秋人教版八年级数学上册第13章《轴对称作图及实际应用》讲义随堂测试习题及答案.docx

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秋人教版八年级数学上册第13章《轴对称作图及实际应用》讲义随堂测试习题及答案

人教版八年级数学上册第13章

轴对称作图及实际应用（讲义）

Ø课前预习

1.尺规作图书写作法时注意：

点线取__________，作弧说__________．

应用作图：

①______________________，设计作图方案；

②调用__________________完成图形．

2.如图，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A，B到奶站的距离之和最小？

Ø知识点睛

1.五种基本作图：

①作一条线段等于已知线段；

②作一个角等于已知角；

③作已知角的角平分线；

④作已知线段的垂直平分线；

⑤过平面内一点，作已知直线的垂线．

2.轴对称最值问题：

（1）特征：

有定点，有动点，动点在____________上运动，求动点与定点连接组成的线段和（周长）最小．

（2）解决方法：

以动点所在的直线为对称轴，作定点的对称点，________________，利用两点之间线段最短进行处理．

例题：

在直线l上找一点P，使得在直线同侧的点A，B到点P的距离之和AP+BP最小．

Ø精讲精练

1.作已知线段的垂直平分线．

已知：

线段MN．

求作：

直线AB，使AB垂直平分MN．

作法：

（1）分别以_______，______为圆心，___________为半径作

弧，两弧相交于点A和点B；

（2）_______________________________________．

_______________________________________．

2.

（1）过直线上一点，作已知直线的垂线．

已知：

A为直线MN上一点．

求作：

直线AB，使AB⊥MN．

作法：

1________________________________________________

________________________________________________；

2________________________________________________

________________________________________________；

3________________________________________________．

_________________________________________________．

（2）过直线外一点，作已知直线的垂线．

已知：

A为直线MN外一点．

求作：

直线AB，使AB⊥MN．

作法：

1________________________________________________；

2________________________________________________

________________________________________________；

3________________________________________________

________________________________________________；

4________________________________________________．

_________________________________________________．

3.电信部门要修建一座电视信号发射塔，如下图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m，n的距离也必须相等，发射塔P应修建在什么位置？

（不写作法，保留作图痕迹）

4.为打造“宜居城市”，某市拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A，B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A，B之间距离的一半，A，B，C的位置如图所示．请在题目给的原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M的位置（不写作法，保留作图

痕迹）．

5.已知：

如图，点P，Q分别是△ABC的边AB，AC上的两个定点，在BC上求作一点R，使△PQR的周长最小．

第5题图第6题图

6.如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点．若AE=2，当EF+CF取得最小值时，∠ECF的度数为____________．

7.

如图，等腰三角形ABC的底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的最小

周长为_________．

8.已知：

如图，∠ABC=30°，P为∠ABC内部一点，BP=4，如果点M，N分别为边AB，BC上的两个动点，请画图说明当M，N在什么位置时使得△PMN的周长最小，并求出△PMN周长的最小值．

9.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠BAD=110°，在BC，CD上分别找一点M，N．当△AMN周长最小时，求∠AMN+∠ANM的度数．

10.已知：

如图，点P，Q为∠AOB内部两点，点M，N分别为OA，OB上的两个动点，作四边形PMNQ，请作图说明当点M，N在何处时，四边形PMNQ的周长最小．

【参考答案】

Ø课前预习

1.名称、心径

画出草图，基本作图

2.图略

Ø知识点睛

2.

（1）定直线，

（2）将折线转直

图略

Ø精讲精练

1.图略

（1）点M，点N，大于

长

（2）作直线AB

直线AB即为所求

2.

（1）图略

①以点A为圆心，任意长为半径作弧，交直线MN于C，D两点；

②分别以点C，点D为圆心，大于

长为半径作弧，两弧交MN上方于一点B；

③作直线AB．

直线AB即为所求．

（2）图略

①在MN下方任取一点P；

②以点A为圆心，AP长为半径作弧，交MN于C，D两点；③分别以点C，点D为圆心，以大于

长为半径作弧，两弧交MN下方于一点B；

④作直线AB．

直线AB即为所求．

3.略（提示：

AB的垂直平分线和m，n所成角的平分线的交点即为所求）

4.略（提示：

先作出AB的垂直平分线，再以点C为圆心，以

长为半径作弧，交AB的垂直平分线于点M）

5.略（作点P关于BC的对称点

，连接

交BC于点R）

6.30°

7.8cm

8.作图略，△PMN周长的最小值为4．

9.140°

10.如图所示：

点M，N即为所求．

轴对称作图及实际应用（随堂测试）

1.近年来，国家实施“村村通”工程和农村医疗卫生改革，某县计划在张村、李村之间建一座定点医疗站P，张、李两村坐落在两相交公路内（如图所示）．医疗站必须满足下列条件：

①使其到两公路距离相等；②到张、李两村的距离也相等．请你通过作图确定P点的位置（不写作法，保留作图痕迹）．

2.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一点M，N．当△AMN的周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为_________．

特征：

定点：

_________

动点：

_________

动点在定直线：

__________上

目标：

△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数．

操作：

具体操作在图上进行．

【参考答案】

1.图略

2.100°

定点：

A

动点：

M，N

动点在定直线：

BC，CD上

轴对称作图及实际应用（习题）

Ø例题示范

例1：

如图，∠AOB=60°，点P在∠AOB的平分线上，OP=10cm，点E，F分别是∠AOB两边OA，OB上的动点，当△PEF的周长最小时，点P到EF的距离是________．

【思路分析】

此题求解应分为两步：

1找出△PEF的周长最小时E，F的位置；

2求出点P到EF的距离．

结合题目条件：

特征：

有定点（点P），有动点（点E，F），动点在定直线OA，OB上运动，满足△PEF的周长最小，判断这是轴对称最值问题．

操作方法：

作定点关于定直线的对称点，分别作点P关于直线OA，OB的对称点P′和P′′，折转直，利用两点之间，线段最短，找到当△PEF的周长最小时E，F的位置，进而求解．

如图1：

图1图2

如图2，连接OP′，OP′′，

∵∠AOB=60°，OP平分∠AOB，

∴∠AOP=∠BOP=30°，

由轴对称性质可知OP=OP′，OP=OP′′，∠AOP′=∠AOP=30°，

∠BOP′′=∠BOP=30°，

∴OP′=OP′′，∠POP′=∠POP′′=60°，

∴OP平分∠P′OP′′，

∴OP⊥P′P′′

∴点P到EF的距离为线段PC的长．

在△POP′中，∠POP′=60°，OP=OP′

∴△POP′是等边三角形

又∵OP⊥P′P′′，OP=10

∴

Ø巩固练习

1.作已知线段的中点．

已知：

线段MN．

求作：

MN上一点O，使OM=ON．

作法：

（1）分别以_______，_______为圆心，__________为

半径作弧，两弧相交于_______和________；

（2）___________________________________．

___________________________．

2.已知△ABC，利用直尺和圆规，根据下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹），并填空：

（1）作∠ABC的平分线BD交AC于点D；

（2）作线段BD的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，

交BD于点O．

由

（1），

（2）可得：

线段EF与线段OE的数量关系为______________，并证明．

3.如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP=2，点E，F分别是OA，OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于2，则α=________．

4.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一点M，N．当△AMN的周长最小时，∠AMN+∠ANM=_________°．

5.

如图，一牧童在A处放牛，其家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC，BD，且AC=BD，已知A到河岸CD的中点的距离为500米．牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家，请作图说明牧童怎样走路程最短，并求出最短路程．

Ø思考小结

1.轴对称最值问题的特征及操作

特征

①定点、_________

②定直线（_____点所在直线）

③目标：

______________

操作

①_______关于________对称

②连线找_____________

2.如图，在直线l上找一点P，使得在直线同侧的点A，B到点P的距离之和AP+BP最小，并说明理由．

思路提示：

在l上任取一点P′（P′不与P重合），则AP+BP_____AP′+BP′（填“>”、“<”或“=”）理由如下：

①由对称得：

AP=_____，AP′=_____；

②AP+BP=________=________，AP′+BP′=________；

③由_______________________可得AP+BP_____AP′+BP′．

【参考答案】

1.图略

（1）点M，点N，大于

长，点A，点B

（2）连接AB交MN于点O

点O即为所求

2.图略，EF=2OE；证明略

3.30°

4.∠AMN+∠ANM=120°

5.图略，最短路程为1000米

思考小结

1.动点

动

和最小

定点，定直线

交点

2.＜

①

P，

②

P+BP=AB；

+

3角形两边之和大于第三边，＜