初中中考平面几何动点类问题压轴题精选.docx
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初中中考平面几何动点类问题压轴题精选
（2011?
可南）如图，在Rt△ABC中，/B=90,BC=5「；，
/C=30•点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一
个点也随之停止运动•设点DE运动的时间是t秒（t>0）.过点D作DF丄BC于点F，连接DEEF.
（1）求证：
AE=DF
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？
如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由.
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？
请说明理由.
解答：
（1）证明：
在厶DFC中，/DFC=90，/C=30，DC=2t,
二DF=t.
又vAE=t，
•••AE=DF（2分）
（2）解：
能.理由如下:
vABLBCDFLBC
•••AE//DF.
又AE=DF
•••四边形AEFD为平行四边形.（3分）
TAB=BC?
tan30=5丽乂,=5,
3
•••AC=2AB=1.0
•••AD=AGDC=10-2t.
若使？
AEFD为菱形，则需AE=AD
即t=10-2t,t=AJ.
3
即当t=4时，四边形AEFD为菱形.（5分）
3
（3）解：
①/EDF=90时，四边形EBFD为矩形.
在Rt△AED中，/ADEMC=30,
•••AD=2AE
即10-2t=2t,t=・；（7分）
2/DEF=90时，由
（2）知EF//AD
•••/ADEMDEF=90.
vZA=90°-MC=60，
•••AD=AE?
cos60.
即10-2t=2t,t=4.（9分）
2
3/EFD=90时，此种情况不存在.
综上所述，当t"域4时，△DEF为直角三角形.（10分）
如图，已知△ABC中，AB=AC=12cmBC=10cm点D为AB的中点.如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段AC上由点A向C点以4cm/s的速度运动.
（1）若点P、Q两点分别从B、A两点同时出发，经过2秒后，△BPD与厶CQP是否全
等，请说明理由;
（2）若点P、Q两点分别从B、A两点同时出发，△CPQ的周长为18cm问：
经过几秒后，△CPC是等腰三角形？
解：
（1），△BPD与△CCP是全等.理由如下：
当P，Q两点分别从B,A两点同时出发运动2秒时
有BP=2X2=4cm，AQ=4<2=8cm
贝UCP=BC-BP=10-4=6cm
CQ=AC-AQ=12-8=4cm
2分）
VD是AB的中点
•••BD=1/2AB=1/2X12=6cm
•••BP=CQBD=CP•••（3分）
又•••△ABC中,AB=AC
•••/B=ZC•••（4分）
在厶BPD?
3CQF中
BP=CQ
/B=ZC
BD=CP
•••△BPD^ACQP（SAS•••（6分）
（2）设当P,Q两点同时出发运动t秒时，
有BP=2t，AQ=4「t的取值范围为Ovt<3
则CP=10-2t，CQ=12-4t
7分）
•••△CPQ的周长为18cm
•••PQ=18-（10-2t）-（12-4t）=6t-4•••（8分）
要使△CPQ是等腰三角形，则可分为三种情况讨论：
1当CP=CQ寸，贝U有10-2t=12-4t
解得：
t=1•••（9分）
2当PQ=PC寸，则有6t-4=10-2t
24．（本小题满分14分）
在厶ABC中，AB=BC将VABC绕点A沿顺时针方向旋转得△ABC，使点C落在
直线BC上（点C与点C不重合），
（1）如图9一①，当C>60°时，写出边AB与边CB的位置关系，并加以证明；
⑵当C=60时，写出边AB与边CB的位置关系（不要求证明）;
（3）当C<60时，请你在图9一②中用尺规作图法作出△ABC（保留作图痕迹，不写
作法），再猜想你在
（1）、
（2）中得出的结论是否还成立?
并说明理由．
24．解：
（1）AB1//CB
证明：
由旋转的特征可知
•••ABBC
•••BACC
•••AC1AC
•••AC1CC
BiACiACQ
•AB1//CB
（2）ABi//CB
（3）作图略。
成立。
理由与第一问类似。
25、（12分）已知Rt△ABC中，AB=BC在Rt△ADE中，AD=DE连结EC,取EC中点M连结DM和BM,
（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图①，求证：
BM=DMLBM
丄DM
（2）如图①中的△ADE绕点A逆时针转小于45°的角，如图②，那么
（1）中的结论是
否仍成立？
如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明
25.本小题主要考查三角形、图形的旋转、平行四边形等基础知识，考查空间观念、演绎
推理能力•满分12分.
（1）证法1:
在Rt△EBC中,M是斜边EC的中点，
1BM-EC.
2
在Rt△EDC中,M是斜边EC的中点，
1DMEC.
2
•••BM=DM且点B、C、DE在以点M为圆心、BM为半径的圆上.
/BMD2ZACB=90°,即卩BMLDM
证法2:
证明BM=DM与证法1相同，下面证明BMDM
DM=MC
/EMD2ZECD
BM：
MC
/EMB2ZECB
/EM®/EMB=2（/ECDECB.
/ECD/ECB/ACB=45°,
/BMD2/ACB=90°,即卩BMLDM
（2）当厶ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角时，
（1）中的结论成立.
证明如下：
证法1（利用平行四边形和全等三角形）：
连结BD,延长DM至点F,使得DM=MF连结BF、FC,延长ED交AC于点H.
DM=MF，EM=MC
四边形CDEF为平行四边形.
DE//CF,ED=CF
ED=AD,
AD=CF
DE//CF,
/AHE：
/ACF
BAD45°DAH45°（90°AHE）AHE45°,BCFACF45°,
/BA[=ZBCF
又•••ABBC,
•••△ABD^ACBF
•••BD=BF,ZABD：
/CBF
•••/ABD/DBC=/CBI+ZDBC
•••/DBF=/ABC=90°.
在Rt△DBF中，由BDBF,DMMF，得BM=DM且BMLDM
证法2（利用旋转变换）：
连结BD将厶ABD绕点B逆时针旋转90°,点A旋转到点C,点D旋转到点D，得到
△CBD，则BDBD,ADCD,BADBCD,且DBD90°•连结MD.
CEDCEADEA
（180°ECAEAC）45°
180°ECA（90°BAD）45°
45°ECABAD
ECBBAD
ECBBCD
ECD
DE//CD.
又•••DEADCD，
四边形EDCD为平行四边形.
•••DMD三点共线，且DMMD.
在Rt△DBD中，由BDBD,DMMD，得BI\=DM且BMLDM
证法3（利用旋转变换）：
连结BD将厶ABD绕点B逆时针旋转90°,点A旋转到点C,点D旋转到点D，得到
△CBD，贝UBDBD,ADCD,BADBCD,且DBD90o.
连结MD，延长ED交AC于点H.
•••/AH俘90。
一/DAI=90°-（45°-ZBAD=45°+ZBAD
ACD45°BCD，
BADBCD，
H
AHDACD.
DE//CD
又•••DEADCD，
四边形EDCD为平行四边形.
D、Md三点共线，且DMMD
x9x2
3
在Rt△DBD中，由BDBD,DMMD，得BM=DM且BMLDM
4、（14分）如图10,扇形OAB的半径OA=3圆心角/AOB=90，点C是Ab上异于A
B的动点，过点C作CDLOA于点D,作CELOB于点E,连结DE点GH在线段DE上,
且DG=GH=HE
（1）求证：
四边形OGC是平行四边形
（2）当点C在Ab上运动时，在CDCGDG中，是否存在长度
不变的线段？
若存在，请求出该线段的长度
（3）求证：
CD23CH2是定值
图10
24.
（1）连结OC交DE于M由矩形得OM=CGEM=DM
因为DG=H所以EM-EH=DM-DG得HM=DG
所以DG
x（丛区）2乂所以Hd3-1-疋
33
6x2
3
（2）DG不变，在矩形ODC中,DE=OC=3,所以DG=1
（3）设CD=x,则CE=9x2，由DECGCDEC得CG=
所以3CH二3（\：
（宁）2（^9^）2）12
所以CD23CH2x212x212
24.（本小题满分14分）
如图12,边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割为四个小矩
形，EF与GH交于点P
（1）若AG=AE证明：
AF=AH
（2）若/FAH=45，证明：
AG+AE=F；
（3）若Rt△GBF的周长为1,求矩形EPHD勺面积
24.（本小题满分14分）
解：
（1）易证△ABF^AADH所以AF=AH
（2）如图，将AADH绕点A顺时针旋转90度，如图，易证AAFH^AAFM得
得（1?
x）
FH=MB+B!
即卩：
FH=AG+AE
设PE=x,PH=y,易得BG=1-x,BF=1-y,FG=x+y-1,由勾股定理,
（1?
y）2=（x?
y?
1）2,
化简得xy=0.5,所以矩形EPHD勺面积为0.5.
2.（2010广东广州，25,14分）如图所示，四边形OABC是矩形，点AC的坐标分别为
（3,0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点BC不重合），过点D作直线y
1
二——X+b交折线0A盯点E.
2
（1）记厶ODE的面积为S,求S与b的函数关系式;
（2）当点E在线段0A上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OAB—C—,试探究OABC与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.
【答案】
（1）由题意得B（3，1）.
若直线经过点A（3,0）时，贝Ub=3
2
若直线经过点B（3，1）时，贝Ub=5
2
若直线经过点C（0，1）时，贝Ub=1
①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1vb<3，如图25-a，
2
图1
此时E（2b,0）
如图，在梯形ABCDKAD//BCAD=3
DC=5AB=-,ZB=45，动点
S=S矩一（Sac卄Saoae+Sadbe）
b
1b3
S
2
5_2
3,
5
bb
b
2
2
2
11
二S=—0E・CO=—x2bx1=b
2
2
②若直线与折线
OAB的交点在BA上时，即-vbv5，如图2
22
（1）求线段BC的长度;
（2）求在运动过程中形成的厶MCN的面积S与运动的时间t之间的函数关系式，并写出
自变量t的取值范围；并求出当t为何值时，△MCN勺面积S最大，并求出最大面积；
（3）试探索：
当MN在运动过程中，△MCN是否可能为等腰三角形？
若可能，则求出相应的t值；若不可能，说明理由.
解答：
解：
（1）如图1，
分别过A,D作AELBCDF丄BC分别交BC于E，F;
I圏1
•••EF=AD=3
vZB=45，AB=:
;
•••BE=AE=DF=4（1分）
在Rt△DFC中,
CF=-:
;（2分）
•••BC=BE+EF+CF=4+3+3=103分）
（2）①如图2，
当OWt<5时，CN=BM=t
MC=10-1;
B
h\
GC
•-S=-'r.•?
■：
.---''-丄--
D
D
C
②如图3,
当t=5时，△MCh的面积S最大，最大值为10;
过N+于BC于点G;•••△NGEDFC七帶即£晋;
-■■■I,函数开口向下;
（3）当OWt<5时：
CN=BM=tMC=1（Ot;
•NG=—;
•当t=5时，SmaRO；（6分）
①当MC=N时，t=1O-t，解得：
t=5;（7分）
②当HM=MCC，如图4,
过N作NHLBC于点H,
则有HC=M,可得：
旦&（10-t）
52
过M#MI丄CD于1，CI寺
，又匚口sC=-|，
5
1
?
-1
2-3
即：
品!
可得
分）
，解得：
u
11
10-t
解得：
；（8分）
③当MN=MCC，如图5,
当5vt<8时，如图6,
过C作CJ丄AD的延长线于点J，过N作NK!
BC于点K;
则：
MC=（10-t）2=t2-20t+100;MN=（12-2t）2+42=4t2-48t+160;NC=（t-2）2+42=t2-4t+20;
4当MC=N时，t2-20t+100=t2-4t+20，解得:
t=5（舍去）；（10分）
5当MN=MCC，4t2-48t+160=t2-20t+100，
解得:
6
当MN=N时，t2-4t+20=4t2-48t+160,解得：
--L-.一二丄“（舍去）.（12分）
综上：
当t二5,旦，&时，△MCN为等腰三角形.
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