数学2考研真题和答案解析详解.docx
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数学2考研真题和答案解析详解
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2017年全国硕士研究生入学统一考试
数学
（二）
（科目代码302）
考生注意事项
1.答题前，考生必须在试题册指定位置上填写考生姓名和考生编号；在答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。
2.考生须把试题册上的试卷条形码粘贴条取下，粘贴在答题卡“试卷条形码粘贴位置”框中。
不按规定粘贴条形码而影响评卷结果的，责任由考生自负。
3.选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。
超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。
4.填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔或者钢笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。
5.考试结束后，将答题卡和试题册按规定一并交回，不可带出考场。
考生姓名：
考生编号：
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2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题：
1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求
的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
．．．
1
cosx
0在x
（1）若函数f（x）
ax
x
0
处连续，则（
）
b,x0
（A）
1
（B）
ab
1
（C）ab
0
（D）ab
2
ab
2
2
（2）设二阶可导函数
f
（x）满足f
（1）
f（
1）
1,f（0）
1
且f''（x）
0，则（
）
（A）
1
0
B
1
0
f（x）dx
f（x）dx
1
1
（C）
0
1
f（x）dx
D
0
f（x）dx
1
f（x）dx
0
1
f（x）dx
1
0
（3）设数列xn收敛，则（）
（A）当limsinxn
0
时，limxn
0
（B）当lim（xn
xn）
0时，limxn
0
n
n
n
n
（C）当lim（xnxn
2）
0时，limxn0
（D）当lim（xn
sinxn）
0时，limxn
0
n
n
n
n
（4）微分方程的特解可设为
（A）Ae2x
e2x（Bcos2x
Csin2x）
（B）Axe2x
e2x（Bcos2x
Csin2x）
（C）Ae2x
xe2x（Bcos2x
Csin2x）
（D）Axe2x
e2x（Bcos2x
Csin2x）
（5）设f（x,y）具有一阶偏导数，且对任意的
f（x,y）
f（x,y）
，则
（x,y），都有
0,
0
x
y
（A）f（0,0）
f（1,1）
（B）f（0,0）
f（1,1）
（C）f（0,1）
f（1,0）
（D）f（0,1）
f（1,0）
（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方
10（单位：
m）处，图中实线表示甲的速度曲线
vv1（t）（单
位：
m/s），虚线表示乙的速度曲线v
v2（t），三块阴影部分面积的数值依次为
10,20,3
，计时开始后乙
追上甲的时刻记为
t0（单位：
s），则（
）
（A）t010
（B）15t0
20
（C）t025
（D）t0
25
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v（m/s）
1020
051015202530t（s）
0
（7）设A为三阶矩阵，P（
1,
2,3）为可逆矩阵，使得P1AP
1
，则A（1,2,3）
（
）
2
（A）12
（B）
2
23（C）23
（D）1
22
2
0
0
2
1
0
1
0
0
（8）设矩阵A0
2
1
B
0
2
0
C
0
2
0
则（
）
0
0
1
0
0
1
0
0
2
（A）A与C相似,B与C相似
（B）A与C相似,B与C不相似
（C）A与C不相似,B与C相似
（D）A与C不相似,B与C不相似
二、填空题：
9
14小题，每小题
4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
．．．
（9）
曲线yx1arcsin
2的斜渐近线方程为_______
x
（10）
设函数y
y（x）由参数方程
x
tet
确定，则d2y
______
y
sint
dx2
t0
（11）
ln（1
x）dx
_______
0
（1x）
2
（12）
设函数f（x,y）具有一阶连续偏导数，且df（x,y）
yeydxx（1y）eydy，f（0,0）
0，则
f（x,y）
______
1
1tanx
______
（13）
dy
x
dx
0
y
4
1
2
1
（14）设矩阵A
1
2
a的一个特征向量为
1，则a
_____
3
1
1
2
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三、解答题：
15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或
．．．
演算步骤.
x
分）求极限lim
xtetdt
（15）（本题满分
10
0
3
x0
x
（16）（本题满分
10
分）设函数
f（u,v）具有2阶连续偏导数，y
f（ex,cosx），求dy
，d2y
dxx0
dx2
x0
（17）（本题满分
10分）求lim
n
k2ln1
k
n
k1
n
n
（18）（本题满分10分）已知函数y（x）由方程x3y33x3y20确定，求y（x）的极值
（19）（本题满分10分）设函数f（x）在区间[0,1]上具有
2阶导数，且f
（1）0,lim
f（x）
0，证明：
x0
x
（
）方程f（x）
0在区间（0,1）内至少存在一个实根；
（
）方程f（x）f
'（x）（f'（x））2
0在区间（0,1）内至少存在两个不同实根。
（20）（本题满分
11分）已知平面区域D
x,y|x2
y22y,计算二重积分
x
2
dxdy。
1
D
（21）（本题满分
11分）设y（x）是区间
0,
3
内的可导函数，且y
（1）0，点P是曲线L:
y
y（x）上
2
任意一点，L在点P处的切线与y轴相交于点
0,Yp
，法线与x轴相交于点Xp,0
，若Xp
Yp，求L
上点的坐标x,y满足的方程。
（22）（本题满分
11分）设3阶矩阵A
1,
2,
3
有3个不同的特征值，且
3
1
2
2。
（）证明：
r（A）2
（
）若
12
3，求方程组Ax
的通解。
（23）（本题满分
11分）设二次型
f（x1,x2,x3）2x12
x22
ax32
2x1x28x1x32x2x3在正交变换
X
QY下的标准型
1y12
2y22
，求a的值及一个正交矩阵
Q.
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参考答案
【答案】A【解析】lim1cos
x
1x
1
1
1.选A.
1.
lim
2
f（x）在x
0处连续
b
ab
x
0
ax
x0
ax
2a
2a
2
【答案】B【解析】f（x）为偶函数时满足题设条件，此时
0
f（x）dx
1
2.
f（x）dx，排除C,D.
1
0
2x2
1
f（x）dx
1
2x2
1dx
2
0，选B.
取f（x）
1满足条件，则
1
1
3
3.
【答案】D【解析】特值法：
（A）取xn
，有limsin
xn
0,lim
xn
，A错；取xn
1，排除B,C.
n
n
所以选D.
2
4
8
0
2
2i
4.
【答案】A【解析】特征方程为：
1,2
f（x）
e2x（1
cos2x）e2x
e2xcos2x
y1*
Ae2x,y2*
xe2x（Bcos2x
Csin2x）,
故特解为：
y*
y1*
y2*
Ae2x
xe2x（Bcos2x
Csin2x）,选C.
5.
【答案】【解析】
f（x,y）
0,
f（x,y）
0,
f（x,y）
是关于
x的单调递增函数，是关于
y
的单调递
C
x
y
减函数，所以有
f（0,1）
f（1,1）
f（1,0），故答案选D.
6.
【答案】B【解析】从
0到t0
t0
t0
这段时间内甲乙的位移分别为
v1（t）dt,
v2（t）dt,则乙要追上甲，则
0
0
t0
v1（t）dt10，当t0
25时满足，故选C.
v2（t）
0
7.【答案】B【解析】
0
0
0
P1AP
1
APP
1
A（1,2,3）（1,2,3）
1
223,
2
2
2
因此B正确。
8.【答案】B【解析】由
E
A
0可知A的特征值为2,2,1,因为3r（2E
A）
1，∴A可相似对角化，
1
0
0
即A~0
2
0
由
EB
0
可知B特征值为2,2,1.因为3r（2EB）
2，∴B不可相似对角化，
0
0
2
显然C可相似对角化，∴
A~C，但B不相似于C.
lim
y
lim（1arcsin2）
1,limyx
limxarcsin2
2,
x
x
x
x
x
x
x
9.【答案】y
x2【解析】
x
2
y
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10.【答案】
1
【解析】
8
dy
cost,dx
1et
dy
cost
dt
dt
dx
1et
'
d2y
cost
et）
costet
d2y
1
et
sint（1
1
dx2
dx
1et
2
dx2t0
8
dt
11.【答案】1【解析】
ln（1x2
）dx
ln（1
x）d
1
0
（1x）
0
1x
ln（1
x）
1
1
x
0
0（1
x）2dx
1
2dx
1.
（1x）
0
12.【答案】xyey
【解析】fx
yey,fy
x（1
y）ey,f（x,y）
yeydxxyey
c（y）,故
fy
xey
xyey
c（y）
xey
xyey，因此c
（y）0，即c（y）
C，再由f
（0,0）0，可得
f（x,y）xyey.
13.【答案】
lncos1
dy
dx
dx
dy
tanxdxlncos1
.【解析】交换积分次序：
1
1
tanx
1
xtanx
1
0
y
x
0
0
x
0
1
14.【答案】-1【解析】设
1，由题设知A，故
2
4
1
2
1
1
1
12a1
1
32a
故a1.
3
1
1
2
2
2
2
x
tet
15.【答案】2【解析】lim
x
dt，令x
x
xtetdt
0
x
0
3
tu，则有
uexudu
uexudu
3
x
0
0
x
0
x
x
x
ueudu
uexudu
ex
原式=lim
0
3
lim
0
3
x
0
x2
x0
x2
x
u
uedu
x
lim0
lim
xe
2
x
0
3
x0
3
1
3
x2
x2
2
16.【答案】dy
dxx0
x0
yf（ex,cosx）
dyf1'exdxx0
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'
d2y
''
（1,1）,【解析】
f1
（1,1）,
f11
dx2
x0
y（0）
f（1,1）
f2'
sinx
f1
'（1,1）1f2'（1,1）0f1
'（1,1）
x
0
d
2
y
结论：
f11''e2x
f12''ex（
sinx）
f21''ex（sinx）f22''sin2xf1
'ex
f2'cosx
dx2
d2
y
''
'
'
dx2
x0
f11
（1,1）
f1
（1,1）
f2
（1,1）
dy
f1'（1,1）
dxx
0
d2y
''
'
'
（1,1）
dx2
f11（1,1）
f1
（1,1）f2
x
0
17.【答案】1【解析】
4
lim
n
k
ln（1
k
1
1
1
21
（ln（1x）x
21
1x2
11
1
2
）
xln（1x）dx
ln（1
x）dx
0
0
dx）
n
k1
n
n
0
2
0
2
1
x
4
18.【解析】两边求导得：
3x23y2y'33y'0
（1）
令y'
0得x
1
对
（1）式两边关于
x求导得
6x
6y
2
3y2y''
3y''
0
（2）
y'
将x
1代入原题给的等式中，得
x
1
x
1
y
or
，
1
y
0
将x
1,y1
代入
（2）得y''
（1）
1
0
将x
1,y
0
代入
（2）得y''
（1）
20
故x
1为极大值点，
y
（1）
1；x
1为极小值点，y（
1）
0
19.【解析】
（I）f（x）二阶导数，
f
（1）
0,lim
f（x）
0
x0
x
解：
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