一次函数与三角形面积.docx

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一次函数与三角形面积

一次函数相关的面积问题

思路：

画出草图，把要求的图形构建出来，根据面积公式，把直线与坐标轴的交点计算出来，把坐标转化成线段，代入面积公式求解。

规则图形（公式法）不规则图形（切割法）不含参数问题含参数问题（用参数表示点坐标，转化

成线段）

注意：

坐标的正负、线段的非负性。

求面积时，尽量使底或高中的一者确定下来（通过对图像的观察，确定底和高），然后根据面积公式，建立

等式。

1、求直线y=-2x+4，y=2x-4及y轴围成的三角形的面积。

2、已知正比例函数y=2x与一次函数y=x+2相交于点P,则在x上是否存在一点A，使S

△P0A=4若存在，求出点有坐标；若不存在，请说明理由

3、如下图，一次函数的图像交正比例函数的图像于M点，交x轴于点N（-6,0），已知点M在第二象限，其横坐标为-4，若比N0M=1,5求正比例函数的解析式。

4、如图，直线h的解析表达式为y=-3x+3，且li与x轴交于点D，直线S经过点A,B，直线h，

（1）求点D的坐标；

（2）求直线12的解析表达式；

（3）求△ADC的面积；

（4）在直线12上存在异于点C的另一点P，使得

△ADP与厶ADC的面积相等，请直•接.写出点P的坐标.图11

1

5、如图，直线L的解析表达式为y=-—X+2，且与x轴、y轴交于点a、b，在y轴上有一

2

点C（0，4）,动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动。

（1）求A、B两点的坐标；

（2）ACOM勺面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；

（3）当何值时厶COIWAAOB并求出此时M点的坐标。

一次函数（动态问题）

举一反三：

如图（十二），直线l的解析式为y=-x+4,它与x轴、y轴分别相交于AB两点.平行于直

线I的直线m从原点O出发，沿x轴的正方形以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴、y轴分别相交

于M、N两点，设运动时间为t秒（0

（1）求AB两点的坐标；

（2）用含t的代数式表示△MON的面积S;

（3）以MN为对角线作矩形OMPN

，记△MPN和AOAB重合部分的面积为S,，

1

当2

2在直线m的运动过程中，当t为何

5

S2为AOAB面积的一?

16

【答案】解

（1）当x=0时，y=4；当y=0时，x=4.A（4,0，B0,4）；

（2）qmn〃ab,onoa1,

OMONt,S,-OM-ON-t2；

22

P的坐标为（t,t）,

（3）①当2t<4时，易知点P在厶OAB的外面，则点

F点的坐标满足

xt,yt

即F（t,4t），同理E（4t,t），则PF

4,

PEt（4-t）2t4,所以

综上得，当t7或t

3

1f厂CL

1

2

4）（2t

4）

32

8t8；

t2

PE-PF

t

-（2t

t2

2

2

2

2

2

②当0

t<2时，

S2

1

t

212，—t

51

44

5

解得t1

0,t2J52,两个都不合题意,

2

2

162

2

舍去；当

i2t<4

，时，

S2

?

t

2&8

5

解得

t33t4

7

2

2

3

S2

SAMPNSAPEF

SAOMNSAPEF

5

3时，S2OAB的面积的一•

6

模仿操练：

如图，直线yX4与两坐标轴分别相交于A.B点，点M是线段AB上任意一点（A.B两点除外），过M分别作MC丄OA于点C,MD丄OB于D.

（1）当点M在AB上运动时，你认为四边形OCMD的周长是否发生变化？

并说明理由；

（2）当点M运动到什么位置时，四边形OCMD的面积有最大值？

最大值是多少？

（3）当四边形OCMD为正方形时，将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动，设平移的距离为

a（0a4），正方形OCMD与△AOB重叠部分的面积为S.试求S与a的函数关系式并画出该函数的图象.

6、在ABC中，CRt,AC4cm,BC5cm,点D在BC上，且以CD=3cm,现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm/s的速度，沿AC向终点C移动；点Q以1.25cm/s的速度沿BC向终点C移动。

过点P作PE//BC交AD于点E,连结EQ。

设动点运动时间为x秒。

（1）用含x的代数式表示AE、DE的长度；

2

（2）当点Q在BD（不包括点B、D）上移动时，设EDQ的面积为y（cm），求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）

当x为何值时，EDQ为直角三角形。

7、如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（0,4「3），点B在x正半轴上，且ZABO30°•动点P在线

段AB上从点A向点B以每秒.3个单位的速度运动，设运动时间为t秒•在x轴上取两点M,N作等边

△PMN•

（1）求直线AB的解析式；

（2）求等边△PMN的边长（用t的代数式表示），并求出当等边△PMN的顶点M运动到与原点O重合时t的值；

（3）如果取OB的中点D，以OD为边在Rt△AOB内部作如图2所示的矩形ODCE，点C在线段AB上.设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S，请求出当0

&两块完全相同的直角三角板ABC和DEF如图1所示放置，点C、F重合，且BC、DF在一条直线上，其中AC=DF=4，BC=EF=3.固定RtAABC不动，让RtADEF沿CB向左平移，直到点F和点B重合为止•设FC=x,两个三角形重叠阴影部分的面积为y.

1

（1）如图2，求当x=时，y的值是多少？

2

（2）如图3，当点E移动到AB上时，求x、y的值；

（3）求y与x之间的函数关系式；

9、（重庆课改卷）如图1所示，一张三角形纸片ABC，/ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成AC1D1和BC2D2两个三角形（如图2所示）•将纸片AC1D1沿直线D2B（AB）方向平

移（点代Di,D2,B始终在同一直线上），当点Di于点B重合时，停止平移•在平移过程中，GDi与BC2

交于点E,ACi与C2D2、BC2分别交于点F、P.

（1）当ACiDi平移到如图3所示的位置时，猜想图中的DiE与D2F的数量关系，并证明你的猜想；

y与x的函数关系式，以及

（2）设平移距离D2Di为x,ACiDi与BC2D2重叠部分面积为y，请写出

自变量的取值范围;

三角形面积与函数解析式的几种题型

、利用面积求解析式

1、直线y2xb与坐标轴围成的三角形的面积是9,则b=（分类讨论）

C,把,

n）与x

2、已知直线y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线I经过原点，与线段AB交于点△AOB的面积分为2：

I两部分，求直线I名的解析式.

3、如图,已知直线PAyxn（n0）与x轴交于A,与y轴交于Q,另一条直线y2xm（m

轴交于B,与直线PA交于P

求：

（1）A,B,Q,P四点的坐标（用m或n表示）

5

（2）若AB=2，且S四边形PQOB=,求两个函数的解析式.

6

4、已知直线yx2与x轴、y轴分别交于A点和B点，另一条直线

ykxb（k0）经过点C（1,0），且把AOB分成两部分

（1）若AOB被分成的两部分面积相等，则k和b的值

（2）若AOB被分成的两部分面积比为1：

5,则k和b的值

3

5、已知一次函数y—x3的图象与y轴、x轴分别交于点A、B,直线ykxb经过OA上的三分之

2

一点D,且交x轴的负半轴于点C,如果SaobSDOC，求直线ykxb的解析式.

二、利用解析式求面积

1、直线ykxb过点A（-1,5）和点B（m,5）且平行于直线yx,O为坐标原点，求AOB的面

积•

2、如图，所示，一次函数y求：

（1）一次函数的解析式；

（2）AOC的面积

3、已知：

直线y2x4与直线yx3,它们的交点C的坐标是,设两直线与x轴分别交于A,B,

4、一次函数力&X4与正比例函数yk2X的图象都经过（2,-1）,则这两个函数的图象与x轴围成的

三角形面积是

5、已知，直线y=2x+3与直线y=-2x-1.

（1）求两直线交点C的坐标；

⑵求厶ABC的面积.

⑶在直线BC上能否找到点P,使得Smpc=6,若能，请求出点P的坐标，若不能请说明理由。

44444

6、如图，直线y=——x+4与y轴交于点A,与直线y=x+交于点B,且直线y=x+与x轴交于点

35555

。

，求厶ABC的面积。

i\

b

A

/

K

[b

O

\*

7、已知直线ykxb经过点A（0,6）,且平行于直线y2x.

（1）求该函数的解析式，并画出它的图象；

（2）如果这条直线经过点P（m,2）,求m的值；

（3）若0为坐标原点，求直线0P解析式；

（4）求直线ykxb和直线OP与坐标轴所围成的图形的面积。

三、关于面积的函数关系

1、已知点A（x,y）在第一象限内，且x+y=10，点B（4,0）,△OAB的面积为S.

（1）求S与x的函数关系式，直接写出x的取值范围，并画出函数的图像；

（2）^OAB的面积为6时，求A点的坐标；

2、如图，直线ykx6与x轴、y轴分别交于点E、F,点E的坐标为（-8,0）,点A的坐标为（-6,0）。

（1）求k的值；

（2）若点P（X，y）是第二象限内的直线上的一个动点，在点P的运动过程中，试写出厶OPA的面积S

与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

27

（3）探究：

当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为27，并说明理由。

8

4、如图⑴，在矩形ABCC中,AB=10cm,BC=8cm,点P从A出发，沿A

路线运动，到D停止；点Q从D出发，沿DTCtBtA路线运动，到A停止.若点P、点Q同时出发，点P的

速度为1cm/s,点Q的速度为2cm/s,as时点P、点Q同时改变速度，点P的速度变为bcm/s，点Q的速度变为dcm/s.图⑵是点P出发x秒后△APD的面积S1（cm2）与x（s）的函数关系图象；图⑶是点Q出发x秒后厶AQD勺面积S2（cm2）与x（s）的函数关系图象.

（1）参照图

（2）,求a、b及图⑵中c的值；

（2）求d的值;

（3）设点P离开点A的路程为y1（cm）,点Q到A还需走的路程为y2（cm）,请分别写出动点P、Q改变速度

后y1、y2与出发后的运动时间x（s）的函数关系式，并求出P、Q相遇时x的值；

（4）

当点Q出发s时，点P、点Q在运动路线上相距的路程为25cm.

&如图，直线丨1过A（0,2）,B（2,0）两点，直线l2:

ymxb过点（1,0）,且把AOB分成两部分，其中靠近原点的那部分是一个三角形，设此三角形的面积为S,求S关于m的函数解析式，及自变量m

的取值范围。

1

（2）在直线yx3求一点0,使厶OAQ是以OA为底的等腰三角形.

2

（3）若第

（2）问变为使厶OAQ是等腰三角形，这样的点有几个?

2、已知：

如下图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（5,3）、B（2,-2）、C（6,

-4）,求厶ABC的面积.