新课标版数学(理)高三总复习：题组层级快练89.docx

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新课标版数学（理）高三总复习：

题组层级快练89

　　题组层级快练1．如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点

　　F.在上述条件下，给出下列四个结论：

①BD平分∠CBF；

　　②FB2＝FD·FA；③AE·CE＝BE·DE；④AF·BD＝AB·

　　BF.则所有正确结论的序号是A．①②B．③④C．①②③D．①②④答案D解析因为∠BAD＝∠FBD，∠DBC＝∠DAC，又AE平分∠BAC，所以∠BAD＝∠DAC，所以∠FBD＝∠DBC，所以BD平分∠CBF，结论①正确；易证△ABF∽△BDF，所以＝，所以AB·BF＝AF·BD，结论④正确；由＝，得BF2＝AF·DF，结论②正确，选

　　D.2．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则A．CE·CB＝AD·DBB．CE·CB＝AD·ABC．AD·AB＝CD2D．CE·EB＝CD2答案A解析∵CD⊥AB，∴以BD为直径的圆与CD相切．∴CD2＝CE·

　　CB.在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，有CD2＝AD·DB，因此CE·CB＝AD·

　　DB.

　　3.如图所示，在半径为2的⊙O中，∠AOB＝90°，D为OB的中点，AD的延长线交⊙O于点E，则线段DE的长为

　　A.

　　B.

　　C.

　　D.答案C解析延长BO交圆O于点F，由D为OB的中点，知DF＝3，DB＝

　　1.又∠AOB＝90°，所以AD＝.由相交弦定理知AD·DE＝DF·DB，即DE＝3×1，解得DE＝.

　　4.如图所示，E，C分别是∠A两边上的点，以CE为直径的⊙O交∠A的两边于D，B，若∠A＝45°，则△AEC与△ABD的面积比为A．2∶1B．1∶2

　　C.∶1

　　D.∶1答案A解析连接BE，易知△ABD∽△AEC，求△AEC与△ABD的面积比即求AE2∶AB2的值，设AB＝a，∵∠A＝45°，CE为⊙O的直径，∴∠CBE＝∠ABE＝90°.∴BE＝AB＝a，∴AE＝

　　a.∴AE2∶AB2＝2a2∶a2.∴AE2∶AB2＝2∶1，∴S△AEC∶S△ABD＝2∶

　　1.5．如图，在△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC＝2AE，则EF＝________.答案3解析∵B，C，F，E四点在同一个圆上，∴∠AEF＝∠

　　ACB.又∠A＝∠A，∴△AEF∽△

　　ACB.∴＝，即＝，∴EF＝

　　3.6．如图，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB＝，BC＝2，则⊙O的半径等于________．答案解析设AO，BC的交点为D，由已知可得D为BC的中点，则在直角三角形ABD中，AD＝＝

　　1.设圆的半径为r，延长AO交圆O于点E，由圆的相交弦定理可知BD·CD＝AD·DE，即2＝2r－1，解得r＝.7．过圆外一点P作圆的切线PA，再作割线PBC依次交圆于B，

　　C.若PA＝6，AC＝8，BC＝9，则AB＝________.答案4解析依题意得△PAC∽△PBA，则＝＝，即＝＝，解得PB＝3，AB＝

　　4.8．如图，PC是圆O的切线，切点为C，直线PA与圆O交于A，B两点，∠APC的角平分线交弦CA，CB于D，E两点，已知PC＝3，PB＝2，则的值为________．答案解析由切割线定理，可得PC2＝PA·PB⇒PA＝＝＝.由于PC切圆O于点C，由弦切角定理可知∠PCB＝∠PAD，由于PD是∠APC的角平分线，则∠CPE＝∠APD，所以△PCE∽△

　　PAD.由相似三角形得＝＝＝3×＝.

　　9.如图，已知∠BAC的角平分线与BC相交于点D，△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E，若EB＝8，EC＝2，则DE＝________.答案4解析根据弦切角定理，可得∠ABC＝∠

　　EAC.因为线段AD为∠BAC的角平分线，所以∠BAD＝∠

　　DAC.又∠ADE＝∠ABC＋∠BAD，则可以得到∠EDA＝∠EAD，即△ADE为等腰三角形，则有DE＝AE，在△ACE，△ABE中，因为∠EAC＝∠ABC且∠AEC＝∠AEB，所以△CAE∽△ABE，则有＝⇒AE＝4，即DE＝AE＝

　　4.10．已知点C在圆O的直径BE的延长线上，直线CA与圆O相切于点A，∠ACB的角平分线分别交AB，AE于D，F两点，若∠ACB＝20°，则∠AFD＝________.答案45°解析因为AC为圆的切线，由弦切角定理，得∠B＝∠

　　EAC.又因为CD平分∠ACB，则∠ACD＝∠

　　BCD.所以∠B＋∠BCD＝∠EAC＋∠

　　ACD.根据三角形外角定理，得∠ADF＝∠

　　AFD.因为BE是圆O的直径，则∠BAE＝90°.所以△ADF是等腰直角三角形．所以∠ADF＝∠AFD＝45°.11．如图，已知圆的两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF＝CF＝，AF∶FB∶BE＝4∶2∶

　　1.若CE与圆相切，则线段CE的长为________．答案解析由相交弦定理可知AF·FB＝DF·CF＝2，又因为AF∶FB＝4∶2，所以AF＝2，FB＝1，所以BE＝.所以CE2＝BE·AE＝BE·＝×＝，所以CE＝.12．如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点．证明：

∠OCB＝∠

　　D.证明因为B，C是圆O上的两点，所以OB＝

　　OC.故∠OCB＝∠

　　B.又因为C，D是圆O上位于AB异侧的两点，故∠B，∠D为同弧所对的两个圆周角．所以∠B＝∠

　　D.因此∠OCB＝∠

　　D.13．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝

　　CE.证明：

∠D＝∠E；

　　设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：

△ADE为等边三角形．证明由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠

　　CBE.由已知得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠

　　E.设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上．又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥

　　AD.所以AD∥BC，故∠A＝∠

　　CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠

　　E.由知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．

　　14.如图，△ABC为圆的内接三角形，AB＝AC，BD为圆的弦，且BD∥

　　AC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点

　　F.求证：

四边形ACBE为平行四边形；

　　若AE＝6，BD＝5，求线段CF的长．答案略解析证明：

因为AE与圆相切于点A，所以∠BAE＝∠

　　ACB.因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠

　　ACB.所以∠ABC＝∠

　　BAE.所以AE∥

　　BC.因为BD∥AC，所以四边形ACBE为平行四边形．因为AE与圆相切于点A，所以AE2＝EB·．即62＝EB·，解得BE＝

　　4.根据有AC＝BE＝4，BC＝AE＝

　　6.设CF＝x，由BD∥AC，得＝.即＝，解得x＝，即CF＝.

　　15.如图，AB是圆O的直径，C，F为圆O上的点，CA是∠BAF的角平分线．过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D，CM⊥AB，垂足为点

　　M.求证：

　　DC是圆O的切线；

　　求证：

AM·MB＝DF·

　　DA.证明连接OC，如图，则有∠OAC＝∠

　　OCA.∵CA是∠BAF的角平分线，∴∠OAC＝∠

　　FAC.∴∠FAC＝∠OCA，∴OC∥

　　AD.又∵CD⊥AF，∴CD⊥

　　OC.故DC是圆的切线．如图，连接

　　BC.在Rt△ACB中，CM⊥AB，所以CM2＝AM·

　　MB.又因为DC是圆O的切线，所以DC2＝DF·DA，易知△AMC≌△ADC，则DC＝CM，所以AM·MB＝DF·

　　DA.