优秀的近世代数期末考试总复习.doc

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近世代数模拟试题一

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1、设A＝B＝R（实数集），如果A到B的映射：

x→x＋2，x∈R，则是从A到B的（）

A、满射而非单射 B、单射而非满射

C、一一映射 D、既非单射也非满射

2、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B中含有（）个元素。

A、2 B、5C、7 D、10

3、在群G中方程ax=b，ya=b，a,b∈G都有解，这个解是（）乘法来说

A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的（两方程解一样）

4、当G为有限群，子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（）

A、不相等B、0C、相等D、不一定相等。

5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（）

A、倍数B、次数C、约数D、指数

二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、设集合；，则有---------。

2、若有元素e∈R使每a∈A，都有ae=ea=a，则e称为环R的--------。

3、环的乘法一般不交换。

如果环R的乘法交换，则称R是一个------。

4、偶数环是---------的子环。

5、一个集合A的若干个--变换的乘法作成的群叫做A的一个--------。

6、每一个有限群都有与一个置换群--------。

7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是---，元a的逆元是-------。

8、设和是环的理想且，如果是的最大理想，那么---------。

9、一个除环的中心是一个-------。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

1、设置换和分别为：

，，判断和的奇偶性，并把和写成对换的乘积。

2、证明：

任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。

3、设集合，定义中运算“”为ab=（a+b）（modm）,则（，）是不是群，为什么？

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）

1、设是群。

证明：

如果对任意的，有，则是交换群。

2、假定R是一个有两个以上的元的环，F是一个包含R的域，那么F包含R的一个商域。

近世代数模拟试题二

一、单项选择题

二、1、设G有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（）是子群。

A、B、C、D、

2、下面的代数系统（G，*）中，（）不是群

A、G为整数集合，*为加法B、G为偶数集合，*为加法

C、G为有理数集合，*为加法D、G为有理数集合，*为乘法

3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？

（）

A、a*b=a-b　　B、a*b=max{a,b}C、a*b=a+2bD、a*b=|a-b|

4、设、、是三个置换，其中=（12）（23）（13），=（24）（14），=（1324），则=（）

A、B、C、D、

5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（）。

A、不可能是群　　B、不一定是群　

C、一定是群　D、是交换群

二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、凯莱定理说：

任一个子群都同一个----------同构。

2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。

3、已知群中的元素的阶等于50，则的阶等于------。

4、a的阶若是一个有限整数n，那么G与-------同构。

5、A={1.2.3}B={2.5.6}那么A∩B=-----。

6、若映射既是单射又是满射，则称为-----------------。

7、叫做域的一个代数元，如果存在的-----使得。

8、是代数系统的元素，对任何均成立，则称为---------。

9、有限群的另一定义：

一个有乘法的有限非空集合作成一个群，如果满足对于乘法封闭；结合律成立、---------。

10、一个环R对于加法来作成一个循环群，则P是----------。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

1、设集合A={1,2,3}G是A上的置换群，H是G的子群，H={I,（12）}，写出H的所有陪集。

2、设E是所有偶数做成的集合，“”是数的乘法，则“”是E中的运算，（E，）是一个代数系统，问（E，）是不是群，为什么？

3、a=493,b=391,求（a,b）,[a,b]和p,q。

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）

1、若是群，则对于任意的a、b∈G，必有惟一的x∈G使得a*x＝b。

2、设m是一个正整数，利用m定义整数集Z上的二元关系：

a〜b当且仅当m︱a–b。

近世代数模拟试题三

一、单项选择题

1、6阶有限群的任何子群一定不是（）。

A、2阶　　B、3阶C、4阶　D、6阶

2、设G是群，G有（）个元素，则不能肯定G是交换群。

A、4个B、5个C、6个D、7个

3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（）。

A、偶数　B、奇数C、4的倍数D、2的正整数次幂

4、下列哪个偏序集构成有界格（）

A、（N,）　B、（Z,）

C、（{2,3,4,6,12},|（整除关系））　D、（P（A）,）

5、设S3＝{

（1），（12），（13），（23），（123），（132）}，那么，在S3中可以与（123）交换的所有元素有（）

A、

（1），（123），（132）B、12），（13），（23）

C、

（1），（123）D、S3中的所有元素

二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的。

2、如果是与间的一一映射，是的一个元，则----------。

3、区间[1，2]上的运算的单位元是-------。

4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————。

5、环Z8的零因子有-----------------------。

6、一个子群H的右、左陪集的个数----------。

7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的---------。

8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的-----------。

9、设群中元素的阶为，如果，那么与存在整除关系为--------。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？

2、S1，S2是A的子环，则S1∩S2也是子环。

S1+S2也是子环吗？

3、设有置换，。

1．求和；

2．确定置换和的奇偶性。

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）

1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。

2、M为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e。

近世代数模拟试题四

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B中含有（）个元素。

A.2 B.5

C.7 D.10

2.设A＝B＝R（实数集），如果A到B的映射

：

x→x＋2，x∈R，

则是从A到B的（）

A.满射而非单射 B.单射而非满射

C.一一映射 D.既非单射也非满射

3.设S3＝{

（1），（12），（13），（23），（123），（132）}，那么，在S3中可以与（123）交换的所有元素有（）

A.

（1），（123），（132） B.（12），（13），（23）

C.

（1），（123） D.S3中的所有元素

4.设Z15是以15为模的剩余类加群，那么，Z15的子群共有（）个。

A.2 B.4

C.6 D.8

5.下列集合关于所给的运算不作成环的是（）

A.整系数多项式全体Z［x］关于多项式的加法与乘法

B.有理数域Q上的n级矩阵全体Mn（Q）关于矩阵的加法与乘法

C.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“”：

m，n∈Z，mn＝0

D.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“”：

m，n∈Z，mn＝1

二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）

请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

6.设“～”是集合A的一个关系，如果“～”满足___________，则称“～”是A的一个等价关系。

7.设（G，·）是一个群，那么，对于a，b∈G，则ab∈G也是G中的可逆元，而且（ab）－1＝

___________。

8.设σ＝（23）（35），τ＝（1243）（235）∈S5，那么στ＝___________（表示成若干个没有公共数字的循环置换之积）。

9.如果G是一个含有15个元素的群，那么，根据Lagrange定理知，对于a∈G，则元素a的阶只可能是___________。

10.在3次对称群S3中，设H＝{

（1），（123），（132）}是S3的一个不变子群，则商群G/H中的元素（12）H＝___________。

11.设Z6＝{［0］，［1］，［2］，［3］，［4］，［5］}是以6为模的剩余类环，则Z6中的所有零因子是___________。

12.设R是一个无零因子的环，其特征n是一个有限数，那么，n是___________。

13.设Z［x］是整系数多项式环，（x）是由多项式x生成的主理想，则（x）＝_____________

___________。

14.设高斯整数环Z［i］＝{a＋bi|a，b∈Z}，其中i2＝－1，则Z［i］中的所有单位是___________

___________。

15.有理数域Q上的代数元+在Q上的极小多项式是___________。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

16.设Z为整数加群，Zm为以m为模的剩余类加群，是Z到Zm的一个映射，其中

：

k→［k］，k∈Z，

验证：

是Z到Zm的一个同态满射，并求的同态核Ker。

17.求以6为模的剩余类环Z6＝{［0］，［1］，［2］，［3］，［4］，［5］}的所有子环，并说明这些子环都是Z6的理想。

18.试说明唯一分解环、主理想环、欧氏环三者之间的关系，并举例说明唯一分解环未必是主理想环。

四、证明题（本大题共3小题，第19、20小题各10分，第21小题5分，共25分）

19.设G＝{a，b，c}，G的代数运算“”

由右边的运算表给出，证明：

（G，）作成一个群。

a

b

c

a

a

b

c

b

b

c

a

c

c

a

b

20.设

已知R关于矩阵的加法和乘法作