高校学费收取问题的数学模型.docx
《高校学费收取问题的数学模型.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高校学费收取问题的数学模型.docx（31页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
高校学费收取问题的数学模型
高校学费收取问题的数学模型
摘要本文就高校的学费收取问题分别从专业差异和地区差异两个方面进行了讨论。
针对第一方面，首先对培养质量进行量化，建立培养质量与培养费用关系的logistic阻滞增长模型；然后分别以培养质量最大、家庭经济压力最小为目标函数，以教育法规定的学费不超过生均培养费的25%为约束条件，建立双目标线性规划模型；接着采用极差标准化的方法对两目标进行量纲统一；最后利用动态加权法将双目标转化为单目标线性规划模型。
在模型求解时，仅以部分教育部直属院校的理工、文史和艺术三类专业为例对模型进行验证，运用lingo9.0优化软件，求解得出2004年三类专业学费的最优标准为：
理工类3750元、文史类3150元、艺术类6150元。
此结果与实际的收费进行比较，可以看出大部分院校收费过高。
针对第二方面，从高校所在地区差异对学费的影响进行分析，把各院校所在地区家庭人均纯收入作为地域经济差异的准则，在第一方面模型的基础上，经求解得出各院校各专业的学费标准以及生均培养费用，结果见文中表6、表7，并对结果进行分析得知国家的财政拨款普遍不足。
最后，根据模型所得结果，给政府在高等教育经费投入政策以及高校在经费的使用方面提出建议，并对模型进行了评价和推广。
关键词高等教育；学费标准；阻滞增长模型；目标规划模型
一、问题重述
高等教育是我国科教兴国战略的重要手段，在全球竞争日益激烈的今天，已逐步被提到日程上来。
创新型国家建设与和谐社会目标的确立，科学发展观的实施与和谐社会的提出，为中国高等教育发展提供了新的历史机遇。
高等教育事关高素质人才培养、国家创新能力增强、和谐社会建设的大局，因此受到党和政府及社会各方面的高度重视和广泛关注。
近年来，随着我国普通高校的扩招加大，大多数的学校受到越来越严重的财政制约。
高等教育经费需求迅速膨胀，但是政府的投资能力反而下降，二者形成了巨大的反差，从而导致经费短缺成为制约普通高等学校发展的主要因素。
在快速实现高等教育大众化过程中，培养质量作为一个核心指标应摆在突出位置，而不同的学科、专业在设定不同的培养目标后，其质量需要有相应的经费保障。
在这种前提下，高校学费的收取问题是高校扩招和办学条件相对制约的现实选择。
高等教育收费关系到千千万万的学生及家庭，是社会经济生活中的大事。
高校收费合理与否，不仅关乎高校的社会形象，更关乎国家的形象，关系中国社会和谐、持续发展和民族振兴。
高等教育属于非义务教育，其经费在世界各国都由政府财政拨款、学校自筹、社会捐赠和学费收入等几部分组成。
收费有一定的标准，定得过低发挥不了学费的作用，使教学经费欠缺，最终以降低教学质量为代价；定得太高会加重学生家里的负担，造成国民接受高等教育机会不公。
然而，近几年来我国大部分高校学费大幅度提高，经济困难学生问题日益凸显，引起了社会较大的震动和反响。
根据中国的国情及收集的相关数据（诸如国家的生均拨款、培养费用、家庭收入等），就高校学费的收取问题从以下三个方面进行讨论，为讨论方便起见，将其看作三个问题：
（1）从专业差异给出高校的学费收取标准。
（2）从学校所在地区差异给出高校的学费收取标准。
（3）从时间差异来给出未来的学费收取标准。
二、问题分析
我国从1989年开始实施高校教育收取学费的制度，此制度的出台为缓解财政压力，弥补高校办学经费不足起到了重要作用。
伴随着近几年来高等院校的不断扩招，我国的高等教育已经从精英型教育转向大众化教育阶段。
与高等教育大众化进程的快速推进相一致，我国大学学费也迅速地增长。
为提高高校的办学效率、提升教育产品的质量和优化高等教育的资源配置，本文在有限教育投资的基础上，兼顾考虑贫富不均与不同类别专业需求的客观现实，逐步确立高校的收费标准，实现资源可持续发展的同时，逐步与国际接轨。
针对问题
（1），高校的学费定制受多方面的影响，如家庭的承受能力，地区的经济发展水平，物价的涨幅，培养目标等。
为解决高校学费的收取问题，从以下方面来考虑：
从家庭承受能力与学校的培养质量来确定。
对于每一个高等院校来说，学校的培养质量与其培养费用有关。
学校所筹集的经费是用来培养学生而支出的，但对于一个学生来说，其培养质量与其培养费用有关，培养费用是培养经费的另一表现。
在一般情况下，培养质量将会随着培养费用的增加而增加，但到一定阶段，培养质量将达到一个稳定值。
此规律是阻滞增长规律，因此针对培养质量与培养费用关系，考虑用logistic阻滞增长模型。
因对于一个学校来说，其培养费用的来源包含政府拨款、学校自筹、社会捐赠、学生缴纳的学费，为直观起见，可以表示为如下结构图（图1）：
图1生均费用结构图
由以上结构图可以看出培养费用的改变学费的高低，但是学费的改变对于来自农村的学生能够上大学的等级造成一定的影响，学费高则家庭无力支付，对于农村的家庭造成一定的负担，但是学费低了，将会不能保证教学的质量，对于学费对家庭构成的负担，可以通过学费在家庭可支配收入中所占的比例来衡量，因此故就此问题，可以通过建立分别以培养质量最大、家庭可支配收入所占比例最小目标，以国家规定的培养费用与学费的关系为约束条件的双目标规划模型。
由于培养目标的不同，将会导致培养费用也存在差异，就此不妨将专业分为文史类，理工类和艺术类，以教育部直属的高校为例来确定其收费标准。
针对问题
（2），从高校所在的地区差异对学费的影响来考虑。
因高校所在地区的经济发展程度不同，这样不同学校的各项支出将会有所差异，从而对其培养费用产生影响，进一步会影响其学费的收取，对于此问题，在问题
（1）所建立模型基础上，可以通过学校所在地的家庭可支配收入与全国家庭可支配收入的比值来调整各个学校应收取的学费。
针对问题（3），同一学校在不同时期的学费收取。
因为随着社会的发展，其经济将不断提升，进而会影响到生均培养费用，可以用物价指数的变化来调节下一年应收取的学费。
最后，鉴于中国的国情和模型所得结果，对于相关部门的建议可以从影响学费收取的诸多方面来考虑，如国家拨款政策的调整，高校的运行机制，奖助学金等方面。
三、模型假设
1.考虑一个家庭只供一个孩子上大学的情况；
2.仅考虑高等学校本科生学费收取情况；
3.学校满足教育部办学条件标准，生均培养成本一定，即学校的支付是一定的；
4.在此期间学校没有大规模的计划外成本支出；
5.不考虑突发事件（洪水、地震等）对高校拨款的影响
四、符号表示
--学校名称（
…）
--专业类别（
分别代表文史、理工、艺术专业）
--学校
的培养质量
--生均培养费用（元）
--家庭人均可支配收入（元）
--国家给学校
的第
类专业的生均拨款（元）
--国家给学校
的总拨款数（元）
--学校
的第
类专业的折合学生人数
--高校所在地人均收入
--每个学生每学年应缴的学费（元）
--社会给学校
的第
类专业捐款数目（元）
--家庭收入的平均值（元）
--全国平均收费值（元）
--全国平均培养费（元）
五、模型建立
学费的收取为缓解政府财政压力，弥补高校办学经费的不足起到了重要作用，但是高额的学费将会给农村家庭造成巨大的经济负担。
随着近几年高等院校的大规模扩招，学费也大幅度上升，远超过了农村家庭的承受能力。
因此国家与家庭之间会存在矛盾，这样就存在学费的合理收取问题。
下面就中国国情，综合考虑影响学费收取的各因素，如家庭收入，培养质量，地区差异，不同年份的经济发展情况地区，建立了学费收取标准的模型。
5.1问题
（1）模型的建立
我国教育的目的是培养人才，从而提高国民的综合素质,这样保证培养质量就显得至关重要了。
而培养质量的提高需要经费来保证，筹集的经费多了，师资力量强，培养质量自然高了；反之，培养质量下降。
5.1.1logistic阻滞增长模型[1]的建立
学校所筹集的经费是用来培养学生而支出的，但对于一个学生来说，其培养质量与其培养费用有关，培养费用是培养质量的另一表现。
在一般情况下，培养质量将会随着培养费用的增加而增加，但对高校经费的投入并不是越多越好，到一定阶段，培养质量将趋近于一个相对平衡最大点（或在理想状态下，培养质量将达到的一个最高点）。
此规律是阻滞增长规律，因此考虑用logistic阻滞增长模型来解决培养质量与培养费用的关系问题。
根据上述分析可建立如下logistic阻滞增长模型：
其中
培养质量，
为培养费用，
为一个常数。
对于不同的学校其培养质量可以通过高校的综合排名时的量化值进行代替，此值可以通过权威的高校排名机构获取。
据了解有关权威机构在对各个高校进行综合排名的过程中通常邀请一些专家来就各高校的毕业生就业平均工资情况、科研成果、刊物论文的发表数量等各方面的表现进行综合打分，而以上各个方面因素都可以间接的体现其培养质量。
因此，不妨将此排名过程中高校所得的分数作为培养质量的度量值。
在下面的过程中提到的培养质量即为高校所得的排名分数。
5.1.2学费收取标准的规划模型
在同一个学校内，由于不同的专业的培养目标不同，所需要的支出不同，所以学费的收取也各不相同，因此考虑对专业分类。
而对于同一专业，在不同的学校，由于国家拨款，社会捐赠不同，导致其收费标准也不同，因此再对学校进行分类。
鉴于一般高校均有文史、理工、艺术三类。
可将教育部直属大部分的高校专业分为这三类，在此分别以家庭教育支出比例最小和学校培养质量最大的目标函数建立双目标规划模型[2]。
1目标函数
高等教育的学费作为一种教育消费，是居民消费支出结构的一部分，对居民生活水平及生活质量有重大的影响，学费太高将挤占居民家庭的其他消费支出，加重生活负担。
所以，高教学费必须站在学生家庭的经济条件基础之上，在学生家庭的经济承受能力范围之内。
在此引入量化指标：
学费—收入比[3]。
学费—收入比是高等教育学费占居民家庭年均收入的百分比例。
其值越高，学生家庭教育支出占居民家庭消费性支出的比例越大，学生家庭的经济负担及越重；反之，学生家庭的经济负担就越轻；收费标准为零,说明高等教育是免费的,居民家庭无须为高等教育作任何付出。
由以上分析知，可得以家庭教育支出比例最小的目标函数：
其中，
为家庭可支配收入的平均值。
培养质量是高等学校教育的一个核心指标，是高等教育的目标。
各高校在办学后希望来提高质量来加大其声源，同时对于学生和家长也希望增大培养质量。
由以上分析可知，可得以学校培养质量最大的目标函数：
2约束条件
根据我国高校现行管理法规知学费不得超过其培养费的25%[4]，由此得约束条件
由模型一中的logistic模型知道培养质量与培养费用的关系问题，经分析可得约束条件
学生的生均培养费用可以通过统计学校的各项支出，然后除以在校学生人数，而在求在校学生人数时，由于分本科生、研究生、博士生和专科生，不同学生的各项费用也不相同，计算时会不方便，在此不妨将某学年在校学生人数以本科生为标准，将各类在校生折合成标准单位数，本科生为1，硕士生为2，博士生为3，专科生为0.5，可得约束条件
其中
为国家给学校
的拨款数，
为学校
的第
类专业的折合学生人数
3线性规划模型的建立
综上分析，可建立分别以培养质量最大，以家庭教育支出比例最小的目标函数如下所示
为了体现对学校和学生家庭利益的重视程度，根据学校培养质量和学生家庭利益的偏好程度来确定其权系数，对较高的指标赋予较大的权值，利用动态线性加权法[2]将双目标模型转化为单目标规划模型。
在将双目标化为单目标的过程中，由于培养质量
和学费在家庭可支配收入中所占的比例
的数级存在差别，且量纲不统一，为了避免大数吃小数，不妨利用聚类分析中极差标准化[5]对培养质量进行处理。
极差标准化思想：
综上，得到如下以生均成本的满足程度，学费与物价上涨的关系程度，学校不同类别的转换程度为约束条件的单目标规划模型：
5.2问题
（2）模型的建立
我国幅员辽阔，各个地区生产力发展水平、产业结构、人口状况、地理环境和民族构成等教育基础的差异很大。
沿海、沿江、沿边地区经济发展较快,而内陆区域经济还比较落后。
收费标准不能“一刀切”，因此学校学费除受生均教育培养费用、国家财政拨款等因素的影响外，学费地域差异的因素也不可忽视。
既然高等教育收费标准的确定受以上区域等因素的制约，因此，我们可以借鉴国际经验,结合我国实际国情，将全国的数据逐步转化为各地区高校的学费、培养费。
5.2.1全国收费转化为各个学校收费
从实际调查来看[6]，地区间的差距确实很大，投入的成本在各个地区有着明显的差别，以高等学校的生均事业费与生均基建费的比例地区差异来看，直辖市略高，一般在8-18倍之间，发达地区在7-8倍之间，中等发达地区在6-10倍之间，欠发达地区在6-7倍之间。
从平均来看，直辖市略高，其他地区差异不大。
鉴于全国各个大学收费标准受区域经济影响，不妨可将全国人均收入作为衡量学校所在省区域经济情况的标准，根据以上模型确定的收费标准转换成各个省的标准收费金额。
其标准确定的公式为：
其中，
为高校所在地人均收入，
为全国平均收费值
5.2.2培养费用的确定
高校对大学生的培养费用受区域经济对其的影响，这里可以假设各个高校培养费用受当地区域经济影响相同。
一般来讲，当地经济越发达，则用于教育的各项支出相对也高，自然其培养费用也越高，但是受地区的差异影响并非简单的线性关系，其值会在国家平均值的上下浮动，变化范围不会很大，为了保证其能始终朝国家平均值靠近，不妨取用指数函数来衡量生均培养费用随高校区域的变化关系，根据以上分析，可以将高校培养费用表示为
其中指数
体现区域经济对高校生均培养费影响力的大小，
为全国平均培养费。
5.3问题（3）模型的建立
从经济学角度来看，教育并没有脱离经济收益和成本分析，高校学费收取同市场经济现已接轨，与居民增长指数同步。
教育消费对经济有推动作用，同样随着时间的增长，经济GDP等指标对各高校收费也有推动作用。
我国2005年的GDP已达182321亿元[7]，总量居世界第四。
按中国现在国民生产总值水平计算，提升一个百分点意味着增加1800多亿元教育经费，若其中的三分之一用于高等教育即有600多亿元，现阶段国家财政拨款额的增长远小于学生数的增长，可以减轻每年由生均成本上升带来的资金压力。
可以看出在全国GDP增长的情况下，教育收费标准在实际中也应适当的有所增加。
在此可将各高校收费标准与经济GDP等指标随时间是呈逐年递增趋势联系起来，得出各高校随时间变化收费调整办法。
对于时间变化对高校学费的影响可以用物价指数来衡量，就此得出：
其中
为学校
所在城市第
年相对于前一年的物价上涨指数变化值。
六、数据整理及模型求解
基于以上对问题的分析，对所收集数据进行整理、分析，并逐步排除影响较小的因素。
利用所收集数据，给出logistic阻滞增长模型和线性规划模型的分析求解过程及模型结果。
6.1数据分析整理
根据中国的国情，教育从不收费到低收费，再到占生均培养成本的较高比例，国家生均培养费用无论是在区域上，还是在不同高校、不同类别专业上都存在差异。
根据自1989年实行教育收费制度以来[8]，生均培养费在所收集诸如国家的生均拨款、培养费用、家庭收入等相关数据，不断对数据进行筛选、分析和排除。
6.1.1有用数据收集及分析
由问题分析知，即使在同一个高校，由于不同的专业的培养目标不同，所需要的支出不同，所以学费的收取也各不相同，因此考虑对专业分类。
以2004年各高校的学费统计数据为基础，来考察学费的各影响因素。
下表1为2004年教育部直属211高校统计专业类别等指标下的平均学费[9]。
经上表数据可以看出，为使取样学费具有普遍性和代表性，本文不考虑专业设置比较单一的外语类、医学类院校，以及不收费的军事院校等。
同时考虑到各类院校之间学费的可比性，农林类院校中的农林专业,师范院校中的免受学费的师范专业学费不在统计之列。
鉴于一般高校均有文史、理工、艺术三类，可将教育部直属的部分高校专业分为这三类进行分析。
根据国家高等教育信息网[10]中各个高校招生信息网[11]情况，对教育部直属部分高校的数据进行不断汇总、筛选和分类，得到在文史类、理工类和艺术类实际所收学费，农村家庭人均收入，经济指标值情况，见表2。
表1 各类院校各专业的平均学费（单位:
元）
项目
普通理科类
电子信息类
普通工科类
艺术类
财经类
外语类
普通文科类
学校类别
综合
4232
4600
4340
7985
4272
4471
4106
理工
4336
4681
4420
8444
4351
4595
4228
师范
3901
4310
4003
7698
3916
4188
3742
财经
4078
4462
4078
7458
4245
4307
4089
农林
3866
4352
4134
7989
3948
4064
3781
隶属单位
部属
4623
4984
4704
8882
4615
4823
4489
省市属
3943
4323
4060
7707
4006
4215
3828
211工程院校
是
4568
4986
4696
8864
4647
4837
4488
否
3931
4283
4027
7649
3949
4170
3788
表2部分高校专业实际收费、农村人均收入和经济指标情况表
学校名称
文史类实际
学费（元）
理工类实际
学费（元）
艺术类实际
学费（元）
农村家庭
人均收入（元）
经济指标值（元）
中央音乐学院
5000
5500
10000
10659
1.711753
中山大学
4560
5160
8000
6057.47
0.972783
中央美术学院
6000
6000
19000
10659
1.711753
华南理工大学
4560
5160
8000
6057.47
0.972783
厦门大学
5460
5460
9360
7348.9
1.180176
东南大学
4600
4600
6800
7513.7
1.206642
北京师范大学
5000
5500
10000
10659
1.711753
清华大学
5000
5500
10000
10659
1.711753
北京大学
5000
5500
10000
10659
1.711753
中国人民大学
5000
5500
10000
10659
1.711753
兰州大学
4800
4200
7000
3432.62
0.551252
北京林业大学
5000
5500
10000
10659
1.711753
山东大学
4000
4700
6700
6057.47
0.972783
中国海洋大学
4000
4300
6700
7513.7
1.206642
陕西师范大学
3850
4950
8800
3722.28
0.597769
西安交通大学
3850
4950
9900
3722.28
0.597769
西北农林科技大学
3850
4950
9900
3722.28
0.597769
长安大学
3850
4950
10450
3722.28
0.597769
西南师范大学
4000
4500
7000
5444.19
0.874295
南京大学
4600
4600
6800
7513.7
1.206642
北京化工大学
5000
5500
10000
10659
1.711753
北京科技大学
5000
5500
10000
10659
1.711753
北京外国语大学
5000
5500
10000
10659
1.711753
河海大学
4600
4600
6800
7513.7
1.206642
四川大学
4440
4920
10000
4175.61
0.670571
电子科技大学
4440
4920
10000
4175.61
0.670571
西南交通大学
4440
4920
10000
3722.28
0.597769
西安电子科技大学
3850
4950
9900
3722.28
0.597769
北京语言大学
5000
5500
10000
10659
1.711753
利用国家统计指标中各类专业平均培养费用及其家庭人均可支配收入值[10]情况，进行分析，得到其各类专业值如下表3.
表3各类国家统计指标平均值
国家统计指标
统计平均值（元/年）
文史类生均培养费用
12500
理工类生均培养费用
15000
艺术类生均培养费用
25000
农村家庭人均可支配收入
2936
6.1.2相关因素的排除
从生均培养费用的指标的来源组成，由国家生均拨款、学生缴纳学费、学校自筹资金和社会捐赠情况。
影响高校培养成本的因素很多，其中许多因素的在其波动范围内，影响是很小的故可以在量化情况下将其排除。
（1）社会捐赠情况讨论
以“十五”期间山东省全省高等学校教育经费收入概况为例[6]，讨论社会捐赠占教育经费的比例情况。
由于学杂费收入的迅猛增长，使高等学校的教育经费收入来源构成发生了较大变化。
收集2001年至2005年高等学校教育经费来源表（见下表4）.
表42001-2004年高等学校教育经费收入来源构成单位：
%
2001年
2002年
2003年
2004年
2005年
一、国家财政性教育经费
50.01
47.03
42.43
39.28
35.81
1.预算内教育经费
48.39
46.09
42.04
38.87
35.05
其中：
教育事业费拨款
42.42
40.22
36.35
33.53
31.44
基建拨款
3.24
3.35
2.65
3.10
1.53
2.各级政府征收用于教育的税费
1.25
0.27
0.10
0.14
0.45
3.校办产业、勤工助学和社会服务收入用于教育的经费
0.38
0.67
0.29
0.27
0.31
二、非财政性教育经费
49.99
52.97
57.57
60.72
64.19
1.事业收入
45.25
49.11
54.80
56.67
59.87
其中：
学杂费
38.00
41.95
45.70
49.03
51.95
2.社会捐集资办学经费
0.30
0.27
0.15
0.82
0.38
3.其他收入
4.44
3.59
2.62
3.23
3.95
合计
100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
由上表可以得出国家财政性教育经费和非财政性教育经费基本持平。
由于学杂费收入的迅猛增长，使得高等学校的教育经费收入来源构成发生了较大的变化。
其中，中国家预算内教育经费、学杂费和社会捐集资办学经费变化最为明显，利用表1中数据作出其2001年～2005
升级会员 