习题集含详解高中数学题库高考专点专练之25函数的最值.docx

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习题集含详解高中数学题库高考专点专练之25函数的最值

【习题集含详解】高中数学题库高考专点专练之25函数的最值

一、选择题（共40小题；共200分）

1.函数在区间上的最大值、最小值分别是

A.，B.，C.，D.，

2.函数的最大值是

A.B.C.D.

3.若则函数的最大值、最小值分别为

A.，B.，C.，D.，

4.设函数的定义域为，有下列三个命题：

（1）若存在常数，使得对任意，有，则是函数的最大值；

（2）若存在则，使得对任意，且，有，则是函数的最大值；

（3）若存在，使得对任意，有，则是函数的最大值．

其中真命题的个数是

A.B.C.D.

5.函数的最大值为

A.B.C.D.

6.函数的最值情况是

A.函数的最小值是，无最大值B.函数的最大值是，无最小值

C.函数的最小值是，最大值为D.函数无最大值，也无最小值

7.函数在上的最大值为

A.B.C.D.

8.已知函数，若有最小值，则的最大值为

A.B.C.D.

9.设，则的最大值是

A.B.C.D.

10.已知函数的定义域是，记的最大值是，则的最小值是

A.B.C.D.

11.已知条件：

关于的不等式有解；条件：

为减函数，则成立是成立的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

12.已知函数，设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是

A.B.C.D.

13.用表示，，三个数中的最小值设，则的最大值为

A.B.C.D.

14.设函数的最小值为，则实数的取值范围是

A.B.C.D.

15.定义符号的含义为：

当时，；当时，．如，，则的最小值是

A.B.C.D.

16.设函数的图象如图，则，，满足

A.B.C.D.

17.已知函数，设表示，二者中较大的一个．函数．若，且，，使得成立，则的最小值为

A.B.C.D.

18.已知函数的定义域为，若对于，，，分别为某个三角形的三边长，则称为“三角形函数”．给出下列四个函数：

①；②；③；④．

其中为“三角形函数”的个数是

A.B.C.D.

19.已知函数的最大值为，最小值为，则等于

A.B.C.D.

20.已知函数的定义域为，为常数．若：

对，都有；：

是函数的最小值，则是的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

21.若函数在区间上的最大值是，最小值是，则

A.与有关，且与有关B.与有关，但与无关

C.与无关，且与无关D.与无关，但与有关

22.记实数，，，中的最大数为，最小数为，则

A.B.C.D.

23.设函数．若对任意的正实数和实数，总存在，使得，则实数的取值范围是

A.B.C.D.

24.已知函数，实数，满足，且．若在上的最大值为，则

A.B.C.D.

25.在等腰三角形中，，在线段上，（为常数，且），为定长，则的面积最大值为

A.B.C.D.

26.对函数，在使成立的所有常数中，我们把的最大值叫做函数的下确界．现已知定义在上的偶函数满足，当时，，则的下确界为

A.B.C.D.

27.设函数，，若对任意，都存在，使得，则实数的最小值为

A.B.C.D.

28.已知双曲线与轴交于，两点，点，则面积的最大值为

A.B.C.D.

29.已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的最小值是

A.B.C.D.

30.已知在区间上有最大值，那么在上的最小值为

A.B.C.D.

31.在实数范围内我们补充定义新运算“’’如下：

当时，；当时，，则函数的最大值等于（“”和“”仍为通常的乘法和减法）

A.B.C.D.

32.已知函数，若恒成立，则的取值范围是

A.B.C.D.

33.已知函数，则“”是“的最小值与的最小值相等”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

34.已知函数在上是减函数，且对任意的总有则实数的取值范围为

A.B.C.D.

35.已知函数，，若对任意的，都有，则实数的取值范围为

A.B.

C.D.

36.已知函数，设表示，二者中较大的一个，函数，若，且，，使得成立，则的最小值为

A.B.C.D.

37.已知函数，给出下面三个结论：

①函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；

②函数没有最大值，而有最小值；

③函数在区间上不存在零点，也不存在极值点．

其中，所有正确结论的序号是

A.①②B.①③C.②③D.①②③

38.若圆与曲线没有公共点，则半径的取值范围是

A.B.C.D.

39.若函数区间上的值域为，则的值是

A.B.C.D.

40.用表示，，三个数中的最小值．设，则的最大值为

A.B.C.D.

二、填空题（共40小题；共200分）

41.函数，的最大值是 .

42.函数，的最大值为 ．

43.已知函数，函数的最大值和最小值分别为 ．

44.若一元二次方程（）的两个根分别是与，则 ．

45.已知，满足，则的取值范围是 ．

46.已知，则函数的最小值为 ．

47.函数的最大值是 ．

48.函数在上的最大值和最小值分别是 ．

49.已知，求函数的最大值 ．

50.函数在区间上的最大值为 ，最小值为 ．

51.已知的最大值为，的最大值为，则实数 ．

52.已知集合，，则集合 ．

53.函数的最大值是 ，最小值是 ．

54.已知，均为正数，且，则的最小值为 ．

55.已知为常数，函数在区间上的最大值为，则 ．

56.已知函数，．

（）若，使成立，则实数的取值范围为 ；

（）若，使得，则实数的取值范围为 ．

57.已知函数，，若有最小值，则的最大值为 ．

58.对于任意实数，，定义．设函数，，则函数的最大值是 ．

59.若实数，满足，则的最小值为 ．

60.已知，则的最小值为．

61.已知函数定义域为，若存在常数，使对所有实数都成立，则称函数为“期望函数”，给出下列函数：

①；②；③；④，其中函数为“期望函数”的是 ．（写出所有正确选项的序号）

62.设，则函数的最小值为 ，最大值为 ．

63.若函数有最小值，则实数的取值范围是 ．

64.为正实数，且，则的最大值为 ．

65.已知，，，则当的值为 时，取得最大值．

66.定义，则不等式的解集是 ．

67.已知，，若对．，有成立，则的取值范围是 ．

68.函数的最大值为 ．

69.已知函数的最大值为，最小值为，则 ．

70.已知是偶函数，当时，，且当时，恒成立，则的最小值是 ．

71.已知函数，实数，满足，且，若在上的最大值为，则 ．

72.设函数满足，且在上递增，则在上的最小值是 ．

73.定义，已知函数，其中，，若，则实数的范围为 ；若的最小值为，则 ．

74.已知，若对任意的，成立，则实数的最小值为 ．

75.若存在正实数，对于任意，都有，则称函数在上是有界函数．下列函数①；②；③；④，其中“在上是有界函数”的序号为 ．

76.已知函数，对于任意实数，总存在实数，当时，有恒成立，则的取值范围为 ．

77.在平面直角坐标系中，把位于直线与直线（，均为常数，且）之间的点所组成的区域（含直线，直线）称为“型带状区域”，设为二次函数，三点，，均位于“型带状区域”，如果点位于“型带状区域”，那么，函数的最大值为 ．

78.函数在区间上取得最小值，则实数的取值范围是 ．

79.设二次函数（，，为常数）．若不等式的解集为，则的最大值为 ．

80.若函数对任意实数，在闭区间上总存在两实数，，使得成立，则实数的最小值为 ．

三、解答题（共20小题；共260分）

81.求下列函数的值域：

（1）；

（2）

（3）

82.设函数．

（1）判断函数的奇偶性．

（2）求函数的最小值．

83.已知函数．

（1）当时，求函数的最小值；

（2）当时，求函数的最小值；

84.

（1）求的最大值（）；

（2）求函数的最小值．

85.设定义在上的函数的图象的最高点为．

（1）若，，求的取值范围；

（2）若对任意的都有，证明：

．

86.

（1）求函数的最大值；

（2）求函数在区间上的最大值与最小值．

87.已知函数的定义域是，设．

（1）求的解析式及定义域；

（2）求函数的最大值和最小值．

88.已知函数．

（1）若不等式的解集为，求实数的值．

（2）在（）的条件下，若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围．

89.设函数的最小值为．

（1）求的值；

（2）已知，，求的最小值．

90.已知函数，．

（1）当时，若对任意恒成立，求实数的取值范围；

（2）当时，求的最大值．

91.设函数．

（1）求不等式解集；

（2）若关于的不等式有解，求实数的取值范围．

92.已知函数的最大值为．

（1）求的值；

（2）若，试比较与的大小．

93.已知函数，．

（1）若不等式有解，求实数的取值范围；

（2）当时，函数的最小值为，求实数的值．

94.已知函数，（），若关于的不等式的整数解有且仅有一个值为．

（1）求实数的值；

（2）若函数的图象恒在函数的图象上方，求实数的取值范围．

95.已知函数，，若关于的不等式的整数解有且仅有一个值为．

（1）求实数的值；

（2）若函数的图象恒在函数的图象上方，求实数的取值范围.

96.已知函数的最小值为．

（1）求的值；

（2）若，，是正实数，且，求证：

．

97.

（1）已知，求函数的最小值；

（2）已知，求函数的最小值．

98.已知函数

（1）求函数的定义域；

（2）求函数的零点；

（3）若函数的最小值为，求的值．

99.

（1）求函数的最小值；

（2）已知，，且，求的最大值及相应的、值．

100.已知椭圆的离心率，且点在椭圆上．

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与椭圆交于，两点，且线段的垂直平分线经过点．求（为坐标原点）面积的最大值．

答案

第一部分

1.A【解析】因为在上单调递减，所以，．

2.D3.A4.C【解析】

（1）是错误的，可举反例说明，例如函数，存在常数，使得对任意，有，但显然不是函数的最大值；

（2）是正确的，由题意可得对任意，有，且就是值域中可取到的一个值，所以是函数的最大值；

（3）是正确的，因为就是值域中可取到的一个值，所以是函数的最大值．

5.B

6.A【解析】因为在定义域上是增函数，

所以，

即函数的最小值为，无最大值．

7.D8.C【解析】函数的图象开口向下，对称轴为直线，于是函数在区间上单调递增，从而，即，于是最大值为．

9.C10.A

11.B12.A【解析】当时，关于的不等式在上恒成立，

即为，

即有，

由的对称轴为，

可得处取得最大值；

由的对称轴为，

可得处取得最小值，

则

当时，关于的不等式在上恒成立，

即为，

即有，

由（当且仅当）取得最大值；

由（当且仅当）取得最小值．

则

由可得，．

13.C【解析】的图象如图

令，解得，

由图象知，当时，取最大值，且最大值为．

14.C【解析】函数在上是减函数，在上是增函数，且当，即时，在处取得最小值．

15.B

【解析】设，

当，即或时，，

由于对称轴，可得在递增，可得，

在递减，可得；

当，即时，，

可得在递增，即有，

综上可得，的值域为，

即有的最小值为．

16.D【解析】因为函数的图象关于轴对称，故它是偶函数，

所以，

所以．

又由图知，当时，函数取得最大值，且最大值是一个大于的实数，

所以，

依图得，其定义域为，

所以，

所以．

17.A【解析】由题意，，

所以，．

作函数的图象，如图所示，

时，方程两根分别为和，则的最小值为．

18.B19.C【解析】，设，

所以，

所以为奇函数，

所以，

因为，，

所以．

20.B

【解析】由：

对，都有，推不出是最小值，比如，故充分性不成立；由：

是函数的最小值，推出：

对，都有；必要性成立．

21.B22.D【解析】在同一坐标系下作出函数，，的图象，如图所示，

实线部分为函数的图象，

由图象知．

23.B【解析】设的最大值为，令，

当时，单调递减，

所以，

因为，

所以，

令得，

①，当时，；

当时，，

当时，．

②，，．

③，有，，，

综合①②③知，即，

要使成立，则有．

24.C【解析】因为，且，

所以，

因为若在区间上的最大值为，

所以，

所以，

所以，

所以．

25.C

【解析】如图所示，以为原点，为轴建立平面直角坐标系.

设，因为，所以，即，所以，整理得：

即，因为，所以.故选C.

26.D【解析】由题意知，关于，对称；

故函数的周期为，

又因为当时，，

所以当时；

故作出函数在上的部分图象如下，

故易得下确界为

27.A【解析】因为在为增函数，

所以，

因为，使，

所以的值域包含，

当时，，显然成立；当时，要使的值域包含，则的最大值大于等于，

所以解得，

综上，，

所以实数的最小值．

28.B【解析】在双曲线方程中，令，解得，

所以，，的面积，

当且仅当时，面积取得最大值．

29.C30.B

【解析】令，显然为奇函数，

因为在区间上有最大值，

所以在区间上有最大值，

所以在区间上有最小值，

所以在区间上有最小值．

31.C【解析】由题意可得，作出函数图象可得函数在上单调递增，所以．

32.C【解析】因为恒成立，所以恒成立．

①当时，恒成立，即恒成立．

此时．

②当时，恒成立，即恒成立，即恒成立．

即．

综上，的取值范围为．

33.A【解析】，若，则，所以当时，取最小值，即，所以“”是“的最小值与的最小值相等”的充分条件；

若“的最小值与的最小值相等”，则，即，解得或；所以“”是“的最小值与的最小值相等”的充分不必要条件．

34.B【解析】函数的对称轴为，且在区间上是减函数，得，对任意的，总有恒成立，即，又，当时，，，所以，又，所以的取值范围是．

35.C

36.A【解析】由题意，，

所以，，

作函数的图象，如图所示，

时，方程两根分别为和，

则的最小值为．

37.D【解析】函数表示点与点连线的斜率，所以当时，单调递增，当时，单调递减，①正确．当时，，而，所以，即没有最大值，当点与点的连线与相切时，取到最小值，故②正确．当时，，所以，且单调递减，所以在区间上不存在零点，也不存在极值点．

38.C【解析】只需求圆心到曲线上的点的最短距离，取曲线上的点，，

距离

所以，若圆与曲线无公共点，则．

39.D【解析】，由为奇函数，图象关于对称，所以函数的图象关于对称．函数的值域为，所以，.

40.C

【解析】由题可得画出图象如图所示：

所以，当时，取最大值，．

第二部分

41.

42.

【解析】函数自变量的取值是几个孤立的数，用观察法即得它的最大值为．

43.，．

【解析】设任取，且，

，

因为，

所以，．

所以，

即．

所以在上为增函数．

所以，

44.

45.

46.

47.

【解析】根据题意，可作图如下：

由图可知函数的最大值为．

48.，

【解析】在上是增函数，

所以，．

49.

50.，

【解析】任取，，满足，则，

由于，所以，且，所以，即，所以函数在区间上是减函数．

因此，函数在区间的两个端点上分别取得最大值与最小值，即最小值为，最小值为．

51.

【解析】因为，，

所以如果的最大值为，那么最大值也为，

所以．

52.

【解析】集合，所以；

集合，

，

当且仅当时取等号，所以，

所以．

53.，

【解析】由题意可知，因此，．

54.

【解析】设，则，代入有，此方程有解，则，所以的最小值为．

55.或

56.（），（）

【解析】（）因为，当且仅当时等号成立，所以若，使成立，则实数的取值范围为．

（）因为当时，，，若，使得，则解得．

57.

【解析】函数，，且函数有最小值，

故当时函数有最小值，当时函数有最大值．

因为当时，，

所以．

58.

【解析】依题意，．

当时，是增函数，当时，是减函数，

所以在时，取得最大值．

59.

【解析】

因为，

所以

当，即，或，时，等号成立；

故最小值为．

60.1

【解析】，

因为，所以，

所以

（当且仅当，即时“=”成立）．

所以的最小值为．

61.③④

【解析】对于①：

假设函数为“期望函数”，则，当时，，时，化为，因此不存在，使得成立，因此假设不正确，即函数不是“期望函数”；

对于②：

同①可得②也不是“期望函数”；

对于③：

假设函数为“期望函数”，则，当时，，时，化为，所以．所以存在常数，使对所有实数都成立，所以③是“期望函数”；

对于④，假设函数为“期望函数”，则，当时，，时，化为，，所以存在常数，使对所有实数都成立，所以④是“期望函数”．

62.，

【解析】提示：

令，则（），当时；当时．

63.

【解析】提示：

因为函数有最小值，所以解得．

64.

【解析】因为，所以．

因为，，所以．

则．

65.

【解析】

当且仅当，即时，取得最大值．

66.

67.

【解析】因为，，．

又因为，，使，

若，则，解得．

即，若，则恒成立，满足条件；若，则，，解得，即．

综上满足条件的的取值范围是．

故的取值范围是．

68.

【解析】先求出各段函数的最大值，两最大值中的较大者即为分段函数的最大值．

当时，函数为减函数，所以在处取得最大值，为；当时，易知函数在处取得最大值，为．

69.

【解析】，而是奇函数，所以．

70.

【解析】当时，，且恒成立，因为函数在区间单调递减，在区间单调递增，所以当时，最大值为，最小值为，的最小值是．

71.

【解析】，

所以在上单调递减，在上单调递增，由且，可得则

所以，则在上单调递减，在上单调递增，

所以，则