苏科版数学八年级上册期末满分突破专练平行线性质的计算题四 1.docx
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苏科版数学八年级上册期末满分突破专练平行线性质的计算题四1
苏科版数学八年级上册期末满分突破专练:
平行线性质的计算题(四)
1.综合探究:
已知,AB∥CD,点M、N分别是AB、CD上两点,点G在AB、CD之间,连接MG、NG.
(1)如图1,若GM⊥GN,求∠AMG+∠CNG的度数;
(2)如图2,若点P是CD下方一点,MG平分∠BMP,ND平分∠GNP,已知∠BMG=40°,求∠MGN+∠MPN的度数.
2.如图,已知AB∥CD,直线EF与AB、CD分别交于点EF,点P是射线EB上一点(与点E不重合).FM、FN分别平分∠PFE和∠PFD,FM、FN交直线AB于点M、N,过点N作NH⊥FM于点H.
(1)若∠BEF=64°,求∠FNH的度数;
(2)猜想∠BEF和∠FNH之间有怎样的数量关系,并加以证明.
3.已知直线AB∥CD,直线EF分别交AB、CD于点A、C,CM是∠ACD的平分线,CM交AB于点H,过点A作AG⊥AC交CM于点G.
(1)如图1,点G在CH的延长线上时,若∠GAB=36°,求∠MCD的度数;
(2)如图2,点G在CH上时,试说明2∠MCD+∠GAB=90°.
4.如图,点C,B分别在直线MN,PQ上,点A在直线MN,PQ之间,MN∥PQ.
(1)如图1,求证:
∠A=∠MCA+∠PBA;
(2)如图2,过点C作CD∥AB,点E在PQ上,∠ECM=∠ACD,求证:
∠A=∠ECN;
(3)在
(2)的条件下,如图3,过点B作PQ的垂线交CE于点F,∠ABF的平分线交AC于点G,若∠DCE=∠ACE,∠CFB=
∠CGB,求∠A的度数.
5.如图,已知:
AB∥CD,E为平面内一动点,连接AE、CE.
(1)如图1,若∠A=120°,∠C=150°,则∠E= °;
(2)如图2,∠EAB的角平分线与∠ECD的角平分线相交于点F.求证:
∠AEC+2∠AFC=360°;
(3)如图3,在
(2)的条件下,作AH∥CE,连接AC,AC恰好平分∠EAH,过点E作PQ⊥DC,交DC延长线于点Q,交HA延长线于点P,若∠APQ:
∠ECF=5:
7,求∠CAG的度数.
6.问题:
已知线段AB∥CD,在AB、CD间取一点P(点P不在直线AC上),连接PA、PC,试探索∠APC与∠A、∠C之间的关系.
(1)端点A、C同向:
如图1,点P在直线AC右侧时,∠APC﹣(∠A+∠C)= 度;
如图2,点P在直线AC左侧时,∠APC+(∠A+∠C)= 度.
(2)端点A、C反向:
如图3,点P在直线AC右侧时,∠APC+(∠A﹣∠C)= 度
如图4,点P在直线AC左侧时,∠APC与(∠A﹣∠C)有怎样的等量关系?
写出结论并说明理由.
7.[问题解决]如图1,AB∥CD,点E、F分别是AB、CD上的点,连接OE、OF,探求∠1、∠2、∠3之间的关系,并说明理由.
[拓展延伸]如图2,上述结论还成立吗?
如果成立,请证明;如果不成立,请写出它们的关系.
[拓展应用]如图3,已知AB∥CD,∠AE1E2的角平分线与∠CEnEn﹣1的角平分线交于点O.
若∠E1OEn=m°直接写出∠2+∠3+∠4+…+∠(n﹣2)+∠(n﹣1)的度数.(用含m、n的代数式表示)
8.已知∠AOB与∠EDC两个角,∠EDC保持不动,且∠EDC的一边CD∥AO,另一边DE与直线OB相交于点F.若∠AOB=40°,∠EDC=55°,完成下列各题:
(1)如图1,当点E,O,D在同一条直线上,即点O与点F重合时,∠BOE= .
(2)当点E,O,D不在同一条直线上时,根据图2、图3分别求出∠BFE的大小.
9.
(1)①如图1,已知AB∥CD,∠ABC=58°,根据 可得∠BCE= °;
②如图2,在①的条件下,如果CM平分∠BCD,则∠DCM= °;
③如图3,在①、②的条件下,如果CN⊥CM,则∠BCN= °.
(2)尝试解决下面问题:
已知如图4,AB∥CD,∠B=42°,CN是∠BCE的平分线,CN⊥CM,求∠BCM的度数.
10.已知直线AB∥CD,M是直线AB上一点,N是直线CD上一点,点P在AB,CD之间.
(1)如图1,求证:
∠BMP+∠DNP=∠MPN;
(2)如图2,NQ⊥CD,MQ⊥MP,若∠PND=30°,∠MPN=100°,直接写出∠MQN的度数.
参考答案
1.解:
(1)如图1,过点G作GH∥AB,
∵AB∥CD,
∴GH∥AB∥CD,
∴∠AMG=∠HGM,∠CNG=∠HGN,
∵GM⊥GN,
∴∠MGN=∠MGH+∠HGN=∠AMG+∠CNG=90°;
答:
∠AMG+∠CNG的度数为90°;
(2)如图2,过过点G作GK∥AB,过点P作PQ∥AB,设∠GND=α,
∵GK∥AB,AB∥CD,
∴GK∥CD,
∴∠KGN=∠GND=α,
∵GK∥AB,∠BMG=40°,
∴∠MGK=∠BMG=40°,
∵MG平分∠BMP,
∴∠GMP=∠BMG=40°,
∴∠BMP=80°,
∵ND平分∠GNP,
∴∠DNP=∠GND=α,
∵AB∥CD,
∴PQ∥CD,
∴∠QPN=∠DNP=α,
∴∠MGN=40°+α,∠MPN=80°﹣α,
∴∠MGN+∠MPN=40°+α+80°﹣α=120°.
2.解:
(1)∵AB∥CD,
∴∠BEF+∠EFD=180°,
∵∠BEF=64°,
∴∠EFD=180°﹣64°=116°,
∵FM、FN分别平分∠PFE和∠PFD,
∴∠MFP=
EFP,∠NFP=
,
∴∠MFN=
(∠EFP+∠PFD)=
EFD=
=58°,
∵NH⊥FM,
∴∠NHF=90°,
∴∠FNH=180°﹣∠NHF﹣∠HFN=180°﹣90°﹣58°=32°;
(2)∠BEF=2∠FNH,
证明:
设∠BEF=x°,
∵AB∥CD,
∴∠BEF+∠EFD=180°,
∵∠BEF=x°,
∴∠EFD=180°﹣x°,
∵FM、FN分别平分∠PFE和∠PFD,
∴∠MFP=
EFP,∠NFP=
,
∴∠MFN=
(∠EFP+∠PFD)=
EFD=
(180°﹣x°)=90°﹣
x°,
∵NH⊥FM,
∴∠NHF=90°,
∴∠FNH=180°﹣∠NHF﹣∠HFN=180°﹣90°﹣(90
x°)=
x°,
即∠BEF=2∠FNH.
3.解:
(1)∵AG⊥AC,∠GAB=36°,
∴∠CAH=90°﹣36°=54°,
∵AB∥CD,
∴∠ACD+∠CAH=180°,
∴∠ACD=126°,
∵CM是∠ACD的平分线,
∴∠ACH=∠DCM=63°.
(2)∵∠ACH=∠DCM,
∴∠ACD=2∠MCD,
由
(1)得ACD+∠CAH=180°,
∵AG⊥AC,
∴∠CAG=90°,
∴2∠MCD+90°+∠GAB=180°,
∴2∠MCD+∠GAB=90°.
4.解:
(1)证明:
过点A作AD∥MN
∵MN∥PQ,AD∥MN
∴AD∥MN∥PQ
∴∠MCA=∠DAC,∠PBA=∠DAB
∴∠CAB=∠DAC+∠DAB=∠MCA+∠PBA
即:
∠A=∠MCA+∠PBA;
(2)∵CD∥AB
∴∠A+∠ACD=180°
∵∠ECM+∠ECN=180°
又∠ECM=∠ACD
∴∠A=∠ECN;
(3)如图,延长CA交PQ于点H
∵∠ECM=∠ACD,∠DCE=∠ACE
∴∠MCA=∠ACE=∠ECD,
∵MN∥PQ
∴∠MCA=∠AHB
∵∠CAB=180°﹣∠BAH=∠AHB+∠PBA,且由
(2)知∠CAB=∠ECN
∴∠ABP=∠NCD
设∠MCA=∠ACE=∠ECD=x
由
(1)可知∠CFB=∠FCN+∠
FBQ
∴∠CFB=270﹣2x
由
(1)可知∠CGB=∠MCG+∠GBP
∴
∴
解得:
x=54°
∴∠AHB=54°
∴∠ABP=∠NCD=180°﹣54°×3=18°
∴∠CAB=54°+18°=72°.
5.解:
(1)如图1,过点E作EH∥AB,
∵AB∥CD,
∴AB∥CD∥EH,
∴∠A+∠AEH=180°,∠DCE+∠CEH=180°,
∴∠AEC=360°﹣∠A﹣∠DCE=90°,
故答案为:
90;
(2)过点E作MN∥AB,过点F作PQ∥AB,
∵MN∥AB,PQ∥AB,CD∥AB,
∴AB∥MN∥PQ∥CD,
∵AB∥PQ,
∴∠AFP=∠BAF,
又∵AF平分∠BAE,
∴∠BAE=2∠BAF=2∠AFP,
同理,∠ECD=2∠CFP,
∵AB∥MN,
∴∠AEM=∠BAE=2∠AFP,
同理,∠CEM=2∠CFP,
∴∠AEC+2∠AFC=∠AEM+∠CEM+∠AEC=360°;
(3)过P作MN∥AB,
∵∠APQ:
∠ECF=5:
7,
∴可设∠APQ的度数为5m,则∠ECF度数为7m,
∴∠AHD度数=90+5m,
∵CF平分∠ECD,
∴∠ECD度数为14m,
∵CE∥AH,
∴∠ECH=∠AHD,
即14m=90+5m,
解得:
m=10,
∴∠BAH=40°,
设∠CAG=α,∠GAH=β,
∵AC平分∠EAH,
∴∠EAC=∠CAH=α+β,
∴∠EAF=2α+β,
∵AF平分∠EAB,
∴∠BAF=∠EAF=2α+β,
∴∠BAH=2α=2∠CAF=40°,
∴∠CAG=
∠BAH=20°.
6.解:
(1)如图1,过点P作PE∥AB,
∴∠A=∠APE,
∵AB∥CD,
∴EP∥CD,
∴∠C=∠CPE,
∵∠APC=∠APE+∠CPE,
∴∠APC=∠A+∠C,
∴∠APC﹣(∠A+∠C)=0°;
如图2,过点P作PF∥AB,
∴∠A+∠APF=180°,
∵AB∥CD,
∴FP∥CD,
∴∠C+∠CPF=180°,
∴∠A+∠APF+∠C+∠CPF=360°,
∵∠APC=∠APF+∠CPF,
∴∠APC+∠A+∠C=360°,
即∠APC+(∠A+∠C)=360°,
故答案为:
0,360;
(2)∠APC﹣(∠A﹣∠C)=180°,
如图3,过点P作PG∥AB,
∴∠A+∠APG=180°,
∵AB∥CD,
∴GP∥CD,
∴∠C=∠CPG,
∵∠APG=∠APC﹣∠CPG,
∴∠APC﹣∠C+∠A=180°,
即∠APC+(∠A﹣∠C)=180°,
如图4,∠APC﹣(∠A﹣∠C)=180°,理由如下:
过点P作PH∥AB,
∴∠A=∠APH,
∵AB∥CD,
∴HP∥CD,
∴∠C+∠CPH=180°,
∵∠CPH=∠APC﹣∠APH,
∴∠APC﹣∠A+∠C=180°,
即∠APC﹣(∠A﹣∠C)=180°.
故答案为:
180;
7.解:
[问题解决]∠1+∠2+∠3=360°.理由如下:
过点O作OH∥AB,如图1,
∴∠1+∠EOH=180°,
∵AB∥CD,
∴OH∥CD,
∴∠2+∠FOH=180°,
∴∠1+∠EOH+2+∠FOH=360°,
即∠1+∠2+∠3=360°;
[拓展延伸]∠1=∠2+∠3.理由如下:
过点O作OH∥AB,如图2,
∴∠1=∠EOH,
∵AB∥CD,
∴OH∥CD,
∴∠2=∠FOH,
又∵∠EOH=∠3+∠FOH,
∴∠1=∠2+∠3;
[拓展应用]过E2点作E2H2∥AB,过E3作E3H3∥AB,…,过点En﹣2作En﹣2Hn﹣2∥AB,过点En﹣1作En﹣1Hn﹣1∥AB,如图3,
∴∠AE1E2+∠E1E2H2=∠H2E2E3+∠H3E3E2=…=∠Hn﹣2En﹣2+∠Hn﹣1En﹣1En﹣2=∠Hn﹣1En﹣1En+∠En﹣1EnC=180°,
∴∠AE1E2+∠2+∠3+∠4+…+∠(n﹣2)+∠(n﹣1)+∠CEnEn﹣1=(n﹣1)•180°,
∵∠AE1E2的角平分线与∠CEnEn﹣1的角平分线交于点O,∠E1OEn=m°,
∴∠AE1E2+∠CEnEn﹣1=2(∠AE1O+∠CEnEn﹣1),
过点O作OH∥AB,
∴∠AE1O=∠E1OH,
∵AB∥CD,
∴OH∥CD,
∴∠CEnO=∠En﹣1OH,
∴∠AE1O+∠CEnO=∠E1OEn=m°,
∴∠AE1E2+∠CEnEn﹣1=2m°,
∴∠2+∠3+∠4+…+∠(n﹣2)+∠(n﹣1)═(n﹣1)•180°﹣2m°.
8.解:
(1)∵CD∥AO,
∴∠D=∠AOE=55°,
∵∠AOB=40°,
∴∠BOE=15°,
故答案为:
15°;
(2)①如图2,当点E,O,D不在同一条直线上时,过点F作GF∥AO.
∵CD∥AO,
∴GF∥CD.
∴∠GFE=∠EDC=55°,∠GFB=∠AOB=40°.
∴∠BFE=∠GFE﹣∠GFB=55°﹣40°=15°;
②如图3,过点F作GF∥AO.
∵CD∥AO,
∴GF∥CD.
∴∠GFE=∠EDC=55°,∠GFB=∠AOB=40°.
∴∠BFE=∠GFE+∠GFB=55°+40°=95°.
9.解:
(1)①已知AB∥CD,∠ABC=58°,根据两直线平行,同旁内角互补;可得∠BCE=122°;
故答案为:
两直线平行,同旁内角互补;122;
②∵AB∥CD,∠ABC=58°,
∴∠BCD=58°,
∵CM平分∠BCD,
∴∠BCM=∠DCM=
∠BCD=29°;
故答案为:
29;
③∵CN⊥CM,
∴∠NCM=90°,
∵∠DCM=29°,
∴∠BCN=61°;
故答案为:
61.
(2)∵AB∥CD,
∴∠B+∠BCE=180°,
∵∠B=42°,
∴∠BCE=180°﹣∠B=180°﹣42°=138°.
又∵CN是∠BCE的平分线,
∴∠BCN=138°÷2=69°.
∵CN⊥CM,
∴∠BCM=90°﹣∠BCN=90°﹣69°=21°.
10.
(1)证明:
过P作PG∥AB,
∵AB∥CD,
∴AB∥CD∥PG,
∴∠BMP=∠MPG,∠GPN=∠PND,
∴∠BMP+∠PND=∠MPG+∠GPN,
∴∠MPN=∠BMP+∠PND;
(2)解:
∵NQ⊥CD,MQ⊥MP,
∴∠QMP=∠QND=90°,
∵∠PND=30°,
∴∠QNP=90°﹣30°=60°,
∵∠MPN=100°,
∴∠MQN=360°﹣100°﹣60°﹣90°=110°.