十字相乘法.docx

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十字相乘法

北　京　四　中

　　　　撰　稿：

史卫红　　　编　审：

谷　丹　　　责　编：

赵云洁

因式分解——分组分解法

　　一、分组分解法分解因式的意义

　　我们把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公式法进行分解，然后，综合起来，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果。

这种分解因式的方法叫做分组分解法。

　　二、学习指导：

　　如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式，那么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。

　　分组分解法适用于不能直接使用提取公因式法，公式法和十字相乘法的多项式。

　　分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法。

通过对多项式进行适当的分组，把多项式转化为可以应用基本方法分解的结构形式，使之具有公因式，或者符合公式的特点等，从而达到可以利用基本方法进行分解因式的目的。

我们有目的地将多项式的某些项组成一组，从局部考虑，使每组能够分解，从而达到整个多项式因式分解的目的，至于如何恰当地分组，需要具体问题具体分析，但分组时要有预见性，要统筹思考，减少盲目性，分组的好坏直接影响到因式分解能否顺利进行。

通过适当的练习，不断总结规律，便能掌握分组的技巧。

　　三、例题分析

　　例1、分解因式：

（1）2x2+2xy-3x-3y　　　　

（2）a2-b2+4a-4b

　　（3）4x2-9y2-24yz-16z2　　　（4）x3-x2-x+1　　　　

　　分析：

首先注意到前两项的公因式2x和后两项的公因式-3，分别把它们提出来，剩下的是相同因式（x+y），可以继续用提公因式法分解。

此题也可以考虑含有y的项分在一组。

如下面法

（二）解法。

　　解

（一）2x2+2xy-3x-3y

　　　　=（2x2+2xy）-（3x+3y）

　　　　=2x（x+y）-3（x+y）

　　　　=（x+y）（2x-3）

　　解

（二）2x2+2xy-3x-3y

　　　　=（2x2-3x）+（2xy-3y）

　　　　=x（2x-3）+y（2x-3）

　　　　=（2x-3）（x+y）

　　说明：

解法1和解法2虽然是不同的分组方式，但却有着相同的内在联系，即两组中的对应项系数成比例，分别为1：

1和2：

（-3）。

这也是分组中必须遵循的规律之一。

（2）分析：

若将此题按上题中法

（二）方法分组将含有a的项分在一组即a2+4a=a（a+4），含有b的项一组即-b2-4b=-b（b+4），那a（a+4）与-b（b+4）再没有公因式可提，不可再分解下去。

可先将a2-b2一组应用平方差公式，再提出因式。

　　解：

a2-b2+4a-4b

　　　=（a2-b2）+（4a-4b）

　　　=（a+b）（a-b）+4（a-b）

　　　=（a-b）（a+b+4）

　　（3）若将此题应用

（2）题方法分组将4x2-9y2一组应用平方差公式，或者将4x2-16z2一组应用平方差公式后再没有公因式可提，分组失败。

观察题中特点，后三项符合完全平方公式，将此题二、三、四项分组先用完全平方公式，再用平方差公式完成分解。

　　解：

4x2-9y2-24yz-16z2

　　　=4x2-（9y2+24yz+16z2）

　　　=（2x）2-（3y+4z）2

　　　=（2x+3y+4z）（2x-3y-4z）

　　（4）分析：

此题按照系数比为1或者为-1，可以有不同的分组方法。

　　法

（一）x3-x2-x+1

　　　　　=（x3-x2）-（x-1）

　　　　　=x2（x-1）-（x-1）

　　　　　=（x-1）（x2-1）

　　　　　=（x-1）（x+1）（x-1）

　　　　　=（x+1）（x-1）2

　　法

（二）原式=（x3-x）-（x2-1）

　　　　　　　　=x（x2-1）-（x2-1）

　　　　　　　　=（x2-1）（x-1）

　　　　　　　　=（x+1）（x-1）（x-1）

　　　　　　　　=（x+1）（x-1）2

　　说明：

分组时，不仅要注意各项的系数，还要注意到各项系数间的关系，这样可以启示我们对下一步分解的预测，如下一步是提公因式还是应用公式等。

　　说明：

一般对于四项式的多项式的分解，若分组后可直接提取公因式，一般将四项式两项两项分成两组，并在各组提公因式后，它们的另一个因式恰好相同，在组与组之间仍有公因式可提，如例1

（1）题的两种解法。

两项两项分组后也可各自用平方差公式，再提取组之间的公因式。

如例1的

（2）题、（4）题。

若分组后可应用公式还可将四项式中进行三项和一项分组先用完全平方公式再应用平方差公式。

如例1中的（3）题。

　　例2、分解因式：

（1）m2+n2-2mn+n-m

　　分析：

此题还是一个五项式，其中m2-2mn+n2是完全平方公式，且与-m+n=-（m-n）之间有公因式可提取，因而可采用三项、二项分组。

　　解：

m2+n2-2mn+n-m

　　　=（m2-2mn+n2）-（m-n）

　　　=（m-n）2-（m-n）

　　　=（m-n）（m-n-1）

　　例3．分解因式:

（1）x2-y2-z2-2yz+1-2x　

（2）x2-6xy+9y2-10x+30y+25

　　（3）a2-a2b+ab2-a+b-b2

　　分析：

此题是一个六项式，经过分析可采用三项，三项分组，x2-2x+1一组，-y2-2yz-z2一组，分别用完全平方公式后再用平方差公式分解。

　　解：

x2-y2-z2-2yz+1-2x

　　　=（x2-2x+1）-（y2+2yz+z2）

　　　=（x-1）2-（y+z）2

　　　=（x-1+y+z）（x-1-y-z）

　　分析

（2）：

此题也是六项式，前三项是（x-3y）2，而最后一项是52，中间两项恰巧能分解成-2·5（x-3y），所以可以用完全平方公式来分解。

　　解：

x2-6xy+9y2-10x+30y+25

　　　=（x2-6xy+9y2）-10x+30y+52

　　　=（x-3y）2-2·（x-3y）·5+52

　　　=（x-3y-5）2

　　（3）分析此题还是六项式，但都不具备上述两题的特征，可将这六项式二项、二项、二项分成三组，各自提取公因式，再提取三组间的公因式。

　　解：

a2-a2b+ab2-a+b-b2

　　　=（a2-b2）-（a2b-ab2）-（a-b）

　　　=（a+b）（a-b）-ab（a-b）-（a-b）

　　　=（a-b）（a+b-ab-1）

　　　=（a-b）[（b-1）-a（b-1）]

　　　=（a-b）（b-1）（1-a）

　　说明：

此题分解到（a-b）（a+b-ab-1）时要用观察提取公因式的剩余因式（a+b-ab-1）是否能再分解因式。

因为它又是四项式，不能应用公式和提取公因式可再考虑分组分解法采用二项二项分组法再提取公因式。

　　例4．分解因式：

（1）3x3+6x2y-3x2z-6xyz　

（2）ab（c2+d2）+cd（a2+b2）

　　（3）（ax+by）2+（bx-ay）2　　　　　　（4）a2-4ab+3b2+2bc-c2　　

　　分析：

此题是四项式，这四项中有公因式3x应先提取公因式再将剩余因式进行二、二分组。

　　解:

3x3+6x2y-3x2z-6xyz

　　　=3x（x2+2xy-xz-2yz）

　　　=3x[（x2+2xy）-（xz+2yz）]

　　　=3x[x（x+2y）-z（x+2y）]

　　　=3x[（x+2y）（x-z）]

　　　=3x（x+2y）（x-z）

（2）分析：

多项式带有括号，不便于直接分组，先将括号去掉，整理后再分组分解。

　　解：

ab（c2+d2）+cd（a2+b2）

　　　=abc2+abd2+a2cd+b2cd

　　　=（abc2+a2cd）+（abd2+b2cd）

　　　=ac（bc+ad）+bd（ad+bc）

　　　=（bc+ad）（ac+bd）

　　（3）先将括号部分分别用完全平方公式打开再分组分解。

　　解：

（ax+by）2+（bx-ay）2

　　　=a2x2+2abxy+b2y2+b2x2-2abxy+a2y2

　　　=a2x2+b2y2+b2x2+a2y2

　　　=（a2x2+b2x2）+（b2y2+a2y2）

　　　=x2（a2+b2）+y2（a2+b2）

　　　=（a2+b2）（x2+y2）

　　（4）分析：

将3b2变形为4b2-b2再分组进行。

　　解：

a2-4ab+3b2+2bc-c2

　　　=a2-4ab+4b2-b2+2bc-c2

　　　=（a2-4ab+4b2）-（b2-2bc+c2）

　　　=（a-2b）2-（b-c）2

　　　=（a-2b+b-c）（a-2b-b+c）

　　　=（a-b-c）（a-3b+c）

　　说明：

（4）题在分组前先采用了拆项后再重新分组，达到提取公因式的目的。

　　四．注意问题提示：

　　分组分解法主要应用于四项以上的多项式的因式分解。

　　分析题时仍应首先考虑公因式的提取，公式法的应用，其次才考虑分组。

　　分组方法的不同，仅仅是因为分解的手段不同，各种手段的目的都是把原多项式进行因式分解。

　　对于四项式的两两分组，尽管方法不唯一，但是并不是任何两项结组都可达到目的，分组要注意合理性，四项式中的另一种三项，一项分组，这三项的一组中应使其成为完全平方公式，而剩下的一项必须能写成代数式的平方，且又与完全平方公式符号相反，则得到

的形式，再用平方差公式分解。

　　五项式一般采用三项、两项分组；六项式采用三、三分组，或三、二、一分组，或二、二、二分组。

　　原多项式中带有括号时一般不便于分组时可先将括号去掉，整理后再分组分解。

分组分解法

　　考点讲解

　　分组分解法即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，使其能够具有公因式或应用公式来分解。

运用分组分解因式的关键是要能预见到分组之后能否进一步用其他方法（如提公因式法、公式法等）来分解，难点是恰当地分组。

　　分组分解法不是一种独立的分解因式的方法，而且适当的分组也没有固定的形式，但要掌握分组的原则：

1．分组后有公因式可提，且每组之间又有公因式可提；2．分组后能用公式分解，且以后每组之间又能应用公式或提公因式分解。

　　运用分组分解法分解因式常用以下一些方法：

　　方法一：

分组后能提取公因式

　　1．按字母分组

　　例如：

分解因式：

ax+ay+bx+by可以按某一字母为准分组，若按含有字母a的分为一组，含有字母b的分为一组，即ax+ay+bx+by=（ax+ay）+（bx+by）=a（x+y）+b（x+y），这样就产生了公因式（x+y）。

　　2．按系数分组

　　例如：

分解因式：

a2-ab+3b-3a，我们观察到前两项的系数之比和后两项系数之比恰好相等，即

1:

（-1）=3:

（-3），则a2-ab+3b-3a=（a2-ab）-（3a-3b）=a（a-b）-3（a-b）。

　　3．按次数分组

　　例如：

分解因式：

x3+x2+x-y3-y2-y，此多项式有两个三次项，有两个两次项，有两个一次项，按次数分组为：

（x3-y3）+（x2-y2）+（x-y）

　　方法二：

分组后能运用公式

　　例如：

x2-2xy+y2-z2

　　可以把前三项作为一组，它是一个完全平方式，可以分解为（x-y）2。

而（x-y）2-z2又是平方差形式的多项式，还可以继续分解。

　　方法三：

重新分组

　　例如：

分解因式4x2+3y-x（3y+4），此多项式必须先去括号，进行重新分组。

　　4x2+3y-x（3y+4）=4x2+3y-3xy-4x=（4x2-4x）+（3y-3xy）=4x（x-1）-3y（x-1）=（4x-3y）（x-1）。

　　考题例析

　　1．（福州市）分解因式：

am+an-bm-bn=　　　　　　　　　.

　　考点：

分组分解法。

　　评析：

用分组法可直接提公因式法分解因式，注意括号法则的应用。

　　答案：

（a-b）（m+n）

　　2．（上海市）分解因式：

=　　　　　　　　　.

　　考点：

用分组分解法分解因式

　　评析：

因此题是四项多项式，所以用分组分解法，而分组分解法有

两种方法，通过认真观察不难看出运用分组后，提公因式法即可解决此题。

　　答案：

（x-y）（x+y-1）

　　3．（北京市海淀区）分解因式：

。

　　考点：

因式分解中的分组分解法。

　　评析：

因为多项式是四项，一般方法是分组提公因式（两项结合）或分组用公式（三项结合），本题是三项结合后再用平方差公式。

　　答案：

（x-3+y）（x-3-y）

　　4．（四川省）把多项式2xy-x2-y2+1分解因式的结果是

　　（A）（x-y+1）（y-x+1）　　　　（B）（x+y-1）（y-x-1）

　　（C）（x+y-1）（x-y+1）　　　　（D）（x-y+1）（x-y-1）

　　答案：

A

　　考点：

分组分解法。

　　评析：

首先根据四项式决定分组分解法，其次由于含有x2，y2和xy项（另一个为常数项），想到分组后用公式法，即三项与一项分组。

　　注：

因式分解后，将因式各项符号与选项因式对比，若提取负号后，能与选项因式完全相同，其结果不变的，该选项为答案或将每一个选项展开转化为多项式判断也可。

　　5.（河北省）分解因式:

x2-xy+xz-yz=　　　　　　　　　.

　　考点：

分组提公因式法分解因式

　　评析：

对于四项多项式的因式分解一般采用分组提公因式或分组运用公式进行分解。

解题前要认真观察选择正确的方法，该题运用分组提公因式法。

　　答案：

（x-y）（x+z）

　　6．（安徽省）将mn-m-n+1分解因式的结果是　　　　　　　　　.

　　考点：

分组分解法分解因式

　　评析：

可以前两项、后两项结合或是一三项结合、二四项结合，可以达到分解的目的。

　　答案：

（m-1）（n-1）

　　注意：

从历年来各地中考试题中不难发现，因式分解都是一个出现频率很高的考点，进行因式分解的关键是根据多项式的形式特点迅速恰当地选择分解方法。

一般地，二项式的分解方法有两种：

提公因式法和公式法；二次三项式可采用公式法。

四项式、五项式基本上采用分组分解法。

掌握上述规律，可准确、迅速地选择分解方法，提高解题速度。

　　7．（天津市）分解因式：

am+bm+a+b=　　　　　　　　　.

　　考点：

分组提公因式法分解因式

　　评析：

该题可以一二两项一组然后提公因式也可，一三项、二四项结合提公因式即可分解，对于四项多项式一般有分组提公因式和分组运用公式两种方法，要具体问题具体分析选择正确的方法。

　　答案：

（a+b）（m+1）

　　8.（荆州）分解因式：

x3-x2y-xy2+y3

　　考点：

分组分解法

　　分析：

注意到一、二项有公因式x2，三、四项有因式y2,提取后，又产生公因式（x-y）

　　解：

x3-x2y-xy2+y3

　　　　=（x3-x2y）-（xy2-y3）

　　　　=x2（x-y）-y2（x-y）

　　　　=（x-y）（x2-y2）

　　　　=（x-y）2（x+y）.

十字相乘法

　　一、十字相乘法分解因式的意义：

　　利用画十字交叉线分解系数，来把二次三项式分解因式的方法叫十字相乘法。

（1）∵（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab

　　∴x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）　如图

（1）

（2）又∵（a1x+c1）（a2x+c2）=a1a2x2+（a1c2+a2c1）x+c1c2

　　∴a1a2x2+（a1c2+a2c1）x+c1c2=（a1x+c1）（a2x+c2）　如图

（2）

　　二、十字相乘法能把某些二次三项式ax2+bx+c（a≠0）分解因式。

这种方法的关健是把二次项的系数a分解成两个因数a1,a2的积a1·a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1·c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项系数b，那么可以直接写成结果：

ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）,在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。

当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。

　　三、例题分析：

　　例1．把下列各式分解因式：

（1）x2+2x-15　　　

（2）x2-6x+8

（1）分析：

常数项（-15）<0，可分解成异号两数的积，可分解为（-1）（15），或

（1）（-15）或（3）

（-5）或（-3）（5），其中只有（-3）（5）中-3和5的和为2。

在分解时，可用下面的式子进行验算。

　　说明：

在竖式验算后写分解结论时千万不要对角写，应横向写，否则，当二次项系数不为1时，会出现错误的。

（2）分析:

常数项8可以分解为两个同号整数的积，即为8=1×8，8=（-1）（-8）；或8=2×4，8=（-2）（-4）。

其中只有（-2）与-4的和为-6。

　　解：

x2-6x+8

　　　=（x-2）（x-4）　　　　　　　　

　　例2．把下列式子分解因式：

a2-5ab-24b2　　

　　分析：

把原式变形为式a2-（5b）a-24b2，即把-5b看作a的系数，

把-24b2看作常数项，这样可将原式看成a的二次三项式，用十字相乘法试算。

　　解：

a2-5ab-24b2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　=a2-（5b）a-24b2　　　　

　　　=（a+3b）（a-8b）　　　　　　　

　　说明：

要注意避免a2-5ab-24b2=（a+3）（a-8）这类的错误，也要避免a2-5ab-24b2=（a+8b）（a-3b）的错误。

　　例3．分解因式：

（1）（x+y）2+2（x+y）-24

　　分析：

把（x+y）看成一个整体，这样，这个多项式就是关于（x+y）的二次三项式，很容易依照前面的方法分解：

　　解：

（x+y）2+2（x+y）-24

　　　=[（x+y）+6][（x+y）-4]　　　　　

　　　=（x+y+6）（x+y-4）　　　　　　　　　　　　

　　例4．分解因式：

（1）x4-3x2-4　

（2）x4-10x2y2+9y4

（1）分析：

把原式写成（x2）2-3（x2）-4，它仍旧是x2的二次三项式，

　　可以用十字相乘法分解。

-4=（-4）×1而-3=-4+1。

　　解：

x4-3x2-4

　　　=（x2）2-3（x2）-4　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　=（x2-4）（x2+1）　　　　　　　　　　　　　　

　　　=（x2+1）（x+2）（x-2）　　　　　　　　　

（2）分析：

原式可变形为（x2）2-10y2（x2）+9（y2）2即可看成x2的二次

　　三项式，再采用十字相乘法分解因式。

　　解：

x4-10x2y2+9y4

　　　=（x2）2-10y2（x2）+9（y2）2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　=（x2-y2）（x2-9y2）　　　　　　　　　　　　　　

　　　=（x+y）（x-y）（x+3y）（x-3y）　　

　　说明：

十字相乘法应用后原式为（x2-y2）（x2-9y2）要再对它进行分

　　解；两个因式都分别应用平方差公式即可。

　　例5．分解因式：

（1）2x2-5x-3　　

（2）5x2-21x+18

（1）分析：

我们要把这个多项式分解成形如（a1x+c1）·（a2x+c2）的形式，这里的a1a2=2,c1c2=-3,

a1c2+a2c1=-5,由十字相乘法竖式

可知关健问题在于确定二次项系数2的两个因数a1和a2和常数项-3的两个因数c1,c2。

二次项系数2可分解为2×1，常数项-3<0可分解两个异号整数的积即为（-3）×

（1），3×（-1）,最后考虑一次项系数-5，它是十字相乘法寻找这四个数的关健，因为-5<0，所以a1c2+a2c1<0而a1>0,a2>o,所以c1,c2的寻找就相对容易了。

　　解：

2x2-5x-3

　　　=（x-3）（2x+1）　　　　　　　　　　

　　说明：

通过十字相乘的验算竖式后写结果时要横向写，不要对角写结论，注意避免出现2x2-5x-3=（x+1）（2x-3）这样的错误。

（2）分析：

因为二次项系数为质数5，可分解为1×5竖式中可将左边先固定，再分解常数项18，18>0

　　∴

18=

（1）（18）,18=（-1）（-18）,18=2×9,18=（-2）（-9）,18=3×6,18=（-3）（-6）.

　　根据一次项系数为-21，所以只可选用（-3）（-6）

　　解：

5x2-21x+18　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　=（x-3）（5x-6）　　　　　　　　　　　

　　例9．分解因式：

x2+3xy+2y2+4x+5y+3

　　分析：

此题是一个六项式，可采用三、二、一分组法，分成三大项,将齐次项x2+3xy+2y2分为一组，先进行十字相乘为（x+y）（x+2y），再与4x+5y+3用十字相乘法再分解一次，这样的分解也可称为“双十字相乘法”。

　　解：

x2+3xy+2y2+4x+5y+3　　　

　　　=（x+y）（x+2y）+4x+5y+3

　　　=（x+y+1）（x+2y+3）　　　　　　

　　四．注意问题提示：

　　1．对所给的多项式应先整理，包括去括号，按某一字母的降幂排列等。

　　2．因式分解时首先考虑公因式的提取。

　　3．使用十字相乘法分解因式时，务必注意各项系数的符号，掌握同号、异号两数相乘相加的法则，符号规律。

　　4．要能灵活地运用提取公因式、公式法、分组分解法、十字相乘法进行多项式的因式分解，有时，各种方法交替进行，反复使用。