大规模传染病的疫情控制模型分析.docx
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大规模传染病的疫情控制模型分析
大规模传染病疫情控制模型分析
摘要：
大规模传染性疾病突然爆发和迅速蔓延对人类生存造成巨大威胁。
2009年始于美洲H1N1甲型流感又开始了在世界范围内大规模传播，因此对于H1N1甲型流感疫情防控和发展情况进行预测显得尤为重要。
本文利用数学模型来解决这个问题。
问题一，根据微分方程原理，建立一个传统传染病模型，此模型为近似于自然传播时S-I-R模型。
对模型进行求解，可得到传染病在自然传播下预测函数。
结论是：
在爆发初期还未进行有效防控措施时，确诊人数快速增加。
问题二，我们是在问题一基础上，考虑政府对疫情采取防控措施情况下，传染病传播和发展趋势。
对模型求解结果进行分析和检验可得：
越早采取隔离措施、隔离强度越强对疫情控制越有利，且当“=0.7时，和中国患病人数增长曲线拟合较好，因此可知中国政府对疫情控制力度应该是0.7左右。
关键字：
H1N1；甲型流感；微分方程；S-I-R模型
引言
甲型H1N1流感病毒：
甲型H1N1流感病毒是A型流感病毒,携带有H1N1甲型猪流感病毒，包含有北美和欧亚猪流感、禽流感和人流感三种流感病毒核糖核酸（RNA）基因片断，同时拥有亚洲猪流感和非洲猪流感病毒特征。
易感类：
（S类）指虽未得病但和己病者接触后容易受到感染一类人。
感染类：
（I类）指感染上某种病原体一类人。
移出类：
（R类）指因患病而被隔离或感染死亡或因痊愈而具有免疫力一类人，他们这时既非感染者，也非易感染者，实际上已经退出了我们所考虑传染病系统。
在这里我们用治愈者（R）和死亡者（D）代替。
1、问题提出
2002年爆发非典疫情给全世界，尤其是中国留下了永远无法磨灭记忆。
大规模传染性疾病突然爆发和迅速蔓延对人类生存造成了巨大威胁。
2009年始于美洲H1N1甲型流感又开始了在全世界范围内大规模传播，截至2009年6月11日，世界卫生组织宣布全球共报告患者人数共28774人,遍布74个国家和地区。
同日，世界卫生组织还召开了紧急专家会议，决定将甲型H1N1流感大流行警戒级别提升至最高第六级，意味着宣布“甲流”进入全球大流行阶段。
面对来势汹汹疫情，中国政府汲取了2002年非典疫情控制经验和教训。
疫情一开始就采取了坚决有效防控措施，对患者和和患者密切接触人员一经发现，立刻进行隔离，直至排除发病可能。
这些措施对疫情控制起到了明显效果。
截至2009年6月1413,中国内地共发现196例患者，尚无一个死亡病例。
而一些美洲国家患者人数上升速度却较快。
现建立数学模型完成以下问题：
（1）搜集疫情爆发初期中国H1N1疫情统计数据，建立数学模型并对疫情发展情况进行预测；
（2）建立数学模型来刻画有效防控措施对疫情传播作用，并结合预报结果分析、比较采取防控措施力度大小对疫情影响。
2、模型假设
（1）H1N1甲型流感可由猪传染给人，也可在人群间传播。
本模型仅考虑人群间传播。
（2）认为疫情持续期间内系统总人数不变，同时不考虑此期间出生人口和自然死亡人口。
（3）H1N1甲型流感潜伏期为1至7天左右，本模型取7天。
（4）将所考查人群分为易感类、感染类、治愈者、死亡者四类。
（5）假设己治愈患者二度感染概率为0,即患者具有免疫能力，不考虑其再感染。
（6）假设所有患者均为“他人输入型”患者，即不考虑人群个体自身发病。
（7）假设己被隔离人群之间不会发生交叉感染。
（8）不考虑隐性H1N1甲型流感患者，即只要感染上H1N1甲型流感病毒患者最终都会表现出症状。
3、符号说明
符号含义
g现有感病者人数
5（/）易感者人数
K（O累计感病者人数
R（f）治愈人数
D⑴死亡人数
5病人死亡率
kl病人治愈率
厂⑴未被隔离病人平均每人每天传染人数
"隔离强度
/时间
I常量参数
久反映巾）变化快慢
4、问题分析
对问题一：
该问题是对一个继SARS后又一个比较典型传染病模型研究。
由于H1N1传播受交通、某地区人流量、社会经济、文化等因素影响,而影响疫情发展趋势最直接因素是：
感染考数量、传播形式以及病毒本身传播能力、对感染考隔离强度、入院时间等，我们在建立模型时不可能也没有必要考虑所有因素，只需抓住关键因素，进行合理假设并建立模型。
首先我们把人群分为四类：
易感人群、感病人群、治愈人群和死亡人群，分别用S（/）、/⑴、R⑴和D⑴表示。
然后建立一个传统传染病模型，此模型为近似于自然传播时S-I-R模型，即如下图所示：
图1疫情传播示意图
对问题二：
随着感病人群数量增加，人们防范意识逐渐增强，促使日传染率减小。
引起人们防范措施增强原因主要有两方面：
（1）来自于因对疫情恐慌心理，而迫使人们加强自身防范意识；
（2）来自卫生部门政策、法律法规颁布等，而加强了防范措施意识。
以上两个方面又都受疫情严重程度影响，关系如图2所示：
这些因素都可以使W）减小，但主要体现在卫生部门隔离强度"和采取隔离措施时间！
上。
即模型二是在模型一基础上考虑隔离强度〃和时间/因
素，建立微分方程模型。
图2疫情影响关系图
5、模型建立和求解
5.1问题一
5.1.1模型建立
假设产生第一例H1N1甲型流感病人之后&时间内是近似于自由传播时段，隔离强度为0,每个病人每天感染人数「⑴为一常数。
我们考虑自然传播下儿类人群变化情况，并通过分析各类人群状态转化关系，建立微分方程，得到S-I-R模型。
现有感病人数变化是由A/时间段内新增感病者、死亡人数和痊愈人数决定：
现有感病人数变化=新增感病人数一（死亡人数+痊愈人数）O
「为每个未被隔离病人每天感染人数，人和人分别为治愈率和死亡率。
则有新增感病人数为现有感病者在单位时间（天）内感染人数：
新增感病人数二现有感病人数X感病者每人在△/时间内感染人数
=Z（/）xrxAZ
新增死亡人数二死亡率X现有感病人数X△/
二I（t）xAr
新增痊愈人数二痊愈率X现有感病人数xzV
-k2xZ（r）xAr
于是可得：
（1）现有感病人数变化为：
I（t+A/）一I（f）=I（t）xrxAf-伙］+x△/
"+；「/（/）=z.x/（0_&+◎>当A/—0时，^^=rl⑴一&+£，”（/）
dt
（2）死亡人数变化二新增死亡人数，则有：
D（r+△/）-D（f）=k、Z（r）Ar以+十以）詁“当A/—O时，
（3）同理，痊愈人数变化二新增痊愈人数，则有：
R（f+N）-R（t）=kJ⑴△/
当—0时，
（4）累计感病人数二现有感病人数+死亡人数+痊愈人数，则有:
综上所述，我们可以得到甲型H1N1流感S-I-R模型，模型一:
竽"⑴―心”⑴
（1）
dD⑴
dt
其中，初始値为
5.1.2模型求解
对于现有感病者人数/（O，根据S-I-R模型方程
（1）,求得:
/⑴二,
（2）
其中，
我们根据以上求出解，作出了中国现有感病者人数预测图，如图3所示：
图3中国现有感病者人数预测图
由图3分析可知，中国H1N1确诊者人数上升较快，这是因为中国政府在爆发初期还未进行有效防控措施，使得确诊人数快速增加。
5.2问题二
5.2.1模型建立
在疫情发生一段时间后，卫生部门会采取有效防控措施，如强制隔离感染者和密切接触者等。
本模型为采取有效防控措施之后传染病模型，即考虑隔离强度pO
隔离强度从自然状态下0变为P。
未被隔离病人平均每人每天感染人数「随时间逐渐变化，它从初始最大值°+b逐渐减小至最小值a。
b值客观存在，可从资料中查到。
设每个未被隔离病人每天感染人数r（Z）=a+he~/!
其中，A用来反映P）变化快慢，可以查资料估计出它大小（2=0.02）。
类似于问题一分析，我们来考虑在采取隔离措施后/到『+△/时段内各
类人群变化情况。
现有感病人数变化是由A/时间段内新增感病者、死亡人数和痊愈人数决定：
现有感病人数变化=新增感病人数一（死亡人数+痊愈人数）O
厂⑴为每个未被隔离病人每天感染人数，匕和心分别为治愈率和死亡
率。
则有新增感病人数为现有感病者在单位时间（天）内感染人数：
新增感病人数二现有感病人数X感病者每人在△/时间内感染人数
二（1一“）・/（｝）・/・（/）・△/
新增死亡人数二死亡率X现有感病人数XZV
二k、x/（r）xAr
新增痊愈人数二痊愈率X现有感病人数
=k2xl（t）xAT
于是可得，
（1）现有感病人数变化为：
/（/+△/）-/（/）
△/
/（/+A/）一/（f）=（1-/?
）/（/）xx△/—伙］+k2）I（t）xAr=（1-p）rx/（/）—伙i+灯）x/（f）
当A/T0时，—=（1一〃）〃（/）一&+J）/（/）at
（2）死亡人数变化二新增死亡人数，则有:
当A/T0时，
（3）同理，痊愈人数变化二新增痊愈人数，则有:
当A/T0时，
（4）累计感病人数二现有感病人数+死亡人数+痊愈人数，则有:
综上所述，可得微分方程模型二
dt
其中,
初始值取模型一最后一个值。
5.2.2模型求解
我们求得现有感病人数方程：
[（1-卩）“比-愆“+上空上二2
1（f）二eAJwAf（4）
其中，
经由分析得①b为常量参数，"和几为待估计参数。
现在来估计“和
2,现分别取p和久估计值为:
p=0.6,0.7,0.82=0.02。
至此/⑴即为关于/一元确定函数。
根据以上求解结果，我们可以作出采取有效措施后感病者人数预测图,如图4所示：
图4采取不同力度措施后感病者人数对比图
控制力度P不同，患病人数增长快慢不同，且对患病人数增长速度影响较大。
控制力度越大，则其患病人数越少；反之，控制力度越小，则患病人数越多，患病人数增长越快。
从图中可知当〃=0.7时，和中国患病人数增长曲线拟合较好，因此可知中国政府对疫情控制力度应该是0.7左右。
5.2.3控制力度大小对患病人数增长对比
中国控制力度大于美国对疫情防控力度，因此我们以中国和美国作为防控力度大小不同两个国家进行对比。
如下图：
由图5可得：
在甲型H1N1流感疫情爆发初期，美国没有采取有力防控措施，加上美国是一个世界大国，人口流动很快，致使疫情迅速蔓延到全球，并且迅速增长。
相对于美国而言，中国政府有了非典时期经验和教训，从而在疫情爆发初期就采取了强有力防控措施，如隔离确诊病人、疑似病人和密切接触者，尽力将病毒感染率降到最低。
这些措施对疫情控制起到了明显效果。
2.5
1.5
姜国和中国患病人数趋势團
美国
图5中国和美国患病人数趋势对比图
结束语
（1）为了简化模型复杂性，我们设定隔离强度，治愈率、死亡率等参数在一定时间段内不发生变化，而实际情况下，随着感染人数减少是会发生变化，还需要针对具体情况做具体分析。
（2）模型把人群每一个个体、每一个地区视为相同，忽略了性别、年龄结构以及地区差异对隔离措施强度、控制时间等参数影响，而事实上，个体免疫力是和个体年龄因素有关，同时不同地域对疫情趋势也有影响。
（3）模型一中对人群划分不够细致，还应该考虑潜伏者和确诊者对模型影响。
（4）模型二中没有考虑人们防范意识对疫情发展趋势影响。
［参考文献］
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［41H1N1专题网，
httr:
//,2009年7月260.
［5］戴朝寿，孙世良.数学建模简明教程［M］,北京；高等教育出版社，2007年7月.
PropagationmodelAnalysisofH1N1
TianJia
（DepartmentofMathematics,Xi'anUniversityofArtsandScience,
Xi'an710065,China）
Abstract：
Suddenly,large-scaleinfectiousdiseasesbrokenout・Humanbeingwereattackedwithit.Beganin2009,theH1N1influenzaintheAmericasbeganintheworldwidelarge-scaletransmission,ItisparticularlyimportantthattheH1N1influenzaoutbreakforpreventionandcontrollingandpredictingdevelopments.
Inthispaper,mathematicalmodelsisusedtosolvetheproblem.
1.Accordingtotheprincipleofequations,wecanbuildatraditionaldiseasemodelanditissimilartotheSIRmode1・Thepredictivefunctionunderthenaturalspreadofinfectiousdiseasesisavailablebysolvethemode1・Conclusionis：
notyettakeeffectivecontrolmeasures,thenumberdiagnosedincreaserapidly.
2.WeareconsiderwiththespreadofinfectiousdiseasesandtrendsunderthecontrolmeasurestakenbytheGovernment・Throughanalysisandtestthemodelresults,wehadthemoresoonerisolationandstrongercontrolactionandthemorefavorableofDiseasesControlling・TheChineseGovernmenteffortstocontrolthediseaseshouldbeabout0.7.
Keywords:
H1N1;influenza;SIRmodel:
equations
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