高中数学 第二章 函数 23 函数的应用Ⅰ教案 新人教B版必修1.docx
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高中数学第二章函数23函数的应用Ⅰ教案新人教B版必修1
2019-2020年高中数学第二章函数2.3函数的应用（Ⅰ）教案新人教B版必修1
教学分析
函数基本模型的应用是本章的重点内容之一．教科书用例题作示范，并配备了较多的实际问题让学生进行练习．在例题中，分别介绍了分段函数、对数函数、二次函数的应用．
三维目标
1．培养学生由实际问题转化为数学问题的建模能力，即根据实际问题进行信息综合列出函数解析式．
2．会利用函数图象性质对函数解析式进行处理得出数学结论，并根据数学结论解决实际问题．
3．通过学习函数基本模型的应用，体会实践与理论的关系，初步向学生渗透理论与实践的辩证关系．
重点难点
教学重点：
根据实际问题分析建立数学模型，并根据数学模型解决实际问题．
教学难点：
建立数学模型．
课时安排
1课时
思路1
例1某列火车从北京西站开往石家庄，全程277km.火车出发10min开出13km后，以120km/h匀速行驶．试写出火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的关系，并求离开北京2h时火车行驶的路程．
解：
因为火车匀速运动的时间为（277－13）÷120＝
（h），所以0≤t≤
.
因为火车匀速行驶th所行驶路程为120t，所以，火车行驶的总路程s与匀速行驶时间t之间的关系是s＝13＋120t（0≤t≤
）．
离开北京2h时火车行驶的路程s＝13＋120×
＝233（km）．
点评：
本题函数模型是一次函数，要借助于相关的物理知识来解决.
变式训练
电信局为了满足客户不同需要，设有A、B两种优惠方案，这两种方案应付话费（元）与通话时间（分钟）之间关系如下图所示（其中MN∥CD）．
（1）分别求出方案A、B应付话费（元）与通话时间x（分钟）的函数表达式f（x）和g（x）；
（2）假如你是一位电信局推销人员，你是如何帮助客户选择A、B两种优惠方案的？
并说明理由．
解：
（1）先列出两种优惠方案所对应的函数解析式：
f（x）＝
g（x）＝
（2）当f（x）＝g（x）时，
x－10＝50，
∴x＝200.∴当客户通话时间为200分钟时，两种方案均可；
当客户通话时间为0≤x＜200分钟，g（x）＞f（x），故选择方案A；
当客户通话时间为x＞200分钟时，g（x）＜f（x），故选择方案B.
例2某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满．公司欲提高档次，并提高租金．如果每间客房每日增加2元，客房出租数就会减少10间．若不考虑其他因素，旅游公司将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？
分析：
由题设可知，每天客房总的租金是增加2元的倍数的函数．设提高为x个2元，则依题意可算出总租金（用y表示）的表达式．由于客房间数不太多，为了帮助同学理解这道应用题，我们先用列表法求解，然后再用函数的解析表达式求解．
解：
方法一 依题意可列表如下：
x
y
0
300×20＝6000
1
（300－10×1）（20＋2×1）＝6380
2
（300－10×2）（20＋2×2）＝6720
3
（300－10×3）（20＋2×3）＝7020
4
（300－10×4）（20＋2×4）＝7280
5
（300－10×5）（20＋2×5）＝7500
6
（300－10×6）（20＋2×6）＝7680
7
（300－10×7）（20＋2×7）＝7820
8
（300－10×8）（20＋2×8）＝7920
9
（300－10×9）（20＋2×9）＝7980
10
（300－10×10）（20＋2×10）＝8000
11
（300－10×11）（20＋2×11）＝7980
12
（300－10×12）（20＋2×12）＝7920
13
（300－10×13）（20＋2×13）＝7820
…
…
由上表容易得到，当x＝10，即每天租金为40元时，能出租客房200间，此时每天总租金最高，为8000元．再提高租金，总收入就要小于8000元了．
方法二 设客房租金每间提高x个2元，则将有10x间客房空出，客房租金的总收入为y＝（20＋2x）（300－10x）＝－20x2＋600x－200x＋6000＝－20（x2－20x＋100－100）＋6000＝－20（x－10）2＋8000.
由此得到，当x＝10时，ymax＝8000.
因此每间租金为20＋10×2＝40（元）时，客房租金的总收入最高，每天为8000元．
点评：
二次函数模型是最重要的函数模型，是课程标准和高考的重点.
变式训练
某车间生产某种产品，固定成本为2万元，每生产一件产品成本增加100元，已知总收益R（总收益指工厂出售产品的全部收入，它是成本与总利润的和，单位：
元）是年产量Q（单位：
件）的函数，满足关系式：
R＝f（Q）＝
求每年生产多少产品时，总利润最大？
此时总利润是多少元？
解：
y＝R－100Q－20000＝
（Q∈Z）．
（1）0≤Q≤400时，y＝－
（Q－300）2＋25000，
∴当Q＝300时，ymax＝25000.
（2）Q＞400时，y＝60000－100Q＜20000，
∴综合
（1）
（2），当每年生产300件时利润最大为25000元.
例1某单位计划用围墙围出一块矩形场地，现有材料可筑墙的总长度为l，如果要使围墙围出的场地面积最大，问矩形的长、宽各等于多少？
解：
设矩形的长为x（0＜x＜
），则宽为
（l－2x），从而矩形的面积为S＝x·
＝－x2＋
x＝－[x2－
x＋（
）2－（
）2]＝－（x－
）2＋
.
由此可得，该函数在x＝
时取得最大值，且Smax＝
.这时矩形的宽为
＝
.
即这个矩形是边长等于
的正方形时，所围出的面积最大．
点评：
本题转化为求二次函数的最值，在实际应用问题中，二次函数是最常见的函数模型.
变式训练
某农产品去年各季度的市场价格如下表：
季度
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
每吨售价
（单位：
元）
195.5
200.5
204.5
199.5
今年某公司计划按去年各季度市场价格的“平衡价m”（平衡价m是这样的一个量：
m与各季度售价差的平方和最小）收购该种农产品，并按每个100元纳税10元（又称征税率为10个百分点），计划可收购a万吨，政府为了鼓励公司多收购这种农产品，决定将税率降低x个百分点，预测收购量可增加2x个百分点，
（1）根据题中条件填空，m＝________（元/吨）；
（2）写出税收y（万元）与x的函数关系式；
（3）若要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．
解：
（1）∵f（m）＝（m－195.5）2＋（m－200.5）2＋（m－204.5）2＋（m－199.5）2＝4m2－1600m＋160041，∴m＝200.
（2）降低税率后的税率为（10－x）%，农产品的收购量为a（1＋2x%）万吨，收购总金额为200a（1＋2x%），
故y＝200a（1＋2x%）（10－x）%＝
a（100＋2x）（10－x）＝
a（100＋2x）（10－x）（0＜x＜10）．
（3）原计划税收为200a×10%＝20a（万元），
依题意得
a（100＋2x）（10－x）≥20a×83.2%，即x2＋40x－84≤0.
解得－42≤x≤2.又0＜x＜10，∴0＜x≤2.
∴x的取值范围是0＜x≤2.
例2建立函数数学模型的例子．
问题：
我国xx～xx年国内生产总值（单位：
万亿元）如下表所示：
年份
xx
xx
xx
xx
x
0
1
2
3
生产总值
8.2067
8.9442
9.5933
10.2398
（1）画出函数图形，猜想它们之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式；
（2）利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较；
（3）利用关系式估计xx年我国的国内生产总值．
解：
（1）画出函数图形．从函数的图形可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，可选择线性函数建立数学模型．
如下图所示．设所求的线性函数为y＝kx＋b.
把直线通过的两点（0,8.2067）和（3,10.2398）代入上式，解方程组，得k＝0.6777，b＝8.2067.因此，所求的函数关系式为y＝f（x）＝0.6777x＋8.2067.
（2）由得到的关系式计算出xx年和xx年的国内生产总值分别为f
（1）＝0.6777×1＋8.2067＝8.8844，f
（2）＝0.6777×2＋8.2067＝9.5621，与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元．
（3）假设我国xx年以后国内生产总值还按上面的关系式增长，则xx年（即x＝4时）的国内生产总值为y＝f（4）＝0.6777×4＋8.2067＝10.9175，所以xx年国内生产总值约为10.9175万亿元．
点评：
根据国家统计局公布的数据，我国xx年国内生产总值为11.6694万亿元，比估计的数字高得多．这说明为解决实际问题所建立的数学模型是否符合实际情况，还要经过实践的验证，如果与实际误差较大，就要修正得到的数学模型．
这里是同学们第一次学习数学建模，问题虽然简单，但体现了数学建模的主要思路．顺此思路，同学们不妨取两点（0,8.2067），（2,9.5933）去求函数关系式，进一步体会数学建模的思想.
变式训练
九十年代，政府间气候变化专业委员会（IPCC）提供的一项报告指出：
使全球气候逐年变暖的一个重要因素是人类在能源利用与森林砍伐中使CO2浓度增加．据测，1990年、1991年、1992年大气中的CO2浓度分别比1989年增加了1个可比单位、3个可比单位、6个可比单位．若用一个函数模拟九十年代中每年CO2浓度增加的可比单位数y与年份增加数x的关系，模拟函数可选用二次函数或函数y＝a·bx＋c（其中a、b、c为常数），且又知1994年大气中的CO2浓度比1989年增加了16个可比单位，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？
解：
（1）若以f（x）＝px2＋qx＋r作模拟函数，
则依题意得
解得
∴f（x）＝
x2＋
x.
（2）若以g（x）＝a·bx＋c作模拟函数，则
解得
∴g（x）＝
·（
）x－3.
（3）利用f（x）、g（x）对1994年CO2浓度作估算，则其数值分别为：
f（5）＝15可比单位，g（5）＝17.25可比单位，
∵|f（5）－16|＜|g（5）－16|，故选f（x）＝
x2＋
x作为模拟函数与1994年的实际数据较为接近.
1．我市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同．甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内（含30小时）每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．
设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f（x）元（15≤x≤40），在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g（x）元（15≤x≤40），试求f（x）和g（x）．
答案：
f（x）＝5x（15≤x≤40）；
g（x）＝
2．A、B两城相距100km，在两地之间距A城xkm处D地建一核电站给A、B两城供电，为保证城市安全．核电站距城市距离不得少于10km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝0.25.若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月．把月供电总费用y表示成x的函数，并求定义域．
答案：
y＝5x2＋
（100—x）2（10≤x≤90）．
3．当人的生活环境温度改变时，人体代谢率也有相应的变化，下表给出了实验的一组数据，这组数据能说明什么？
环境温度/（℃）
4
10
20
30
38
代谢率/4185J/（h·m2）
60
44
40
40.5
54
解：
在这个实际问题中出现了两个变量：
一个是环境温度；另一个是人体的代谢率．不难看出，对于每一个环境温度都有唯一的人体代谢率与之对应，这就决定了一个函数关系．实验数据已经给出了几个特殊环境温度时的人体代谢率，为了使函数关系更直观，我们将表中的每一对实验值在直角坐标系中表示出来．在医学研究中，为了方便，常用折线把它们连接起来（如下图）．
根据图象，可以看出下列性质：
（1）代谢率曲线在小于20℃的范围内是下降的，在大于30℃的范围内是上升的；
（2）环境温度在20℃～30℃时，代谢率较低，并且较稳定，即温度变化时，代谢率变化不大；
（3）环境温度太低或太高时，它对代谢率有较大影响．
所以，临床上做“基础代谢率”测定时，室温要保持在20℃～30℃之间，这样可以使环境温度的影响最小．
4．某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元/个，出厂价为60元/个，日销售量为1000个，为适应市场需求，计划提高蛋糕档次，适度增加成本．若每个蛋糕成本增加的百分率为x（0＜x＜1），则每个蛋糕的出厂价相应提高的百分率为0.5x，同时预计日销售量增加的百分率为0.8x，已知日利润＝（出厂价一成本）×日销售量，且设增加成本后的日利润为y.
（1）写出y与x的关系式；
（2）为使日利润有所增加，求x的取值范围．
解：
（1）由题意，得
y＝[60×（1＋0.5x）－40×（1＋x）]×1000×（1＋0.8x）
＝2000（－4x2＋3x＋10）（0＜x＜1）．
（2）要保证日利润有所增加，当且仅当
即
解得0＜x＜
.
所以为保证日利润有所增加，x应满足0＜x＜
.
某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．
（1）求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小？
（2）若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于5吨时其价格可享受八五折优惠（即原价的85%）．问该厂是否考虑利用此优惠条件，请说明理由．
解：
（1）设该厂应隔x（x∈N＋）天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y1，
∵饲料的保管与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6（元），
∴x天饲料的保管与其他费用共有
6（x－1）＋6（x－2）＋…＋6＝3x2－3x（元）．
从而有y1＝
（3x2－3x＋300）＋200×1.8＝
＋3x＋357，
可以证明y1＝
＋3x＋357在（0,10）上为减函数，在（10，＋∞）上为增函数．
∴当x＝10时，y1有最小值417，
即每隔10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小．
（2）若厂家利用此优惠条件，则至少25天购买一次饲料，设该厂利用此优惠条件，每隔x天（x≥25）购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y2，则
y2＝
（3x2－3x＋300）＋200×1.8×0.85＝
＋3x＋303（x≥25）．
∵函数y2在[25，＋∞）上是增函数，
∴当x＝25时，y2取得最小值为390.而390＜417，
∴该厂应接受此优惠条件．
本节学习了一、二次函数的实际应用，建立函数模型解决实际问题．
课本习题2－3A 2、3、4.
本节设计从现实例题开始，让学生从现实中体会函数模型的选择，然后通过几个实例介绍常用函数模型．接着通过最新题型训练学生由图表转化为函数解析式的能力，从而解决实际问题，本节的每个例题的素材都是贴近现代生活，学生非常感兴趣的问题，很容易引起学生的共鸣．
[备选例题]
例1假设国家收购某种农产品的价格是120元/担，其中征税标准为每100元征8元（叫税率为8%），计划可收购m万担（其中m为正常数），为了减轻农民负担，如果税率降低x%，预计收购量可增加（2x）%.
（1）写出税收y（万元）与x的函数关系式；
（2）要使此项税收在税率调节后不低于原计划的78%，求x的取值范围．
解：
（1）y＝120m×104[1＋（2x）%]×（8－x）%＝120m（－2x2－84x＋800）．
（2）由题意知120m（－2x2－84x＋800）≥0.78×120m×104×8%，
解得0＜x≤2.所以x的取值范围是0＜x≤2.
例2某厂生产一种畅销的新型工艺品，为此更新专用设备和制作模具花去了200000元，生产每件工艺品的直接成本为300元，每件工艺品的售价为500元，产量x对总成本C、单位成本P、销售收入R以及利润L之间存在什么样的函数关系？
表示了什么实际含义？
解：
总成本C与产量x的关系为C＝200000＋300x；
单位成本P与产量x的关系为P＝
＋300；
销售收入R与产量x的关系为R＝500x；
利润L与产量x的关系为L＝R－C＝200x－200000.
以上各式建立的是函数关系．
（1）从利润关系式可见，希望有较大利润应增加产量．若x＜1000，则要亏损；若x＝1000，则利润为零；若x＞1000，则可盈利．这也可从上图看出，R和C的图象是两条直线，在它们的交点处利润为零．
（2）从单位成本与产量的关系P＝
＋300可见，为了降低成本，应增加产量，以形成规模效益．
例3某民营企业生产A、B两种产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如左下图，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如右下图．（注：
利润与投资单位：
万元）
（1）分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式．
（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：
怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元？
（精确到1万元）
解：
（1）设投资为x万元，A产品的利润为f（x）万元，B产品的利润为g（x）万元．
由题设f（x）＝k1x，g（x）＝k2
，
由图知f
（1）＝
，∴k1＝
.又g（4）＝
，∴k2＝
.
从而f（x）＝
x（x≥0），g（x）＝
（x≥0）．
（2）设A产品投入x万元，则B产品投入10－x万元，企业利润为y万元．
则y＝f（x）＋g（10－x）＝
＋
（0≤x≤10），
令
＝t，
则y＝
＋
t＝－
（t－
）2＋
（0≤t≤
），
当t＝
时，ymax＝
≈4，
此时x＝10－
＝3.75（万元）．
∴当A产品投入3.75万元，B产品投入6.25万元时，企业获得最大利润约为4万元．
2019-2020年高中数学第二章函数2.3函数的应用（Ⅰ）自我小测新人教B版必修1
1．某种生物增长的数量y（个）与时间x（小时）的关系如下表：
x
1
2
3
…
y
1
3
8
…
下面函数解析式中，能表达这种关系的是（ ）
A.y＝x2－1B．y＝2x＋1C．y＝2x－1D．y＝1.5x2－2.5x＋2
2．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x（x∈N＋）件．当x≤20时，年销售总收入为（33x－x2）万元；当x＞20时，年销售总收入为260万元，记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，则y（万元）与x（件）的函数关系式为（ ）
A．y＝
B．y＝
C．y＝
D．y＝
3．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知该商品每个涨价1元时，其销售量就会减少20个，为了获得最大的利润，其售价应定为（ ）
A.110元/个B．105元/个C．100元/个D．95元/个
4．商店某种货物的进价下降了8%，但销售价不变，于是这种货物的销售利润率
由原来的r%增加到（r＋10）%，则r的值等于（ ）
A.12B．15C．25D．50
5．在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况：
一种是即时价格曲线y＝f（x），另一种是平均价格曲线y＝g（x），如，f
（2）＝3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；g
（2）＝3表示2小时内的平均价格为3元．下面给出了四个图象，实线表示y＝f（x），虚线表示y＝g（x），其中可能正确的是（ ）
6．经市场调查，某商品的日销售量（单位：
件）和价格（单位：
元/件）均为时间t（单位：
天）的函数．日销售量为f（t）＝2t＋100，价格为g（t）＝t＋4，则该种商品的日销售额S（单位：
元）与时间t的函数解析式为S（t）＝__________.
7．某游乐场每天的盈利额y（单位：
元）与售出的门票数x（单位：
张）之间的函数关系如图所示，试分析图象，要使该游乐场每天的盈利额超过1000元，那么每天至少应售出__________张门票．
8．在某种金属材料的耐高温实验中，温度y随时间t的变化情况如图所示，给出下面四种说法：
①前5分钟温度增加的速度越来越快；
②前5分钟温度增加的速度越来越慢；
③5分钟以后的温度保持匀速增加；
④5分钟以后温度保持不变．
其中正确的说法是__________．（只填序号）
9．某校校长暑假将带领该校市级三好学生去北京旅游．甲旅行社说：
“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：
“包括校长在内，全部按票价的6折（即按全票价的60%收费）优惠．”若全票价为240元．
（1）设学生数为x人，甲旅行社收费为y甲元，乙旅行社收费为y乙元，分别写出两家旅行社的收费y甲，y乙与学生数x之间的解析式；
（2）当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样？
（3）就学生人数讨论哪家旅行社更优惠？
10．一位运动员在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度为3.5m，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05m.
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
（2）该运动员身高1.8m，在这次投篮中，球在头顶上方0.25m处出手，问：
球出手时，他跳离地面的高度是多少？
11．我市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内（含30小时）每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．某公司准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．
（1）设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f（x）元（15≤x≤40），在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g（x）元（15≤x≤40），试求f（x）和g（x）．
（2）选择哪家比较合算？
为什么？
12．某公司试销一种新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价500元/件，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量y（件）与销售单价x（元/件）可近似看作一次函数y＝kx＋b（k≠0）的关系（图象如图所示）．
（1）根据图象，求一次函数y＝kx＋b（k≠0）的表达式；
（2）设公司获得的毛利润（毛利润＝销售总价－成本总价）为s元．
①求s关于x的函数表达式；
②求该公司可获得的最大毛利润，并求出此时相应的销售单价．
参考答案
1.答案：
D
2.答案：
B
3.解析：
设每个商品涨价x元，利润为y元，
则销售量为（400－20x）个
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