《概率论与数理统计》期末考试试题及解答.doc
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一、填空题（每小题3分，共15分）
1．设事件仅发生一个的概率为0.3，且，则至少有一个不发生的概率为__________.
答案：
0.3
解：
即
所以
.
2．设随机变量服从泊松分布，且，则______.
答案：
解答：
由知
即解得，故
3．设随机变量在区间上服从均匀分布，则随机变量在区间内的概率密度为_________.
答案：
解答：
设的分布函数为的分布函数为，密度为则
因为，所以，即
故
另解在上函数严格单调，反函数为
所以
4．设随机变量相互独立，且均服从参数为的指数分布，，则_________，=_________.
答案：
，
解答：
，故
.
5．设总体的概率密度为
.
是来自的样本，则未知参数的极大似然估计量为_________.
答案：
解答：
似然函数为
解似然方程得的极大似然估计为
.
二、单项选择题（每小题3分，共15分）
1．设为三个事件，且相互独立，则以下结论中不正确的是
（A）若，则与也独立.
（B）若，则与也独立.
（C）若，则与也独立.
（D）若，则与也独立.（）
答案：
（D）.
解答：
因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A），（B），（C）都是正确的，只能选（D）.
S
A
B
C
事实上由图可见A与C不独立.
2．设随机变量的分布函数为，则的值为
（A）.（B）.
（C）.（D）.（）
答案：
（A）
解答：
所以
应选（A）.
3．设随机变量和不相关，则下列结论中正确的是
（A）与独立.（B）.
（C）.（D）.（）
答案：
（B）
解答：
由不相关的等价条件知，
应选（B）.
4．设离散型随机变量和的联合概率分布为
若独立，则的值为
（A）.（A）.
（C）（D）.（）
答案：
（A）
解答：
若独立则有
Y
X
，
故应选（A）.
5．设总体的数学期望为为来自的样本，则下列结论中
正确的是
（A）是的无偏估计量.（B）是的极大似然估计量.
（C）是的相合（一致）估计量.（D）不是的估计量.（）
答案：
（A）
解答：
，所以是的无偏估计，应选（A）.
三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，
求
（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；
（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.
解：
设‘任取一产品，经检验认为是合格品’
‘任取一产品确是合格品’
则
（1）
（2）.
四、（12分）
从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5.设为途中遇到红灯的次数，
求的分布列、分布函数、数学期望和方差.
解：
的概率分布为
即
的分布函数为
.
五、（10分）设二维随机变量在区域上服从均匀分布.求
（1）关于的边缘概率密度；
（2）的分布函数与概率密度.
1
D
0
1
z
x
y
x+y=1
x+y=z
D1
解：
（1）的概率密度为
（2）利用公式
其中
当或时
x
z
z=x
时
故的概率密度为
的分布函数为
或利用分布函数法
六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标和纵坐标相互独立，且均服从分布.求
（1）命中环形区域的概率；
（2）命中点到目标中心距离的数学期望.
x
y
0
1
2
解：
（1）
；
（2）
.
七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：
cm），今抽取容量为16的样本，测得样本均值，样本方差.
（1）求的置信度为0.95的置信区间；
（2）检验假设（显著性水平为0.05）.
（附注）
解：
（1）的置信度为下的置信区间为
所以的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132）
（2）的拒绝域为.
，
因为，所以接受.
《概率论与数理统计》期末考试试题（A）
专业、班级：
姓名：
学号：
一、单项选择题（每题3分共18分）
1．D2．A3．B4．A5．A6．B
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
十一
十二
总成绩
得分
一、单项选择题（每题3分共18分）
（1）
（2）设随机变量X其概率分布为X-1012
P0.20.30.10.4
则（）。
（A）0.6（B）1（C）0（D）
（3）
设事件与同时发生必导致事件发生，则下列结论正确的是（）
（A）（B）
（C）（D）
（4）
（5）设为正态总体的一个简单随机样本，其中
未知，则（）是一个统计量。
（A）（B）
（C）（D）
（6）设样本来自总体未知。
统计假设
为则所用统计量为（）
（A）（B）
（C）（D）
二、填空题（每空3分共15分）
（1）如果，则.
（2）设随机变量的分布函数为
则的密度函数，.
（3）
（4）设总体和相互独立,且都服从，是来自总体的
样本，是来自总体的样本，则统计量
服从分布（要求给出自由度）。
二、填空题（每空3分共15分）
1.2.,3.4.
三、（6分）设相互独立，，，求.
解：
0.88=
=（因为相互独立）……..2分
=…………3分
则………….4分
…………6分
四、（6分）某宾馆大楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻T，各电梯在
运行的概率均为0.7，求在此时刻至少有1台电梯在运行的概率。
解：
用表示时刻运行的电梯数，则~………...2分
所求概率…………4分
=0.9919………….6分
五、（6分）设随机变量X的概率密度为，
求随机变量Y=2X+1的概率密度。
解：
因为是单调可导的，故可用公式法计算………….1分
当时，………….2分
由，得…………4分
从而的密度函数为…………..5分
=…………..6分
五、（6分）设随机变量X的概率密度为，
求随机变量Y=2X+1的概率密度。
解：
因为是单调可导的，故可用公式法计算………….1分
当时，………….2分
由，得…………4分
从而的密度函数为…………..5分
=…………..6分
六、（8分）已知随机变量和的概率分布为
而且.
（1）求随机变量和的联合分布;
（2）判断与是否相互独立?
解：
因为，所以
（1）根据边缘概率与联合概率之间的关系得出
-101
0
1
0
0
0
………….4分
（2）因为
所以与不相互独立
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