进入饱和后等效KJ」振荡性J（原来不稳，非线性系统最多是等幅振荡）限制跟踪速度，跟踪误差，快速性I
I
3•间隙：
（如齿轮，磁性体的磁带特性等）
间隙对系统影响:
1）间隙宽度有死区的特点----使ess^
2）相当于一个延迟T时间的延迟环节—C%振荡性减小间隙的因素的方法：
（1）提高齿轮精度；
（2）米用双片齿轮；
（3）用校正装置补偿。
4.摩擦（如手指擦纸）
摩擦引起慢爬现象的机理
1）、良好润滑
2）、采用干扰补偿
3）、增加阻尼，减少脉冲，提高平衡性
改善慢变化过程平稳性的方法摩擦对系统运动的影响:
5.
对系统运动的影响:
1）、理想继电特性等效
2）、带死区继电特性等效
K:
、二阶系统可以稳定
般地，很多情况下非线性系统会自振
（:
带死区）
快态影响L（死区+饷）的综合效果
二%-11-
.振荡性.
3）、一般继电特性：
除3、2中听情况外，多出一个延迟效果（对稳定性不利）
§7.2相平面法基础（适用于二阶系统）
1.相平面相轨迹
二阶非线性系统运动方程：
x（t）=f[x（t）,x（t）]定常非线性运动方程
即:
dX=f[X,x]dxX
以X为纵标，X为横标，构成一个平面（二维空间）
』称之为相平面（状态平面）
系统运动时，X（t）,x（t）以t为参变量在相平面上
J描绘出的轨迹称为相轨迹（可以描述系统运动）
相平面法是用图解法求解一般二阶非线性控制系统的精确方法。
它不
仅能给出系统的稳定性信息和时间特性信息，还能给出系统运动轨迹
的清晰图象
二维空间（平面）上表示点的运动的概念，可以扩展到N维空间中去
"状态：
系统运动的状况
』状态变量：
表征系统状态的变量
状态平面（相平面）：
由状态变量张成的平面
、状态轨迹（相轨迹）：
系统运动时状态变量在状态平面上描绘出的运动轨迹
1.相平面：
由c，c构成的，用以描述系统运动特性的平面。
相轨迹：
c,c随时间变化在相平面上描绘出来的轨迹。
例：
欠阻尼二阶系统响应的相平面描述----相轨迹
解:
例：
系统方程为「心=0
（=0）求相轨迹方程。
dXdx.dX_
XXnx
dxdtdx
XdX--；xdx
2x2c令2
x2厂A
尬co2
nn
椭圆方程
系统特征方程：
s22^0
特征根：
人,2=±冋（中心点）
平衡点（奇点）：
兀=0
2.二阶系统极点分布，奇点类型及相轨迹形式（见挂图）
自由运动方程范围
极点位置奇点名称
中心点
Jo
稳定焦点
:
:
1
1
一1:
：
:
：
0
X2nXnX=0
稳定节点
注：
1）.奇点二平衡点二各阶导数为0之点；
2）.实极点数值二特殊相轨迹的斜率；
3）.x—0时x右移x<0时x左移x=0时
例1.系统方程为：
xn^0作相轨迹
Isl
极応曲布图
解：
原方程=x型2鼎二x[^2冷]=0
dxdx
即:
x=o--横轴（平衡点集合）卄一-斜率为-2知勺直线族
3.利用线性系统（二阶）奇点性质概略地作出
一类二阶非线性系统的相轨迹。
例2.系统运动方程：
x'X-|x=0，作出其相轨迹
解：
原方程：
X*x"x_0
（1）
M+X-X=Oxc0
（2）
解
（1）：
（s2s1）X（s）=0
%=-0.5±j£稳定焦点
解⑵：
（s2s-1）X（s）=0
S=0.62;s2二-1.62——鞍点
作图，可见初始条件工0时自由运动结果总发散（向负方向）
例3.系统运动方程：
xxsignx=0，作相轨迹。
解：
原方程:
xx"0
xX_1=0
x_0
x：
0
⑶一-平衡点：
x=-1
⑷--平衡点：
x=1
=_j都是中心点
=-j
（相轨迹为圆）
对（3）:
—令三刍x'+x'=0——%对（4）:
_令二x”+x”=0_-s1',2
作图：
见下页:
d£
x（x1）=0x（x1）dx
xdx=—（x1）d（x1）x2=—（x1）2A2
F（x1）2二A2
可见：
系统自由运动总是稳定的:
奇点为一线段1
:
-1,1］,依初始条件（：
0不同,
Lx0
最终可以稳定在］-1,1］之间任一点上
例4.系统运动方程为x•sinx=0求出全部平衡点，并分析其特性。
解：
令x=x=0“sinx=0
平衡点xe=0,二,2二，一k.
当时：
sinAx[|Ax:
e：
（2k+1）兀日寸：
-sinAx[|—Ax：
T在平衡点附近变化时，x是小量，与sinx等价。
.原方程为带：
:
:
:
平衡点颁布及其附近的相轨迹:
4.
f（x,x）:
相平面上此方程对应曲线点上的
x相轨迹斜率为等值二:
系统方程为：
x=x型=-f（x,x）
dx
型=_f（x,x）M：
=相轨迹的斜率
dxx
（1）等倾斜线法:
得出等斜线方程:
给定不同的：
值，画出不同的等斜线，在上面画出斜率等于相应:
的短线，可以构成相轨迹切线的方向场。
由此可画出非线性运动的相轨
4.等倾斜线法
例1,系统如右，用等倾斜线法作系统相轨迹。
解：
对线性部分：
」3
s（Ts+1）U（s）
（Ts2s）C（s）二kU（s）THc丨fk
M
I
u=<0
厂M
x.h
—
c>h
I
-h:
:
:
x:
:
:
h
—
-h：
：
c：
：
h
II
x：
：
-h
—
ch
III
（T：
1）XkM
dc11
dCdC
TCC=（T1）Cdc
dcdc
Ck^（等倾斜线方程，水平线）
Ta+1
T=k=M=11
很T
皿：
TCC—kM，同上讨论可得:
丄-kMT=1k=11
C二=:
…
T:
1M=1:
1
a
-1
2
0
1
oo
-3
-2
3
2
T：
1
2
1
1
0
1
-1
-2
丄：
a+1
2
2
皿：
——
a+1
-2
-1
1
2
0
1
2
1
2
T=1
I
K=1
M=1
n：
tc^0
（「1）c=0
1,
1
T
画出等斜线并作出相轨迹见3号图:
系统自由运动分析:
（1）自由运动收敛，最终达到稳定
（2）最终平衡位置[-h,h]
画等斜线（同例1,I皿区）作相轨迹见6号图
系统自由运动分析：
自由运动的最终状态是自振（对应有一个极限环）
名类极限环（见挂图）
§7.3描述函数法
1.描述函数一般概念
如右图示：
对非线性环节输入正弦信号
般地输入y（t）是一个周期信号y（t）
例：
对于理想的继电特性输出y（t）
可以把周期信号展开成富立哀级数:
□0
y（t）二A'（AncosntBnsinnt）
n仝
QO
=Ao'ynSin（nt；）
n±
12二
其中：
Ao0y（t）d（t）
2兀0
12兀
Any（t）cosntd（t）
12H
Bny（t）sinntd（t）
yn二\ABn
n=arctgBn
对于y（t）中的基波分量（n=1）有:
%（t）二AcostBsin，t=%sin（，t]）
12二
其中：
A=一0y（t）COSCCtd（cct）JI
Bi
=-[J?
y（t）sincotd（cot）
二0
yi
A2B；
A
二arctg-
Bi
例：
对理想继电特性输入（方波信号）中，基波分量可以如下求出
由理想继电特性的对称性，可以确定A,=o。
由y（t）的奇函数特性可以确定A
12兀
B1y（t）sintd（t）
■：
i."0
兀
2y（t）sintd（・t）
^[-cos切孑妙
旳A0
arctg-二arctg0
BB1
B1
4M
y-i（t^AcostB1sint=0sint
如果把各次谐波都加上有:
方波信号是各次谐波分量的迭加
cd
y（t）二A'ynsinn，t
n:
—
二0%（t）y2（t）'HI
4M111
[sintsin3tsin5tsinntHI]
兀35n
数。
而在各次谐波分量中，基波分量最能表征y（t）的特征。
描述函数定义:
对一非线性特性，若输入r（t）二Xsn.t时
Hi）的顿谱图
其输出y（t）中的基波分量为yjtrYsin（mt+些）则定义非线性特性的描述函数：
N（x）亠—B
X1XX
X:
正弦输入的幅值«Y1:
输入中基波分量
瞥:
y1（t）对r（t）的相角差
即：
N（x）A1B-tg
jAi
描述函数一一从线性系统频率特性的角度来描述非线性特性的一种函
描述函数是非线性环节的“频率特性”，是非线性特性的谐波
线性化,
线性系统频率特性是非线性系统描述函数的特例。
描述函数N（X）与频率特性G（j■）概念上不同，但有类似的地方是其谐
线性化，是“频率特性”概念的推广。
4M
例：
理想继电特性：
N（x）0=■0:
X
2.常见非线性特性的描述函数
■:
X
描述函数的确定（以一般继电特性为例）
1）确定y（t）上的特征点J—4由
输入x（t）=xsint曲线可见:
对巴:
Xsin%=ht%=si
X
M~i
对2:
Xsin2二Xsin（二一2）=mh
Es•4mh、sE•Jmh
一2=sint2=—sin
XX
对3:
Xsin3一Xsin（3-二）一h
对;4:
Xsin4--Xsin（2二-4）--mh
小込.imh
2c.'4=sinJ——
X
;:
4=2叫-sin
jmh
cos1=
1记）2
2:
sin-2
由：
mh
cos;:
2=-
1—（;h）2
3:
sin'3
—h
1—（x）2
cos「3=
：
4:
sin;4
-mh
cos;：
4
1呎）2
2）求y（t）中基波分量的系数A,Bi
A1=丄[「Mcostd（t）-Mcostd（t）]
71：
M
=——{[sin
t]2-[sint]：
}
Mmhhmhh
二—[（）_（一
兀XXx
x）]二
叫-1）
■:
x
（xh）
12
B1[!
....Msintd（t）-.护Msintd（-t）]
-—{[-cost]2-[-cost]：
}
JI
—{_[-.1-sin2:
2
71：
JI
YmB1A,
N（x）111j?
X
-sin2:
sin■4…1…sin-3）]}
:
h）2,.1一（：
）2
2t（X）2}
特例:
2}
（xh）
凹（m-1）
型{，-（丁）2.…；）2}
B-i
2M{1_（;咛.
1_（X）2}.j翌（m—1）
■:
X
h=0:
理想继电特性
n（x）=4M
■:
X
m=1:
无滞环有死区N（X）=4M..1一（；）2
m=_1:
纯滞环”以）=等卜（*2」罗
可见，描述函数N（X）—般是非线性特性前，输入正弦信号x（t）幅值X的函数，并且在一般情况下，N（x）是一个复数。
3.用描述函数分析非线性系统
为何引出N（X）的概念：
实际物理系统，严格地讲，都是程度不同地带有非线性因素，非线性系统的许多运动规律是线性系统领域看不到的，如非线性自振。
若一个实际系统（如火炮系统）发生自振，当瞄准具对准一个目标，炮口由于自振而不停摆动，是打不中目标的，另外对系统本身磨损也很厉害，所以有必要把非线性系统的稳定性及自振问题专门拿出来研究。
描述函数法是专门研究一类非线性系统稳定性及其自振问题的方法。
1）描述函数分析法的基本思想
假设一个非线性系统满足以下三个条件：
1）、可以化为如右图的形式;
Ir
N（X）
借用奈奎斯特稳定判据，视负
述函数二为广义的（-1,j0）点，则有:
N（x）
2）、N（X）特性的输入y（当x=Xsint时），基波分量幅值最大；
3）、G（jco）是最小相角系统，且具有较好的低通滤波特性。
（NaM）
注：
许多实际系统均可以满足此条件，所以此法具有较广的实用范围。
贝卩：
N（x）的输出y（t）经G（j.）的滤波处理c（t）信号近似为一正弦信号这样，可以近似把y（t）用其基波信号来代替，用线性系统频率分析法的思想来研究系统稳定性问题。
（2）系统稳定性分析：
由右图可见：
系统自振的条件为（必要条件）：
N（X）G（j0=-1――自身输出反号后满足自身输入的需要
"稳定
G（j）包围
相交于
N（X）
则系统〈不稳定
可能自振（满足自振必要条件）
例：
对理想的继电系统:
判定非线性系统稳定性的方法:
不包围
-1
N（x）＞同画在一个坐标图上当X=Ot变化时，N（X）=—空描绘出一条曲4MGj）.
线（不是定点）
当线性部分传递函数为：
G1（s）T
G（L）包围1＞不稳定（发散）
N（x）
G3（s）,G4（s）＞G3（j「）或G4（j-）不包围二^＞系统稳定（运动收敛）
N（x）
G2（S）r
W）与N（x）在A点相交'系统可能自振
⑶负倒描述函数曲线金的绘制及广义M,j0）点的变化规律：
以纯滞环
继电系统为例:
4Mh24Mh
h4h
No"/N（X）=1-
^j-
N（X）’次-,）-j
把半一等效非线性部分的增益折算到线性部分增益之中。
则标称化的
负倒描述函数:
-■X
No（X）
4h
J1记）2+&
h9h21代）q
2h…X2
w*（h）-Vj]
可见，忒的虚部是一个常数（；），以半为自变量计算画图:
%x>h）
1
2
2.3
2.5
3
4
5
6
O
-O.785
-1.36
-1.63
-1.78
-2.22
-3.O4
-3.85
-4.65
可见，广义的（_i,jO）点匚是随X（当h确定时）的变化而变化的,
No（X）
不是像线性系统时的固定点（-1,jO）。
当非线性系统工作状态（对应一个确定X值）不同时，该广义（—1,jO）点在
"曲线上移动。
N°（X）
见挂图一一常见非线性特性的匚曲
No（X）
线。
（4）自振分析：
<1>必要条件：
G（j^）==^——G（jo）曲线与
N（X）N（X）
如右系统：
1）、对于A（-1）穿进MGj）曲线的点
N（X）h
a!
a（Xi）在之外，运动趋于稳疋’Xi'］不稳定极限环
.A2（X2）o"丿内发散，x2
2）、对于B――（二穿出MGj）曲线的点
N,（X）h
B[B1（X3）在G0j）之内，运动趋于发散：
X3J稳定极限环
B2（X4）0夕卜稳定：
X4"
可见，当初始扰动使X。
不同时，系统运动规律不同：
Xo.°"运动收敛到平衡点（稳定）
Xb
对应自振
<2>自振的判定方法：
（总结出来的结论）
-1_X
No（X）
非稳定自振点（不稳定极限环）-确定r：
、疋的界限
穿入发散
穿出G0（j）稳定自振点（稳定极限环）—确定一个自振状态
相切于半稳定自振点（半稳定的极限环）
例：
P32-5中交点A是一个稳定
的自振点，该系统不论初始扰动大
小，最后总要自振（不会发散，也不会收敛到零）
<3>自振参数的确定及参数变化时系
统运动的规律
自振幅值——由交点
B上的X值X6确定（系统各点的幅
No（X）
值可以折算过去）
自振频率——由交点
B上G（r）的「值「0定，参数变化时，系
统运动规律分析:
参数变体时，系统运动的规律分析：
①k°=Mk变化时，（h不变，Mk变化时）h
自振循环点（X^X2）时自振加剧骨
^0:
0总稳定■,—石瓦时-系统收敛-稳定界限x2l
K1"
2h变化时（h变化，但保持—不变）
h
XX
h:
hT_对应B点：
仝=常值TX6_B点自振幅值（叽不变）hh
变化时，对应—曲线不同
3N°（X）
T1,T2不同时，G（j’）曲线不同
<4>定量计算
例：
90年西工大研究题（10分）
已知系统结构图如右，试求系统产生
'应分开来讨论
自振时的振幅和频率（M=1）
理想继电特性描述函数N（X）二理
■:
X
解：
依题大致作出j和朮图形：
明显，嘗稳定的自振点
（G（j）虚部为0的点）
SjJ10）（j2）
_10（-j）（j'-1）（j'-2）
2222
'（‘1）（'2）
22
_-10j[2-•-3j，]_-30，
XT誌J直/k^\
|G]
/G（j«）
0
2
一」10（2一）—jY
222222
■（-1）（-4）1（11）（14）
I©=°0
令其虚部为0：
（自振频率）
求实部值：
ReG（j2）
-30
29~
（'1）（24）
-30
@=-1.667
2（21）（24）3
由自振的必要条件:
N（x）
有：
「TIM
X1.667=2.122（自振幅值）
例：
非线性系统如右图所示:
要求要产生一个'J的周期信
x=4
M=1,
号，求
系统参数K,.
分析：
画出侖与G（j）曲线可见：
当K改变时’只影响自振幅值X，不改变自振频率「，而当时，会使自振频率降低，幅值增加。
所以调节K,.参
数实现所需的自振参数。
解:
由自振条件:
G（j•）N（x）二-1
4M
■:
x
j（1j）（2j）1
4KMej二
二-j心j）（2j•）=32-j（2~2）
二•.4•5'亠tg」2_
代入M=1,x=4,=1：
K-=3_j1=.10/tg^1
357.3
例：
将右图非线性系统化为串联形式，求出等效的开环传递函数
解法一：
将非线性特性视为线性环节来对待，则由梅逊公式:
（s）=.KN（x）.K
JsJs2
D（s）二Js2KKsN（x）=0
Js2KKsN（x）
KsN（x）--（Js2K）
N（x）
Ks
Js2K
G（s）二
Ks
2
JsK
解法二：
用结构图等效化简法：
如右图化简63启
升级会员 