考研数二真题及解析.docx
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考研数二真题及解析
2000年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上)
(1)
limarctanx
x
.
x0ln(1
2x3)
(2)
设函数y
y(x)由方程2xy
xy所确定,则dyx0
.
(3)
dx
.
2(x
7)
x
2
1
(4)
曲线y
(2x
1)ex的斜渐近线方程为
.
1
0
0
0
(5)
设A
2
3
0
0
,E为4
阶单位矩阵,且B
(EA)1(EA)则
0
4
5
0
0
0
6
7
(EB)1
.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分,在每小题给出的四个选项中,只有一项
符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1)
设函数f(x)
x
在(
)内连续,且
lim
f(x)
0,则常数a,b满足()
bx
x
ae
(A)a
0,b
0.
(B)a
0,b
0.
(C)a
0,b
0.
(D)a
0,b
0.
(2)
设函数f(x)
满足关系式f
(x)
[f(x)]2
x,且f(0)
0,则()
(A)f(0)是f(x)的极大值.
(B)f(0)是f(x)的极小值.
(C)点(0,f(0))是曲线y
f(x)的拐点.
(D)
f(0)不是f(x)的极值,点(0,f(0))也不是曲线y
f(x)的拐点.
(3)设f(x),g(x)是大于零的可导函数,且f
'(x)g(x)f(x)g'(x)0,则当a
xb时,
有(
)
(A)
f(x)g(b)
f(b)g(x)
(B)
f(x)g(a)
f(a)g(x)
(C)
f(x)g(x)
f(b)g(b)
(D)
f(x)g(x)
f(a)g(a)
sin6x
xf(x)
6
f(x)
(4)
若lim
x
3
0,则lim
x
2
为
(
)
x0
x
0
(A)0.
(B)6.
(C)36.
(D).
(5)
具有特解
y1
ex,y2
2xex,y3
3ex的3阶常系数齐次线性微分方程是
()
(A)y
y
yy
0.
(B)y
y
y
y0.
(C)y6y
11y
6y
0.
(D)y
2y
y
2y
0.
三、(本题满分
5分)
ln(1
x)
,计算
f(x)dx.
设f(lnx)
x
四、(本题满分
5分)
设xoy平面上有正方形
D
(x,y)0
x
1,0
y
1及直线l:
x
y
t(t
0).若
S(t)表示正方形D位于直线l左下方部分的面积,试求
x
0).
S(t)dt,(x
0
五、(本题满分
5分)
求函数f
(x)
x2ln(1
x)在x
0
处的n阶导数fn(0)(n
3).
六、(本题满分
6分)
设函数S(x)
x
|cost|dt,
0
(1)当n为正整数,且n
x
(n
1)
时,证明
2n
S(x)
2(n
1);
(2)求lim
S(x).
x
x
七、(本题满分
7分)
某湖泊的水量为V,每年排入湖泊内含污染物
A的污水量为V,流入湖泊内不含
A的
6
水量为V,流出湖泊的水量为
V,已知1999年底湖中A的含量为5m0,超过国家规定指
6
3
m0
标.为了治理污染,从2000
年初起,限定排入湖泊中含
A污水的浓度不超过
.问至多需要
V
经过多少年,湖泊中污染物
A的含量降至m0以内(注:
设湖水中
A的浓度是均匀的)
八、(本题满分
6分)
设函数f(x)在0,
上连续,且
f(x)dx
0,
f(x)cosxdx
0,试证明:
在(0,)
0
0
内至少存在两个不同的点
1,
2,使f(
1)
f(
2)
0.
九、(本题满分
7分)
已知f(x)是周期为5的连续函数,它在x0的某个邻域内满足关系式
f(1sinx)3f(1sinx)8x(x)
其中(x)是当x0时比x高阶的无穷小,且f(x)在x1处可导,求曲线yf(x)在点
(6,f(6))处的切线方程.
十、(本题满分8分)
设曲线yax2(a0,x0)与y1x2交于点A,过坐标原点O和点A的直线与曲
线yax2围成一平面图形.问a为何值时,该图形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积最大?
最大体积是多少?
十一、(本题满分8分)
函数f(x)在[0,
)上可导,f(0)
1且满足等式
f(x)f(x)
1
x
0,
f(t)dt
x10
(1)求导数f
(x);
(2)证明:
当
x0
时,成立不等式ex
f(x)
1成立
十二、(本题满分
6分)
1
1
0
1
设
2
0,A
T,B
T
.其中
T是
的转置,
1
2
8
0
求解方程2B2A2x
A4x
B4x
十三、(本题满7分)
0
a
b
已知向量组1
1
2
2,3
1与向量组1
1
1
0
具有相同的秩,且
3可由
1,
2,
3线性表出,求a,b的值.
139
2,20,36
317
2000年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
一、填空题
(1)【答案】16
ln12x32x3
limarctanx
x洛lim1
1
1
x2
【详解】limarctanxx
x2
lim
1
x0ln12x3
x0
2x3
x0
6x2
x06x21x2
6
(2)设函数yy(x)由方程2xy
x
y所确定,则dyx0
.
【答案】(ln2
1)dx
【详解】
方法1:
对方程
2xy
xy两边求微分,有
2xyln2
(xdy
ydx)
dx
dy.
由所给方程知,当
x
0时y
1.将x0
,y1代入上式,有ln2dxdxdy.
所以,dy
x0
(ln2
1)dx.
方法2:
两边对x求导数,视y为该方程确定的函数,有
2xyln2
(xy
y)1
y.
当x0时y
1,以此代入,得
y
ln2
1,所以dyx0
(ln21)dx.
(3)【答案】
3
【详解】由于被积函数在
x
2处没有定义,则该积分为广义积分
.对于广义积分,可以先按
照不定积分计算,再对其求极限即可.
作积分变量替换,令
x
2
t,x
2
t2dx
2tdt,
dx
0(t2
2t
dt
21arctant
2
2
.
2(x7)x2
9)t
3
30
3
3
(4)【答案】y2x1
【公式】y
kx
b为y
f(x)的斜渐近线的计算公式:
klim
y,b
lim[f(x)kx]
x
x
x
x
x
x
x
1
【详解】k
lim
y
lim(2
1)ex
2,
x
x
x
x
1
令1
lim(2eu
2eu)
blim(y
2x)
lim[(2x1)ex
2x]
u
x
x
x
u0
u
lim(2(eu
1)
eu)
eu
1
u
lim(2u
eu)
2
1
1
u
0
u
u
0
u
所以,x
方向有斜渐近线
y
2x
1
.当x
时,类似地有斜渐近线y2x1.
1
总之,曲线y
(2x
1)ex的斜渐近线方程为
y
2x1.
1
0
0
0
1
2
0
0
(5)【答案】
2
3
0
0
0
0
3
4
【详解】先求出(E
B)1
然后带入数值,由于
B
(E
A)1(E
A),所以
(E
B)1
E(E
A)1(E
A)
-1
(E
A)1(E
A)
(E
A)1(E
A)
-1
2(E
A)1
-1
1(E
A)
2
2
0
0
0
1
0
0
0
1
2
4
0
0
1
2
0
0
2
0
4
6
0
0
2
3
0
0
0
6
8
0
0
3
4
二、选择题
(1)【答案】D
【详解】排除法:
如果a
0,则在(,
)内f(x)
的分母a
ebx必有零点
x0,从而
f(x)在x
x0处
不连续,与题设不符.不选(A),若b0
,则无论a
0还是a
0均有lim
f(x)
与题
x
设limf(x)
0矛盾,不选
(B)和(C)故选
(D).
x
.
(2)【答案】C
【定理应用】判断极值的第二充分条件:
设函数
f(x)在x0出具有二阶导数且
f(x0)0,
f(x0)0,那么:
(1)
当f(x0)
0时,函数
f(x)在x0处取得极大值;
(2)当f
(x0)
0时,函数
f(x)在x0处取得极小值;
f(x)[f
(x)]2
x中x
0,得f
(0)
0
2
【详解】令等式
f(0)0,无法利用判断极
值的第二充分条件,故无法判断是否为极值或拐点.
再求导数(因为下式右边存在,所以左边也存在
):
f(x)(x
2
f(x))12f(x)f(x)
以x0代入,有f
(0)1,所以
f
(0)
lim
f(x)
f(0)
lim
f(x)
1.
x0
x
0
x0
x
从而知,存在
x
0去心邻域,在此去心邻域内,
f
(x)与x同号,于是推知在此去心
邻域内当x
0时曲线y
f(x)是凸的,在此去心临域内
x
0时曲线y
f(x)是凹的,
点(0,f(0))
是曲线y
f(x)的拐点,选(C).
(3)【答案】A
【分析】由选项答案可知需要利用单调性证明,关键在于寻找待证的函数.题设中已知
f'(x)g(x)f(x)g'(x)0,
想到设函数为相除的形式
f(x)
.
g(x)
【详解】
f(x)
f'(x)g(x)
f(x)g'(x)
设F(x)
,则F(x)
2
0,
g(x)
g
(x)
则F(x)在ax
b时单调递减,所以对
ax
b,F(a)F(x)
F(b),即
f(a)
f(x)
f(b)
g(a)
g(x)
g(b)
得f(x)g(b)
f(b)g(x),axb,(A)为正确选项.
(4)【答案】(C)
【分析】本题有多种解法:
(1)将含有f(x)的要求极限的表达式凑成已知极限的表达式,或
反之;
(2)利用极限与无穷小的关系,从已知极限中解出f(x)代入要求极限式中;(3)将具体
函数用佩亚诺余项泰勒公式展开化简原极限.
【详解】
方法1:
凑成已知极限
6f(x)6xxf(x)6xsin6xsin6xxf(x)
x2x3x3
1
2
而
lim
6x
sin6x
洛
lim
6
6cos6x
lim
6(1
cos6x)
2
2(6x)
36
x
3
3x
2
3x
2
lim
x
2
x0
x0
x0
x
0
(由于1
cosx
1
x2
1
cos(6x)
1
(6x)2
)
6
f(x)
6x
sin6x
sin6x
2
xf(x)
2
所以
lim
36
0
36
x
2
lim
x
3
lim
x
3
x0
x
0
x
0
方法2:
由极限与无穷小关系,由已知极限式解出
sin6x
xf(x)
a,lima
0
3
x
x
0
从而
sin6x
xf(x)
ax3
f(x)
ax3
sin6x
x
6
f(x)
6
ax3
sin6x
3
6x
sin6x