT－3所示，在矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使边AB与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为（ ）
图6－ZT－3
A．3B．4C．5D．6
4．如图6－ZT－4，在正方形纸片ABCD中，对角线AC，BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB，AC于点E，G，连接GF，EF，给出下列结论：
①∠ADG＝22.5°；②四边形AEFG是菱形；③S△AGD＝S△OGD；④BE＝2OG.其中正确的结论是________（将所有正确结论的序号都填写在横线上）．
图6－ZT－4
5．准备一张矩形纸片，按图6－ZT－5所示操作：
将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的点M处．将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的点N处．
（1）求证：
四边形BFDE是平行四边形；
（2）若四边形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面积．
图6－ZT－5
类型之三 把一个顶点折叠到另一个顶点上
5．如图6－ZT－6所示，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF.若AB＝1，BC＝2，则△ABE和△BC′F的周长之和为（ ）
图6－ZT－6
A．3B．4C．6D．8
6．把一张矩形纸片ABCD按图6－ZT－7所示方式折叠，使顶点B和D重合，折痕为EF.若AB＝3cm，BC＝5cm，则重叠部分△DEF的面积为________cm2.
图6－ZT－7
8．如图6－ZT－8所示，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，求折痕EF的长．
图6－ZT－8
9．如图6－ZT－9所示，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接CE.
（1）求证：
四边形AFCE为菱形；
（2）设AE＝a，ED＝b，DC＝c.请写出a，b，c三者之间的数量关系，并说明理由．
图6－ZT－9
类型之四 沿一条直线折叠
10．如图6－ZT－10，已知正方形ABCD的对角线长为2
，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为（ ）
图6－ZT－10
A．8
B．4
C．8D．6
11．如图6－ZT－11，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是（ ）
图6－ZT－11
A．2
－2B．6C．2
－2D．4
12．如图6－ZT－12，将矩形纸片ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH.若EH＝12cm，EF＝16cm，则边AD的长是________．
图6－ZT－12
13．如图6－ZT－13，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作FG∥CD，交AE于点G，连接DG.
（1）求证：
四边形DEFG为菱形；
（2）若CD＝8，CF＝4，求
的值．
图6－ZT－13
14．如图6－ZT－14，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，沿EC折叠矩形ABCD，使点B落在点P处，折痕为EC，连接AP并延长AP交CD于点F，连接BP.
（1）求证：
四边形AECF为平行四边形；
（2）若△AEP是等边三角形，求证：
△APB≌△EPC；
（3）若矩形ABCD的边AB＝6，BC＝4，求△CPF的面积．
图6－ZT－14
专题一
1．19cm [解析]∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC.
由题意得（OA＋OB＋AB）－（OB＋OC＋BC）＝8cm，
∴AB－BC＝8cm.
又∵AB＋BC＝30cm，
∴AB＝19cm，BC＝11cm.
故答案为19cm.
2.
[解析]∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝8cm，OA＝OC＝
AC.
∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，
∴AC＝
＝
＝6（cm），
∴OC＝3cm，
∴OB＝
＝
＝
（cm）．
3．证明：
连接AF，CE，如图．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∵BE＝DF，
∴AB＋BE＝CD＋DF，即AE＝CF.
∵AB∥CD，∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴OE＝OF.
4．解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠B＋∠C＝180°，∠AEB＝∠DAE.
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE.
∵AE＝BE，∴△ABE是等边三角形，
∴∠B＝60°，∴∠BCD＝120°，
∴▱ABCD各内角的度数分别为∠B＝∠D＝60°，∠BAD＝∠C＝120°.
5．证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD.
∵F为DC的延长线上的一点，
∴AB∥DF，
∴∠BAE＝∠CFE，∠ECF＝∠EBA.
∵E为BC的中点，∴BE＝CE.
在△BAE和△CFE中，∵
∴△BAE≌△CFE（AAS），∴AB＝FC.
又∵AB∥FC，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∴∠BAC＝∠BFC.
6．证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠ADF＝∠CBE.
∵BF＝DE，∴BF＋BD＝DE＋BD，
即DF＝BE，
∴△ADF≌△CBE，
∴∠AFD＝∠CEB，∴AF∥CE.
（本题还可以连接AC，FC，AE，证明四边形AFCE的对角线互相平分，从而证明四边形AFCE是平行四边形，问题得证）
7．证明：
如图，连接EG，FH.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AB∥CD，
∴∠EAO＝∠HCO.
又∵∠AOE＝∠COH，
∴△AOE≌△COH（ASA），
∴OE＝OH.
同理OG＝OF，
∴四边形EFHG是平行四边形，
∴EF∥GH.
专题二
1．C [解析]∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC.
又∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝4，
∴正方形ACEF的周长是AC＋CE＋EF＋AF＝4×4＝16.
故选C.
2．8 [解析]∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形CODE是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC＝
AC＝2，OD＝
BD，AC＝BD，
∴OC＝OD＝2，
∴四边形CODE是菱形，
∴DE＝CE＝OC＝OD＝2，
∴四边形CODE的周长为2×4＝8.
3．证明：
（1）∵AE∥CD，CE∥AB，
∴四边形ADCE是平行四边形．
∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴CD＝
AB＝AD，
∴四边形ADCE为菱形．
（2）∵四边形ADCE为菱形，∴AC⊥DE.
∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∴DE∥BC.
又∵CE∥AB，
∴四边形BCED是平行四边形，
∴DE＝BC.
5．B [解析]连接PA，如图所示．
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADP＝∠CDP＝
∠ADC＝36°，BD所在的直线是菱形的对称轴，
∴PA＝PC.
∵AD的垂直平分线交对角线BD于点P，
∴PA＝PD，
∴PD＝PC，
∴∠PCD＝∠CDP＝36°，
∴∠CPB＝∠PCD＋∠CDP＝72°.
5．15 [解析]如图，连接AC.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BE，AC＝BD，且∠CAD＝∠ADB＝30°，
∴∠E＝∠DAE.
又∵BD＝CE，∴CE＝CA，
∴∠E＝∠CAE.
∵∠CAD＝∠CAE＋∠DAE，
∴∠E＋∠E＝30°，即∠E＝15°.
6．证明：
（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝CD，∠ADB＝∠CDB＝45°.
又∵DG＝DG，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠DAG＝∠DCG.
（2）∵四边形ABCD为正方形，∴AD∥BE，
∴∠DAG＝∠E.
又∵∠DAG＝∠DCG，
∴∠E＝∠DCG.
∵H为Rt△CEF的斜边EF的中点，
∴CH＝HE＝
EF，
∴∠HCE＝∠E，
∴∠DCG＝∠HCE.
又∵∠FCH＋∠HCE＝90°，
∴∠FCH＋∠DCG＝90°，
即∠GCH＝90°，∴GC⊥CH.
7．A [解析]A项，根据四边形的内角和得出，四个角都相等即四个角都是直角，故此四边形是矩形，故此选项正确．
B项，对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故此选项错误．
C项，对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故此选项错误．
D项，四边相等的四边形是菱形，故此选项错误．
故选A.
8．A [解析]∵△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，
∴AE＝CE，DE＝EF，
∴四边形ADCF是平行四边形．
∵AC＝BC，D是边AB的中点，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCF是矩形．
故选A.
9．解：
（1）证明：
∵O是AC的中点，
∴OA＝OC.
又∵AE＝CF，∴OE＝OF.
∵DF∥BE，∴∠OEB＝∠OFD.
∵在△BOE和△DOF中，∵
∴△BOE≌△DOF（ASA）．
（2）四边形ABCD是矩形．
证明：
∵△BOE≌△DOF，
∴OB＝OD.
又∵OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵OD＝
AC，OD＝
BD，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形．
10．B [解析]设矩形ABCD的面积为S.
∵O为矩形ABCD的对角线的交点，
∴▱AOC1B的边AB上的高等于BC的
，
∴▱AOC1B的面积＝
S.
∵▱AOC1B的对角线交于点O1，
∴▱AO1C2B的边AB上的高等于▱AOC1B的边AB上的高的
，
∴▱AO1C2B的面积＝
×
S＝
，
…
依此类推，▱AO4C5B的面积＝
＝
＝
（cm2）．
故选B.
11．解：
（1）∵AB＝6，第1次平移将矩形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位，得到矩形A1B1C1D1，
第2次平移将矩形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位，得到矩形A2B2C2D2，
∴AA1＝5，A1A2＝5，A2B1＝A1B1－A1A2＝6－5＝1，
∴AB1＝AA1＋A1A2＋A2B1＝5＋5＋1＝11，
AB2＝5＋5＋6＝16.
（2）由AB1＝2×5＋1＝11，AB2＝3×5＋1＝16，
可知ABn＝（n＋1）×5＋1＝56，解得n＝10.
专题三
1．解：
根据折叠的性质，得EF＝AE＝5.
根据矩形的性质，得∠B＝90°.
在Rt△BEF中，∠B＝90°，EF＝5，BF＝3，
根据勾股定理，得
BE＝
＝
＝4，
∴CD＝AB＝AE＋BE＝5＋4＝9.
2．证明：
连接AF，由折叠的性质可得AG＝EG，∠AGF＝∠EGF.
∵DC∥AB，
∴∠EFG＝∠AGF，
∴∠EFG＝∠EGF，
∴EF＝EG.
又∵AG＝EG，∴EF＝AG，
∴四边形AGEF是平行四边形．
又∵AG＝EG，∴▱AGEF是菱形，
即以A，G，E，F四点为顶点的四边形是菱形．
3．D
4．①②④ [解析]①由四边形ABCD是正方形，可得∠GAD＝∠ADO＝45°，又由折叠的性质，可求得∠ADG＝22.5°，故结论①正确．
②由折叠的性质可知∠EFD＝∠EAD＝90°，∠AGE＝∠FGE，AG＝GF，又∵AC⊥BD，∴EF∥AC，∴∠FEG＝∠AGE，∴∠FEG＝∠FGE，∴GF＝EF，∴AG＝EF且AG∥EF，∴四边形AEFG是平行四边形．
又∵AG＝GF，∴四边形AEFG是菱形，故结论②正确．
③由AG＝GF＞OG，可得△AGD的面积＞△OGD的面积，故结论③错误．
④易得△EFB和△GOF都是等腰直角三角形，由勾股定理得BE＝
EF＝
GF，GF＝
OG，∴BE＝2OG，故结论④正确．
则正确结论的序号是①②④.
5．解：
（1）证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB.
又由折叠的性质，知∠ABE＝∠EBD，∠CDF＝∠FDB，
∴∠EBD＝∠FDB，∴EB∥DF.
又∵ED∥BF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
（2）∵四边形BFDE是菱形，
∴BE＝ED，∠EBD＝∠FBD＝∠ABE.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，∴∠ABE＝30°.
∵∠A＝90°，AB＝2，
∴AE＝
，BF＝BE＝2AE＝
，
∴菱形BFDE的面积为
×2＝
.
6．C
7.
[解析]设ED＝x，则根据折叠和矩形的性质，得
A′E＝AE＝5－x，A′D＝AB＝3.
根据勾股定理，得ED2＝A′E2＋A′D2，
即x2＝（5－x）2＋32，解得x＝
，
∴S△DEF＝
×
×3＝
（cm2）．
8．解：
设BE＝x，则CE＝BC－BE＝16－x.
∵沿EF翻折后点C与点A重合，
∴AE＝CE＝16－x.
在Rt△ABE中，AB2＋BE2＝AE2，
即82＋x2＝（16－x）2，解得x＝6，
∴AE＝16－6＝10.
由翻折的性质，得∠AEF＝∠CEF.
∵矩形ABCD的对边AD∥BC，
∴∠AFE＝∠CEF，∴∠AEF＝∠AFE，
∴AE＝AF＝10.
过点E作EH⊥AD于点H，则四边形ABEH是矩形，
∴EH＝AB＝8，AH＝BE＝6，
∴FH＝AF－AH＝10－6＝4.
在Rt△EFH中，EF＝
＝
＝4
.
9．解：
（1）证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∴∠AEF＝∠CFE.
由折叠的性质，可得∠AFE＝∠CFE，AF＝CF，
AD′＝CD，∠D′＝∠D，D′E＝DE，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴AF＝AE，∴AF＝CF＝AE.
在△AD′E和△CDE中，∵
∴△AD′E≌△CDE（SAS），
∴AE＝CE，
∴AF＝CF＝CE＝AE，
∴四边形AFCE为菱形．
（2）a，b，c三者之间的数量关系式为a2＝b2＋c2.理由如下：
由
（1）知CE＝AE.
∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°.
∵AE＝a，ED＝b，DC＝c，∴CE＝AE＝a.
在Rt△DCE中，CE2＝DC2＋ED2，
∴a，b，c三者之间的数量关系为a2＝b2＋c2.
10．C 11.A
12．20cm [解析]由折叠可知E，G分别是AB，DC的中点，
∴DG＝BE.
∵∠DHG＝
∠DHF＝
∠BFH＝∠BFE，∠B＝∠D＝90°，
∴△DHG≌△BFE（AAS），
∴DH＝BF，
∴AD＝AH＋DH＝AH＋BF＝HF＝
＝20（cm）．
13．解：
（1）证明：
如图，由轴对称的性质得∠1＝∠2，ED＝EF，GD＝GF.
∵FG∥CD，
∴∠1＝∠3，则∠2＝∠3，
∴EF＝GF，
∴ED＝EF＝GD＝GF，
∴四边形DEFG为菱形．
（2）设DE＝x，由轴对称的性质得EF＝DE＝x，CE＝8－x.
在Rt△EFC中，FC2＋CE2＝EF2，
即42＋（8－x）2＝x2，
解得x＝5，∴CE＝8－x＝3，
∴
＝
.
14．解：
（1）证明：
在矩形ABCD中，AB∥DC.
∵E为AB的中点，∴AE＝BE.
由翻折可知：
EC⊥BP，EP＝BE＝AE，
∴∠EAP＝∠EPA，∠EPB＝∠EBP.
在△ABP中，∠EAP＋∠EPA＋∠EPB＋∠EBP＝180°，
∴∠EPA＋∠EPB＝∠APB＝90°，
∴EC∥AF，
∴四边形AECF为平行四边形．
（2）证明：
∵△AEP是等边三角形，
∴AP＝EP＝AE，∠PAB＝∠AEP＝∠EPA＝60°，
∴∠PEC＝∠BEC＝60°.
由折叠的性质可得∠EPC＝∠EBC＝90°.
由
（1）知∠APB＝90°，
∴∠APB＝∠EPC.
在△APB和△EPC中，∵
∴△APB≌△EPC（ASA）．
（3）∵AB＝6，BC＝4，E是边AB的中点，
∴AE＝BE＝
AB＝3.
在Rt△BEC中，EC＝
＝5.
∵四边形AECF为平行四边形，
∴AF＝EC＝5.
如图，设CE与BP交于点H.
∵BE·BC＝EC·BH，
∴BH＝
，
∴PH＝BH＝
，
∴BP＝
.
在△BPA中，AP＝
＝
，
∴PF＝
.
过点C作CG⊥AF交其延长线于点G，
∴CG＝PH＝
，
∴△CPF的面积S＝
PF·CG＝
×
×
＝
.
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